Dans l'expression \(3x^2 - 5x + 7\) :
\[k(a + b) = ka + kb \qquad k(a - b) = ka - kb\]
\(-(x - 3) = -x + 3\). Un signe « \(-\) » devant une parenthèse change le signe de tous les termes de la parenthèse.
\[(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\] Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : on obtient quatre produits.
\[(2x - 1)(x + 4) = 2x \times x + 2x \times 4 - 1 \times x - 1 \times 4 = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\]
On écrit les quatre produits avant de réduire, en faisant attention aux signes ; puis on regroupe les termes en \(x^2\), en \(x\) et les nombres.
On regroupe les termes de la même famille : les \(x^2\) ensemble, les \(x\) ensemble, les nombres ensemble.
\[4x^2 - 3x + x^2 + 5x - 2 = 5x^2 + 2x - 2\]
\(x^2\) et \(x\) ne sont pas de la même famille : \(5x^2 + 2x\) ne se réduit pas.
Quand tous les termes ont un facteur commun \(k\), on peut le mettre en facteur : \[ka + kb = k(a + b)\]
On vérifie une factorisation en redéveloppant : on doit retrouver l'expression de départ.
Pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, on désigne le nombre par une lettre et on calcule.
La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de \(3\). En effet, si \(n\) est le premier : \(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)\).
Contenu facultatif, non exigible.
En 3e, tu apprendras les identités remarquables comme \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), qui permettent de développer et de factoriser plus vite.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Développer | Transformer un produit en somme |
| Factoriser | Transformer une somme en produit |
| Distributivité simple | \(k(a + b) = ka + kb\) |
| Double distributivité | \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\) |
| Signe \(-\) devant une parenthèse | \(-(a - b) = -a + b\) |
| Réduire | Regrouper les \(x^2\), les \(x\), les nombres |
| Facteur commun | \(ka + kb = k(a + b)\) |
Développe et réduis :
a) \(3(2x + 4)\)
b) \(-2(5x - 3)\)
c) \(x(x + 7)\)
d) \(4(3 - 2x)\)
\(k(a + b) = ka + kb\), en faisant attention aux signes.
a) \(\mathbf{6x + 12}\)
b) \(-2 \times 5x - 2 \times (-3) = \mathbf{-10x + 6}\)
c) \(\mathbf{x^2 + 7x}\)
d) \(\mathbf{12 - 8x}\)
Développe et réduis :
a) \((x + 2)(x + 5)\)
b) \((x - 3)(x + 4)\)
c) \((2x + 1)(x - 3)\)
\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).
a) \(x^2 + 5x + 2x + 10 = \mathbf{x^2 + 7x + 10}\)
b) \(x^2 + 4x - 3x - 12 = \mathbf{x^2 + x - 12}\)
c) \(2x^2 - 6x + x - 3 = \mathbf{2x^2 - 5x - 3}\)
Développe et réduis :
a) \((x + 4)(x + 1)\)
b) \((2x + 3)(x - 5)\)
c) \((3x - 2)(2x - 1)\)
a) \(x^2 + x + 4x + 4 = \mathbf{x^2 + 5x + 4}\)
b) \(2x^2 - 10x + 3x - 15 = \mathbf{2x^2 - 7x - 15}\)
c) \(6x^2 - 3x - 4x + 2 = \mathbf{6x^2 - 7x + 2}\)
\((-2) \times (-1) = +2\).
Réduis :
a) \(3x + 5 + 2x - 7\)
b) \(4x^2 - 3x + x^2 + 5x - 2\)
c) \(2(x + 3) + 3(x - 1)\)
a) \(3x + 2x + 5 - 7 = \mathbf{5x - 2}\)
b) \(4x^2 + x^2 - 3x + 5x - 2 = \mathbf{5x^2 + 2x - 2}\)
c) \(2x + 6 + 3x - 3 = \mathbf{5x + 3}\)
Factorise :
a) \(6x + 9\)
b) \(4x^2 - 8x\)
c) \(15a - 10b + 5\)
d) \(x^2 + 3x\)
a) \(6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = \mathbf{3(2x + 3)}\)
b) \(4x^2 - 8x = 4x \times x - 4x \times 2 = \mathbf{4x(x - 2)}\)
c) \(\mathbf{5(3a - 2b + 1)}\)
d) \(\mathbf{x(x + 3)}\)
🔍 Vérification : \(4x(x - 2) = 4x^2 - 8x\) ✓.
On considère \(A = 2x^2 - 3x + 1\). Calcule \(A\) pour :
a) \(x = 3\)
b) \(x = -2\)
c) \(x = 0{,}5\)
on remplace \(x\) par la valeur entre parenthèses si elle est négative.
a) \(2 \times 3^2 - 3 \times 3 + 1 = 18 - 9 + 1 = \mathbf{10}\)
b) \(2 \times (-2)^2 - 3 \times (-2) + 1 = 2 \times 4 + 6 + 1 = \mathbf{15}\)
c) \(2 \times 0{,}5^2 - 3 \times 0{,}5 + 1 = 0{,}5 - 1{,}5 + 1 = \mathbf{0}\)
Développe :
a) \(4(2x - 3)\) \(\quad\)
b) \(-3(x + 5)\) \(\quad\)
c) \(x(x - 7)\)
a) \(\mathbf{8x - 12}\) ; b) \(\mathbf{-3x - 15}\) ; c) \(\mathbf{x^2 - 7x}\).
Développe et réduis :
a) \((x + 2)(x + 5)\) \(\quad\)
b) \((x - 3)(x + 4)\)
🎯 Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
a) \(x^2 + 5x + 2x + 10 = \mathbf{x^2 + 7x + 10}\).
b) \(x^2 + 4x - 3x - 12 = \mathbf{x^2 + x - 12}\).
Réduis : \(3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 4\).
\((3x^2 - x^2) + (2x + 5x) - 4 = \mathbf{2x^2 + 7x - 4}\).
Factorise :
a) \(12x + 18\) \(\quad\)
b) \(x^2 + 5x\) \(\quad\)
c) \(7a - 7\)
a) \(\mathbf{6(2x + 3)}\) ; b) \(\mathbf{x(x + 5)}\) ; c) \(\mathbf{7(a - 1)}\).
Calcule \(2x^2 - 3x + 1\) pour \(x = -2\).
\(2 \times (-2)^2 - 3 \times (-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = \mathbf{15}\).
\((-2)^2 = 4\) (et non \(-4\)).
a) \(3(x + 2) - 2(x - 4)\)
b) \((x + 1)(x + 2) + (x - 3)(x + 3)\)
c) \((2x + 1)(x - 2) - x(2x - 3)\)
a) \(3x + 6 - 2x + 8 = \mathbf{x + 14}\)
b) \((x^2 + 2x + x + 2) + (x^2 + 3x - 3x - 9) = x^2 + 3x + 2 + x^2 - 9 = \mathbf{2x^2 + 3x - 7}\)
c) \((2x^2 - 4x + x - 2) - (2x^2 - 3x) = 2x^2 - 3x - 2 - 2x^2 + 3x = \mathbf{-2}\)
Toutes les lettres disparaissent : l'expression vaut \(-2\) pour tout \(x\).
Factorise :
a) \(3(x + 2) + x(x + 2)\)
b) \((x - 1)(2x + 3) - (x - 1)(x + 4)\)
c) \(5x(x + 1) - 2(x + 1)\)
on repère la parenthèse commune, puis on écrit \(k(\ldots + \ldots)\) avec ce qui reste.
a) \((x + 2) \times 3 + (x + 2) \times x = \mathbf{(x + 2)(3 + x)}\)
b) \((x - 1)[(2x + 3) - (x + 4)] = (x - 1)(2x + 3 - x - 4) = \mathbf{(x - 1)(x - 1)}\)
c) \(\mathbf{(x + 1)(5x - 2)}\)
Un rectangle a pour dimensions \(x + 3\) et \(x + 2\) (en cm).
a) Exprime son aire sous forme développée et réduite.
b) Vérifie ton résultat pour \(x = 2\), en calculant l'aire de deux façons.
