Dans un triangle rectangle, on regarde un des deux angles aigus (pas l'angle droit).
Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\), pour l'angle \(\widehat{A}\) :
Le côté adjacent dépend de l'angle choisi. Pour l'angle \(\widehat{B}\), le côté adjacent est \([BC]\).
Dans un triangle rectangle, \[\cos \widehat{A} = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}}\] Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\) : \(\cos \widehat{A} = \dfrac{AC}{AB}\).
Le cosinus d'un angle aigu est toujours entre \(0\) et \(1\) (le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse). Plus l'angle est grand, plus son cosinus est petit.
Elle doit être réglée en degrés (mode « Deg »). La touche \(\cos\) donne le cosinus d'un angle : \(\cos 60° = 0{,}5\). La touche \(\cos^{-1}\) (ou « Arccos ») donne l'angle dont on connaît le cosinus : si \(\cos \widehat{A} = 0{,}5\), alors \(\widehat{A} = 60°\).
\(ABC\) rectangle en \(C\), \(\widehat{A} = 40°\) et \(AB = 10\) cm. \[\cos 40° = \frac{AC}{10} \qquad \text{donc} \qquad AC = 10 \times \cos 40° \approx 7{,}7 \text{ cm}\]
\(ABC\) rectangle en \(C\), \(\widehat{A} = 35°\) et \(AC = 7\) cm. \[\cos 35° = \frac{7}{AB} \qquad \text{donc} \qquad AB = \frac{7}{\cos 35°} \approx 8{,}5 \text{ cm}\]
\(ABC\) rectangle en \(C\), \(AC = 6\) cm et \(AB = 10\) cm. \[\cos \widehat{A} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \text{donc} \qquad \widehat{A} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}1°\]
Le cosinus ne s'utilise que dans un triangle rectangle, et pour un angle aigu.
En 3e, tu découvriras deux autres rapports, le sinus et la tangente, qui utilisent le côté opposé à l'angle.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Hypoténuse | Côté opposé à l'angle droit (le plus long) |
| Côté adjacent à \(\widehat{A}\) | Côté de l'angle droit qui passe par \(A\) |
| Cosinus | \(\cos \widehat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) |
| Calculer l'adjacent | adjacent \(=\) hypoténuse \(\times \cos \widehat{A}\) |
| Calculer l'hypoténuse | hypoténuse \(=\) adjacent \(\div \cos \widehat{A}\) |
| Calculer l'angle | \(\widehat{A} = \cos^{-1}\left(\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)\) |
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).
a) Quelle est l'hypoténuse ?
b) Quel est le côté adjacent à l'angle \(\widehat{A}\) ?
c) Quel est le côté adjacent à l'angle \(\widehat{B}\) ?
a) L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : \(\mathbf{[AB]}\).
b) Le côté de l'angle droit qui passe par \(A\) : \(\mathbf{[AC]}\).
c) Le côté de l'angle droit qui passe par \(B\) : \(\mathbf{[BC]}\).
Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(E\). Écris \(\cos \widehat{D}\) et \(\cos \widehat{F}\) sous forme de quotients de longueurs.
L'hypoténuse est \([DF]\) (opposée à l'angle droit en \(E\)). \[\cos \widehat{D} = \mathbf{\frac{DE}{DF}} \qquad \cos \widehat{F} = \mathbf{\frac{EF}{DF}}\]
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), avec \(AC = 4\) cm, \(BC = 3\) cm et \(AB = 5\) cm. Calcule \(\cos \widehat{A}\) et \(\cos \widehat{B}\).
\[\cos \widehat{A} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = \mathbf{0{,}8} \qquad \cos \widehat{B} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = \mathbf{0{,}6}\]
a) Donne \(\cos 60°\) et \(\cos 35°\) (au millième près).
b) Donne l'angle aigu dont le cosinus vaut \(0{,}5\), puis celui dont le cosinus vaut \(0{,}8\) (au dixième de degré près).
a) \(\cos 60° = \mathbf{0{,}5}\) ; \(\cos 35° \approx \mathbf{0{,}819}\).
b) \(\cos^{-1}(0{,}5) = \mathbf{60°}\) ; \(\cos^{-1}(0{,}8) \approx \mathbf{36{,}9°}\).
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), avec \(\widehat{A} = 40°\) et \(AB = 10\) cm. Calcule \(AC\) (au millimètre près).
Le triangle est rectangle en \(C\) ; pour l'angle \(\widehat{A}\), l'hypoténuse est \([AB]\) et le côté adjacent \([AC]\). \[\cos 40° = \frac{AC}{10} \qquad \text{donc} \qquad AC = 10 \times \cos 40° \approx \mathbf{7{,}7 \text{ cm}}\]
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), avec \(AC = 6\) cm et \(AB = 10\) cm. Calcule \(\widehat{A}\) (au dixième de degré près).
\[\cos \widehat{A} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \widehat{A} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx \mathbf{53{,}1°}\]
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(AB = 4\) cm et \(AC = 5\) cm. Calcule \(\cos\widehat{A}\).
\([AB]\) est adjacent à \(\widehat{A}\) et \([AC]\) est l'hypoténuse : \(\cos\widehat{A} = \dfrac{4}{5} = \mathbf{0{,}8}\).
Donne une valeur approchée au millième de \(\cos 50°\), puis de \(\cos 0°\).
\(\cos 50° \approx \mathbf{0{,}643}\) ; \(\cos 0° = \mathbf{1}\).
Donne la mesure de l'angle aigu \(\widehat{A}\) (au degré près) tel que :
a) \(\cos\widehat{A} = 0{,}5\) \(\quad\)
b) \(\cos\widehat{A} = 0{,}8\)
a) \(\mathbf{60°}\) ; b) environ \(\mathbf{37°}\) (touche \(\cos^{-1}\)).
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure \(10\) cm et un angle aigu mesure \(30°\). Calcule le côté adjacent à cet angle (au mm près).
\(\cos 30° = \dfrac{\text{adj}}{10}\), donc \(\text{adj} = 10 \times \cos 30° \approx \mathbf{8{,}7}\) cm.
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle de \(40°\) mesure \(6\) cm. Calcule l'hypoténuse (au mm près).
\(\cos 40° = \dfrac{6}{h}\), donc \(h = \dfrac{6}{\cos 40°} \approx \mathbf{7{,}8}\) cm.
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), avec \(\widehat{A} = 35°\) et \(AC = 7\) cm. Calcule \(AB\) (au millimètre près).
\[\cos 35° = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{AB} \qquad \text{donc} \qquad AB = \frac{7}{\cos 35°} \approx \mathbf{8{,}5 \text{ cm}}\]
🔍 Cohérence : l'hypoténuse (\(8{,}5\) cm) est bien plus longue que le côté adjacent (\(7\) cm).
Une échelle de \(5\) m est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle de \(70°\) avec le sol horizontal.
a) À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ? (au cm près)
b) À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? (au cm près)
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle (le mur est perpendiculaire au sol). L'échelle est l'hypoténuse.
a) Le côté adjacent à l'angle de \(70°\) est la distance au sol : \[d = 5 \times \cos 70° \approx \mathbf{1{,}71 \text{ m}}\]
b) D'après le théorème de Pythagore : \(h^2 = 5^2 - d^2 \approx 25 - 2{,}92 = 22{,}08\), donc \(h \approx \mathbf{4{,}70 \text{ m}}\).
Une rampe mesure \(6\) m de long et couvre une distance horizontale de \(5{,}8\) m. Quel angle fait-elle avec le sol ? (au dixième de degré près)
La rampe est l'hypoténuse, la distance horizontale est le côté adjacent à l'angle avec le sol : \[\cos \alpha = \frac{5{,}8}{6} \approx 0{,}967 \qquad \alpha \approx \mathbf{14{,}8°}\]
Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\), avec \(AB = AC = 10\) cm et \(BC = 12\) cm. On note \(H\) le milieu de \([BC]\).
a) Pourquoi le triangle \(ABH\) est-il rectangle en \(H\) ?
b) Calcule \(\widehat{ABC}\) (au dixième de degré près).
c) Déduis-en \(\widehat{BAC}\).
a) Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base : \((AH) \perp (BC)\). Le triangle \(ABH\) est donc rectangle en \(H\).
b) \(BH = 12 \div 2 = 6\) cm. \[\cos \widehat{ABC} = \frac{BH}{AB} = \frac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \widehat{ABC} \approx \mathbf{53{,}1°}\]
c) Les angles à la base sont égaux : \(\widehat{BAC} = 180° - 2 \times 53{,}13° \approx \mathbf{73{,}7°}\).
Un rectangle mesure \(8\) cm sur \(6\) cm.
a) Calcule la longueur de sa diagonale.
b) Calcule l'angle entre la diagonale et le plus long côté.
a) D'après le théorème de Pythagore : \(d^2 = 8^2 + 6^2 = 100\), donc \(d = \mathbf{10 \text{ cm}}\).
b) La diagonale est l'hypoténuse et le grand côté est adjacent à l'angle cherché : \[\cos \alpha = \frac{8}{10} = 0{,}8 \qquad \alpha \approx \mathbf{36{,}9°}\]
Un triangle a des côtés de \(5\) cm, \(12\) cm et \(13\) cm.
a) Démontre qu'il est rectangle.
b) Calcule ses deux angles aigus. Vérifie que leur somme fait \(90°\).
a) Le plus grand côté mesure \(13\) cm : \(13^2 = 169\) et \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (l'hypoténuse mesure \(13\) cm).
b)
\(22{,}6° + 67{,}4° = 90°\) ✓ (la somme des angles du triangle fait \(180°\), l'angle droit en prend \(90°\)).
Le fil d'un cerf-volant, bien tendu, mesure \(30\) m et fait un angle de \(55°\) avec le sol. À quelle distance horizontale du point d'attache se trouve le cerf-volant ? (au dixième de mètre)
Le fil est l'hypoténuse ; la distance horizontale est le côté adjacent à l'angle de \(55°\) : \[d = 30 \times \cos 55° \approx \mathbf{17{,}2 \text{ m}}\]
Un toit est formé de deux pans de \(5\) m qui se rejoignent au faîte ; la largeur de la maison est \(8\) m.
a) Calcule l'angle que fait chaque pan avec l'horizontale.
b) Calcule la hauteur du toit.
a) Le faîte est au-dessus du milieu de la maison : chaque pan (hypoténuse, \(5\) m) couvre une demi-largeur de \(4\) m (côté adjacent). \[\cos \alpha = \frac{4}{5} = 0{,}8 \qquad \alpha \approx \mathbf{36{,}9°}\]
b) D'après le théorème de Pythagore : \(h^2 = 5^2 - 4^2 = 9\), donc \(h = \mathbf{3 \text{ m}}\).
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), avec \(AC = 7\) cm et \(AB = 12\) cm. Calcule \(\widehat{A}\) au dixième de degré.
\(\cos\widehat{A} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{7}{12}\), donc \(\widehat{A} \approx \mathbf{54{,}3°}\).
Une échelle de \(5\) m fait un angle de \(70°\) avec le sol horizontal. À quelle distance du mur se trouve son pied (au cm près) ?
La distance au mur est le côté adjacent : \(5 \times \cos 70° \approx \mathbf{1{,}71}\) m.
Une rampe de \(8\) m de long couvre une distance horizontale de \(7{,}9\) m. Quel angle fait-elle avec le sol (au dixième de degré) ?
\(\cos\alpha = \dfrac{7{,}9}{8}\), donc \(\alpha \approx \mathbf{9{,}1°}\).
Léo trouve \(\cos\widehat{A} = 1{,}2\). Pourquoi est-ce forcément faux ?
L'hypoténuse est le plus grand côté : le quotient « adjacent ÷ hypoténuse » est toujours inférieur à \(1\). Un cosinus de \(1{,}2\) est impossible.
Un rectangle mesure \(8\) cm sur \(6\) cm.
a) Calcule sa diagonale.
b) Calcule l'angle entre la diagonale et le grand côté (au dixième de degré).
a) \(d^2 = 64 + 36 = 100\), \(d = \mathbf{10}\) cm.
b) \(\cos\alpha = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\), donc \(\alpha \approx \mathbf{36{,}9°}\).
On considère un triangle équilatéral \(ABC\) de côté \(2\), et \(H\) le milieu de \([BC]\).
a) Pourquoi le triangle \(ABH\) est-il rectangle en \(H\) ? Quelle est la mesure de \(\widehat{ABH}\) ?
b) Calcule \(\cos 60°\) sans calculatrice.
a) Dans le triangle équilatéral, \([AH]\) joint le sommet \(A\) au milieu de \([BC]\) ; comme \(AB = AC\), la droite \((AH)\) est la médiatrice de \([BC]\), donc \((AH) \perp (BC)\). Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\), et \(\widehat{ABH} = 60°\) (angle du triangle équilatéral).
b) \(BH = 1\) et \(AB = 2\) : \[\cos 60° = \frac{BH}{AB} = \frac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\]
a) À la calculatrice, donne \(\cos 10°\), \(\cos 30°\), \(\cos 50°\), \(\cos 70°\) et \(\cos 89°\) (au millième près).
b) Que remarques-tu ?
c) Explique pourquoi le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre \(0\) et \(1\).
a) \(\cos 10° \approx 0{,}985\) ; \(\cos 30° \approx 0{,}866\) ; \(\cos 50° \approx 0{,}643\) ; \(\cos 70° \approx 0{,}342\) ; \(\cos 89° \approx 0{,}017\).
b) Quand l'angle augmente, son cosinus diminue, en restant entre \(0\) et \(1\).
c) Le cosinus est un quotient de deux longueurs, donc il est positif. Le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse (le plus long côté), donc le quotient est plus petit que \(1\).
L'échelle d'un toboggan mesure \(2{,}5\) m et fait un angle de \(65°\) avec le sol. La glissière mesure \(4\) m ; elle part du haut de l'échelle et arrive au sol.
a) Calcule la distance au sol entre le pied de l'échelle et le point situé sous le haut de l'échelle.
b) Calcule la hauteur du haut de l'échelle.
c) Calcule l'angle que fait la glissière avec le sol.
d) Quelle longueur au sol occupe le toboggan en tout ?
On appelle \(A\) le pied de l'échelle, \(H\) son sommet, \(K\) le point du sol situé sous \(H\), et \(G\) le bas de la glissière.
a) Dans le triangle \(AKH\) rectangle en \(K\) : \(AK = 2{,}5 \times \cos 65° \approx \mathbf{1{,}06 \text{ m}}\).
b) Pythagore : \(HK^2 = 2{,}5^2 - AK^2 \approx 6{,}25 - 1{,}12 = 5{,}13\), donc \(HK \approx \mathbf{2{,}27 \text{ m}}\).
c) Dans le triangle \(GKH\) rectangle en \(K\), Pythagore : \(GK^2 = 4^2 - HK^2 \approx 16 - 5{,}13 = 10{,}87\), donc \(GK \approx 3{,}30\) m. \[\cos \widehat{HGK} = \frac{GK}{GH} \approx \frac{3{,}30}{4} \approx 0{,}824 \qquad \widehat{HGK} \approx \mathbf{34{,}5°}\]
d) \(AK + KG \approx 1{,}06 + 3{,}30 = \mathbf{4{,}36 \text{ m}}\) (environ \(4{,}35\) m avec les valeurs non arrondies).
Un cube a une arête de \(5\) cm.
a) Calcule la longueur de la diagonale d'une face.
b) Calcule l'angle entre cette diagonale et une arête de la face. Que remarques-tu ?
a) Pythagore dans une face : \(d^2 = 5^2 + 5^2 = 50\), donc \(d = \sqrt{50} \approx \mathbf{7{,}07 \text{ cm}}\).
b) \(\cos \alpha = \dfrac{5}{\sqrt{50}} \approx 0{,}707\), donc \(\alpha = \mathbf{45°}\). C'est normal : la diagonale partage la face carrée en deux triangles rectangles isocèles, dont les angles aigus mesurent \(45°\).
On considère les points \(A(0 ; 0)\), \(B(6 ; 0)\) et \(C(6 ; 4)\).
a) Pourquoi le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(B\) ?
b) Calcule \(AC\).
c) Calcule l'angle \(\widehat{BAC}\).
a) \([AB]\) est horizontal (sur l'axe des abscisses) et \([BC]\) est vertical (abscisse \(6\)) : \((AB) \perp (BC)\). Le triangle est rectangle en \(B\).
b) \(AB = 6\) et \(BC = 4\). Pythagore : \(AC^2 = 36 + 16 = 52\), donc \(AC = \sqrt{52} \approx \mathbf{7{,}21}\).
c) \(\cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{\sqrt{52}} \approx 0{,}832\), donc \(\widehat{BAC} \approx \mathbf{33{,}7°}\).
Un avion décolle en suivant une trajectoire rectiligne qui fait un angle de \(12°\) avec le sol. Il parcourt \(2\) km le long de cette trajectoire.
a) