Faire glisser une figure en ligne droite, sans la tourner ni la retourner, c'est lui appliquer une translation.
La translation qui transforme \(A\) en \(B\) déplace tous les points de la même façon : même direction (celle de la droite \((AB)\)), même sens (de \(A\) vers \(B\)) et même longueur (\(AB\)).
On décrit le déplacement en nombre de carreaux (par exemple « \(7\) vers la droite et \(1\) vers le haut »), et on applique le même déplacement à chaque sommet de la figure.
Si la translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme aussi \(M\) en \(M'\), alors \(ABM'M\) est un parallélogramme (éventuellement aplati si les quatre points sont alignés).
(translation qui transforme \(A\) en \(B\)) :
C'est \(ABM'M\) (et non \(ABMM'\)) qui est un parallélogramme : \([AM']\) et \([BM]\) sont ses diagonales, elles ont le même milieu.
Une translation conserve :
L'image d'une droite est une droite parallèle ; l'image d'un cercle est un cercle de même rayon (son centre est l'image du centre).
| Transformation | Ce qu'elle fait | La figure est… |
|---|---|---|
| Symétrie axiale | pliage le long d'un axe | retournée |
| Symétrie centrale | demi-tour autour d'un point | tournée d'un demi-tour |
| Translation | glissement | ni tournée, ni retournée |
Dans les frises (un motif répété le long d'une bande) et les pavages (un motif répété pour couvrir un plan, comme un carrelage).
Contenu facultatif, non exigible.
En 3e, tu étudieras les rotations (tourner d'un angle quelconque autour d'un point) et les homothéties (agrandir ou réduire une figure). Au lycée, la translation sera décrite par un vecteur.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Translation qui transforme \(A\) en \(B\) | Même direction, même sens, même longueur pour tous les points |
| Sur quadrillage | Même déplacement (en carreaux) pour chaque point |
| Lien avec le parallélogramme | \(A \mapsto B\) et \(M \mapsto M'\) : \(ABM'M\) est un parallélogramme |
| Ce qui est conservé | Longueurs, angles, aires, alignement, milieu, parallélisme |
| Image d'une droite | Droite parallèle |
| Image d'un cercle | Cercle de même rayon |
On considère la translation qui déplace chaque point de \(3\) carreaux vers la droite et de \(2\) carreaux vers le bas. Donne les coordonnées des images de :
a) \(A(1 ; 4)\)
b) \(B(-2 ; 0)\)
c) \(C(0 ; -3)\)
on ajoute \(3\) à l'abscisse et on enlève \(2\) à l'ordonnée.
a) \(A(1 ; 4) \to \mathbf{(4 ; 2)}\)
b) \(B(-2 ; 0) \to \mathbf{(1 ; -2)}\)
c) \(C(0 ; -3) \to \mathbf{(3 ; -5)}\)
Une translation transforme \(A(2 ; 5)\) en \(A'(7 ; 1)\).
a) Décris le déplacement en carreaux.
b) Quelle est l'image du point \(B(0 ; 0)\) par cette translation ?
a) De \(2\) à \(7\) : \(5\) carreaux vers la droite ; de \(5\) à \(1\) : \(4\) carreaux vers le bas.
b) \(B(0 ; 0) \to \mathbf{(5 ; -4)}\).
a) Une translation conserve les longueurs.
b) Une translation conserve les angles.
c) Par une translation, l'image d'une droite est une droite parallèle.
d) Par une translation, une figure est retournée.
e) Par une translation, l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image.
a) Vrai.
b) Vrai.
c) Vrai.
d) Faux : la figure glisse sans être retournée (c'est la symétrie axiale qui retourne).
e) Vrai.
Donne le symétrique de chaque point par rapport à \(O(2 ; 3)\) :
a) \(A(5 ; 7)\)
b) \(B(0 ; 0)\)
c) \(C(2 ; 1)\)
\(O\) est le milieu du segment qui joint le point à son symétrique ; on refait à partir de \(O\) le même déplacement que du point à \(O\).
a) De \(A(5 ; 7)\) à \(O(2 ; 3)\) : \(3\) à gauche, \(4\) vers le bas → \(\mathbf{(-1 ; -1)}\).
b) De \(B(0 ; 0)\) à \(O\) : \(2\) à droite, \(3\) vers le haut → \(\mathbf{(4 ; 6)}\).
c) De \(C(2 ; 1)\) à \(O\) : \(2\) vers le haut → \(\mathbf{(2 ; 5)}\).
\(ABCD\) est un parallélogramme. La translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme \(D\) en un point \(E\). Où se trouve \(E\) ? Justifie.
\(ABCD\) est un parallélogramme : pour aller de \(D\) à \(C\), on fait le même déplacement que pour aller de \(A\) à \(B\) (les côtés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles, de même longueur et « dans le même sens »). La translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme donc \(D\) en \(C\) : \(\mathbf{E = C}\).
Sur papier quadrillé, trace un triangle \(DEF\). Construis son image par la translation qui déplace chaque point de \(4\) carreaux vers la droite et de \(1\) carreau vers le haut.
On applique à chaque sommet le déplacement « \(4\) à droite, \(1\) en haut », puis on relie les trois images. Le triangle image est superposable au triangle \(DEF\) (même forme, même taille, même orientation).
La translation \(t\) déplace chaque point de \(3\) carreaux vers la droite et \(2\) carreaux vers le haut. Dans un repère, \(A(2 ; 1)\). Quelles sont les coordonnées de l'image \(A'\) de \(A\) ?
\(A'(2 + 3 ; 1 + 2) = \mathbf{A'(5 ; 3)}\).
La translation qui transforme \(A(1 ; 2)\) en \(B(4 ; 0)\) transforme \(C(0 ; 5)\) en \(D\).
a) Décris ce déplacement.
b) Donne les coordonnées de \(D\).
a) De \(A\) à \(B\) : \(3\) carreaux vers la droite et \(2\) vers le bas.
b) \(D(0 + 3 ; 5 - 2) = \mathbf{D(3 ; 3)}\).
Par une translation, le segment \([EF]\) de \(5\) cm a pour image \([E'F']\).
a) Quelle est la longueur de \([E'F']\) ?
b) Que dire des droites \((EF)\) et \((E'F')\) ?
a) Une translation conserve les longueurs : \(\mathbf{5}\) cm. b) Elles sont parallèles (ou confondues).
La translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme \(C\) en \(D\). Quelle est la nature du quadrilatère \(ABDC\) ?
\(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Quelle est l'image, par une translation, d'un cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\) cm ?
Un cercle de rayon \(3\) cm, dont le centre est l'image \(O'\) de \(O\).
Trace trois points \(A\), \(B\) et \(M\) non alignés. Construis, au compas et à la règle, l'image \(M'\) de \(M\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\). Explique ta construction.
On veut que \(ABM'M\) soit un parallélogramme, c'est-à-dire que \(MM' = AB\) et \(BM' = AM\).
Un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés ont la même longueur est un parallélogramme : \(ABM'M\) en est un, donc \(M'\) est bien l'image de \(M\).
Trace une droite \((d)\) et un segment \([EF]\) de \(5\) cm. On applique la translation qui transforme \(A\) en \(B\) (deux points de ton choix).
a) Construis l'image \((d')\) de \((d)\). Que peux-tu dire de \((d)\) et \((d')\) ?
b) Quelle est la longueur de l'image \([E'F']\) ?
a) On construit les images de deux points de \((d)\), puis on trace la droite qui les relie. \((d')\) est parallèle à \((d)\).
b) La translation conserve les longueurs : \(E'F' = \mathbf{5 \text{ cm}}\).
Un cercle a pour centre \(O(1 ; 2)\) et pour rayon \(3\) unités. On lui applique la translation qui déplace chaque point de \(5\) carreaux vers la droite et de \(2\) vers le bas. Donne le centre et le rayon du cercle image.
Le centre se déplace : \(O(1 ; 2) \to O'(6 ; 0)\). Le rayon ne change pas. Le cercle image a pour centre \(\mathbf{O'(6 ; 0)}\) et pour rayon \(\mathbf{3}\) unités.
Pour chaque cas, dis s'il s'agit d'une symétrie axiale, d'une symétrie centrale ou d'une translation :
a) La figure a glissé de \(5\) cm vers la droite sans tourner.
b) La figure a été retournée comme dans un miroir.
c) La figure a fait un demi-tour autour d'un point.
d) Le motif d'une frise est répété tous les \(3\) cm le long de la bande.
a) Translation.
b) Symétrie axiale.
c) Symétrie centrale.
d) Translation.
On applique d'abord la translation qui déplace de \(2\) carreaux à droite et \(3\) vers le haut, puis celle qui déplace de \(5\) carreaux à gauche et \(1\) vers le haut.
a) Par quel déplacement unique peut-on remplacer ces deux translations ?
b) Où arrive le point \(A(1 ; 1)\) ?
a) Horizontalement : \(2\) à droite puis \(5\) à gauche, soit \(3\) vers la gauche. Verticalement : \(3\) puis \(1\) vers le haut, soit \(4\) vers le haut. Les deux translations équivalent à une seule : \(3\) carreaux à gauche et \(4\) vers le haut.
b) \(A(1 ; 1) \to \mathbf{(-2 ; 5)}\).
\(ABCD\) est un quadrilatère dont \(O\) est le point d'intersection des diagonales. On sait que \(O\) est un centre de symétrie de \(ABCD\). Quelle est la nature de \(ABCD\) ? Justifie.
Le centre de symétrie échange les sommets opposés : \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\). Les diagonales de \(ABCD\) se coupent en leur milieu : \(ABCD\) est un parallélogramme.
Une frise est obtenue en répétant un motif triangulaire de sommets \(A(0 ; 0)\), \(B(2 ; 0)\) et \(C(1 ; 3)\) par la translation qui déplace de \(5\) carreaux vers la droite. Donne les sommets des trois motifs suivants.
On ajoute \(5\) aux abscisses à chaque fois :
Un carrelage est formé de carreaux carrés de \(2\) cm de côté, répétés par des translations.
a) Décris deux translations qui permettent d'obtenir tout le carrelage à partir d'un seul carreau.
b) Combien de carreaux faut-il pour couvrir un rectangle de \(20\) cm sur \(12\) cm ?
a) La translation qui déplace de \(2\) cm vers la droite et celle qui déplace de \(2\) cm vers le haut (en les répétant).
b) \(20 \div 2 = 10\) carreaux sur la longueur et \(12 \div 2 = 6\) sur la largeur : \(10 \times 6 = \mathbf{60}\) carreaux.
On applique la translation « \(3\) carreaux vers la droite », puis la translation « \(2\) carreaux vers le haut ». Par quelle seule translation peut-on les remplacer ?
La translation « \(3\) carreaux vers la droite et \(2\) vers le haut ».
Nomme la transformation qui :
a) fait glisser une figure sans la tourner ;
b) fait faire un demi-tour à une figure autour d'un point ;
c) retourne une figure autour d'une droite.
a) une translation ; b) une symétrie centrale ; c) une symétrie axiale.
Un triangle a une aire de \(12\) cm² et un périmètre de \(15\) cm. Que valent l'aire et le périmètre de son image par une translation ?
Elles sont conservées : \(12\) cm² et \(15\) cm.
Une frise est obtenue en répétant un motif par une translation de \(4\) cm vers la droite. À quelle distance du premier motif se trouve le \(10^\text{e}\) motif ?
Du 1er au 10e motif, il y a \(9\) translations : \(9 \times 4 = \mathbf{36}\) cm.
Par une translation, que devient une droite \((d)\) ? Donne deux cas possibles.
C'est une droite parallèle à \((d)\), ou la droite \((d)\) elle-même (si le déplacement se fait le long de \((d)\)).
La translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme \(C\) en \(D\) (les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés).
a) Quelle est la nature du quadrilatère \(ABDC\) ? Justifie.
b) Déduis-en que les segments \([AD]\) et \([BC]\) ont le même milieu.
a) La translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme \(C\) en \(D\) : d'après la propriété du cours, \(ABDC\) est un parallélogramme (non aplati, car \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés).
b) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Les diagonales de \(ABDC\) sont \([AD]\) et \([BC]\) : elles ont le même milieu.
On considère le triangle \(A(0 ; 0)\), \(B(4 ; 0)\), \(C(0 ; 3)\), et la translation qui déplace de \(2\) carreaux vers la droite et de \(5\) vers le haut.
a) Donne les coordonnées des images \(A'\), \(B'\), \(C'\).
b) Calcule l'aire et le périmètre du triangle \(ABC\) (l'unité est le carreau).
c) Sans calcul, donne l'aire et le périmètre de \(A'B'C'\). Justifie.
a) \(\mathbf{A'(2 ; 5)}\), \(\mathbf{B'(6 ; 5)}\), \(\mathbf{C'(2 ; 8)}\).
b) Le triangle est rectangle en \(A\) (\([AB]\) horizontal, \([AC]\) vertical), avec \(AB = 4\) et \(AC = 3\).
c) La translation conserve les longueurs et les aires : aire \(\mathbf{6}\) et périmètre \(\mathbf{12}\).
Un motif carré de \(2\) cm de côté est répété par une translation de \(2\) cm vers la droite et par une translation de \(2\) cm vers le haut.
a) Décris le pavage obtenu.
b) Chaque carreau est décoré d'une diagonale tracée du coin en bas à gauche au coin en haut à droite. Les diagonales de tous les carreaux sont-elles parallèles ? Justifie.
a) Les carreaux se répètent en lignes et en colonnes : on obtient un quadrillage de carrés de \(2\) cm, qui couvre tout le plan sans trou ni chevauchement.
b) Oui : chaque carreau est l'image du carreau de départ par une translation (ou par plusieurs à la suite), et l'image d'une droite par une translation est une droite parallèle. Toutes les diagonales sont parallèles.
Une tondeuse robot part du point \((0 ; 0)\). À chaque étape, elle se déplace de \(3\) carreaux vers la droite et de \(1\) carreau vers le haut.
a) Où est-elle après \(4\) étapes ?
b) Après combien d'étapes atteint-elle l'abscisse \(30\) ? Quelle est alors son ordonnée ?
c) Les positions successives de la tondeuse sont-elles alignées ? Pourquoi ?
a) \(4 \times 3 = 12\) et \(4 \times 1 = 4\) : point \(\mathbf{(12 ; 4)}\).
b) \(30 \div 3 = 10\) étapes. L'ordonnée vaut alors \(10 \times 1 = \mathbf{10}\) : point \((30 ; 10)\).
c) Oui : à chaque étape, on fait le même déplacement (\(3\) à droite, \(1\) en haut). Les points sont alignés sur une même droite (qui passe par l'origine).
Le triangle \(ABC\) avec \(A(1 ; 1)\), \(B(3 ; 1)\), \(C(2 ; 3)\) a pour image le triangle \(A'(4 ; -1)\), \(B'(6 ; -1)\), \(C'(5 ; 1)\).
a) Vérifie qu'il s'agit d'une translation : quel est le déplacement ?
b) Quelle est l'image du point \(D(0 ; 5)\) ?
a) \(A \to A'\) : \(3\) à droite, \(2\) vers le bas. \(B(3 ; 1) \to B'(6 ; -1)\) : \(3\) à droite, \(2\) vers le bas ✓. \(C(2 ; 3) \to C'(5 ; 1)\) : idem ✓. Tous les points font le même déplacement : c'est la translation « \(3\) à droite, \(2\) vers le bas ».
b) \(D(0 ; 5) \to \mathbf{(3 ; 3)}\).
Le motif d'une frise est le triangle de sommets \(A(0 ; 0)\), \(B(2 ; 0)\) et \(C(1 ; 3)\). On le répète par la translation qui déplace de \(5\) carreaux vers la droite.
a) Donne les sommets des trois premiers motifs obtenus.
b) Le motif possède-t-il un axe de symétrie ? Si oui, lequel ?
c) La frise possède-t-elle l'axe des abscisses comme axe de symétrie ? Justifie.
a)
b) Le sommet \(C(1 ; 3)\) est à la verticale du milieu \((1 ; 0)\) de \([AB]\) : \(CA = CB\), le triangle est isocèle en \(C\). Son axe de symétrie est la droite verticale d'abscisse \(1\) (la médiatrice de \([AB]\)).
c) Non : le symétrique de \(C(1 ; 3)\) par rapport à l'axe des abscisses est \((1 ; -3)\), qui n'appartient pas à la frise (tous les motifs sont au-dessus de l'axe).