a) \((x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = \mathbf{x^2 + 5x + 6}\)
b) Pour \(x = 2\) :
Calcule de tête en utilisant la distributivité :
a) \(47 \times 21\)
b) \(99 \times 35\)
c) \(13 \times 98\)
d) \(25 \times 44\)
a) \(47 \times 21 = 47 \times (20 + 1) = 940 + 47 = \mathbf{987}\)
b) \(99 \times 35 = (100 - 1) \times 35 = 3\,500 - 35 = \mathbf{3\,465}\)
c) \(13 \times 98 = 13 \times (100 - 2) = 1\,300 - 26 = \mathbf{1\,274}\)
d) \(25 \times 44 = 25 \times (40 + 4) = 1\,000 + 100 = \mathbf{1\,100}\)
Prouve que, pour tout nombre \(n\), \((2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 8n\). (Indice : \((2n + 1)^2 = (2n + 1)(2n + 1)\).)
Étape 1 — Développer chaque carré \[(2n + 1)(2n + 1) = 4n^2 + 2n + 2n + 1 = 4n^2 + 4n + 1\] \[(2n - 1)(2n - 1) = 4n^2 - 2n - 2n + 1 = 4n^2 - 4n + 1\]
Étape 2 — Soustraire (attention à la parenthèse) \[(4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 + 4n - 1 = \mathbf{8n}\]
L'égalité est vraie pour tout nombre \(n\).
Factorise :
a) \(2x^2 - 8\) (mets le nombre \(2\) en facteur)
b) \(3x^2 - 12x\)
c) \(x^3 - x\) (mets \(x\) en facteur)
a) \(\mathbf{2(x^2 - 4)}\)
b) \(3x^2 - 12x = 3x \times x - 3x \times 4 = \mathbf{3x(x - 4)}\)
c) \(x^3 - x = x \times x^2 - x \times 1 = \mathbf{x(x^2 - 1)}\)
Contenu facultatif, non exigible.
En 3e, tu pourras aller plus loin : \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\).
Pour chaque égalité, dis si elle est vraie pour tout nombre \(x\). Justifie par une preuve ou par un contre-exemple.
a) \((x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2\)
b) \((x + 3)^2 = x^2 + 9\)
c) \(2(x + 5) = 2x + 5\)
a) Vrai : \((x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\) pour tout \(x\).
b) Faux : pour \(x = 1\), \((1 + 3)^2 = 16\) mais \(1^2 + 9 = 10\). (\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\).)
c) Faux : pour \(x = 0\), \(2(0 + 5) = 10\) mais \(2 \times 0 + 5 = 5\).
Un rectangle a pour longueur \(2x + 3\) et pour largeur \(x - 1\) (en cm, avec \(x > 1\)).
a) Exprime son périmètre en fonction de \(x\), et réduis.
b) Exprime son aire en fonction de \(x\), sous forme développée.
c) Pour \(x = 5\), calcule le périmètre et l'aire.
a) \(P = 2[(2x + 3) + (x - 1)] = 2(3x + 2) = \mathbf{6x + 4}\)
b) \(A = (2x + 3)(x - 1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = \mathbf{2x^2 + x - 3}\)
c) Pour \(x = 5\) : longueur \(13\) cm, largeur \(4\) cm.
Développe et réduis :
a) \((2x + 1)(x - 3)\) \(\quad\)
b) \(-(x - 4)(x + 1)\)
a) \(2x^2 - 6x + x - 3 = \mathbf{2x^2 - 5x - 3}\).
b) \((x - 4)(x + 1) = x^2 + x - 4x - 4 = x^2 - 3x - 4\), donc \(-(x^2 - 3x - 4) = \mathbf{-x^2 + 3x + 4}\).
Factorise : \((x + 1)(x + 2) + 3(x + 1)\).
Facteur commun \((x + 1)\) : \((x + 1)\big[(x + 2) + 3\big] = \mathbf{(x + 1)(x + 5)}\).
Un rectangle mesure \(x + 3\) sur \(2x + 1\) (en cm).
a) Exprime son aire sous forme développée et réduite.
b) Vérifie ton résultat avec \(x = 2\).
a) \((x + 3)(2x + 1) = 2x^2 + x + 6x + 3 = \mathbf{2x^2 + 7x + 3}\).
b) \(x = 2\) : \(5 \times 5 = 25\) et \(8 + 14 + 3 = 25\) ✓
Montre que, pour tout nombre \(n\), \((n + 1)(n + 2) - n(n + 3) = 2\).
\((n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2\) et \(n(n + 3) = n^2 + 3n\). La différence vaut \(\mathbf{2}\). \(\square\)
« Choisir un nombre \(x\). Calculer \((x + 2)(x - 3)\). Soustraire le carré du nombre de départ. »
a) Applique le programme à \(5\).
b) Montre que le résultat est toujours \(-x - 6\).
a) \((5 + 2)(5 - 3) - 25 = 14 - 25 = \mathbf{-11}\).
b) \((x + 2)(x - 3) - x^2 = x^2 - 3x + 2x - 6 - x^2 = \mathbf{-x - 6}\). 🔍 Avec \(x = 5\) : \(-5 - 6 = -11\) ✓
Factorise \(ax + ay + bx + by\) (regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers).
\[ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = \mathbf{(x + y)(a + b)}\]
Vérification : \((x + y)(a + b) = xa + xb + ya + yb\) ✓.
a) Teste avec plusieurs exemples : la somme de trois entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de \(3\) ?
b) Prouve-le en appelant \(n\) le plus petit des trois entiers.
c) La somme de quatre entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de \(4\) ?
a) \(1 + 2 + 3 = 6\) ; \(4 + 5 + 6 = 15\) ; \(10 + 11 + 12 = 33\) : ce sont des multiples de \(3\).
b) \(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = \mathbf{3(n + 1)}\) : c'est un multiple de \(3\) pour tout entier \(n\).
c) \(n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6\). Pour \(n = 1\) : \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\), qui n'est pas un multiple de \(4\). Non.
Démontre que, pour tout entier \(n\), le produit \(n(n + 1)\) de deux entiers consécutifs est pair.
On distingue deux cas :
Dans tous les cas, \(n(n + 1)\) est pair. (Parmi deux entiers consécutifs, il y en a toujours un pair.)
a) Un nombre impair s'écrit \(2k + 1\) (\(k\) entier). Développe \((2k + 1)^2 - 1\) et factorise le résultat par \(4k\).
b) En utilisant l'exercice 17, montre que \((2k + 1)^2 - 1\) est divisible par \(8\).
c) Que peut-on en déduire sur le carré d'un nombre impair ? Vérifie avec \(3^2\), \(5^2\) et \(7^2\).
a) \((2k + 1)(2k + 1) - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = \mathbf{4k(k + 1)}\).
b) D'après l'exercice 17, \(k(k + 1)\) est pair : \(k(k + 1) = 2m\). Donc \((2k + 1)^2 - 1 = 4 \times 2m = 8m\) : c'est un multiple de \(8\).
c) Le carré d'un nombre impair est un multiple de \(8\), plus \(1\). \(3^2 = 9 = 8 + 1\) ✓ ; \(5^2 = 25 = 24 + 1\) ✓ ; \(7^2 = 49 = 48 + 1\) ✓.
Un grand carré de côté \(a + b\) contient, dans un coin, un petit carré de côté \(b\). La partie restante a la forme d'un L.
a) Exprime l'aire du grand carré sous forme développée (utilise la double distributivité).
b) Exprime l'aire du L de deux façons : en soustrayant, puis en découpant le L en deux rectangles.
c) Vérifie que tu obtiens la même expression.
a) \((a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \mathbf{a^2 + 2ab + b^2}\)
b)
c) Les deux méthodes donnent bien \(a^2 + 2ab\) ✓.
Un jardin carré a un côté de \(x\) mètres. On l'allonge de \(3\) m dans un sens et on le raccourcit de \(1\) m dans l'autre sens.
a) Exprime l'aire du nouveau jardin et développe-la.
b) Exprime la différence entre la nouvelle aire et l'ancienne.
c) Calcule cette différence pour \(x = 1\), \(x = 1{,}5\) et \(x = 5\). Le nouveau jardin est-il toujours plus grand ?
a) \((x + 3)(x - 1) = x^2 - x + 3x - 3 = \mathbf{x^2 + 2x - 3}\)
b) \((x^2 + 2x - 3) - x^2 = \mathbf{2x - 3}\)
c)
Le nouveau jardin n'est pas toujours plus grand : il ne l'est que si \(x > 1{,}5\).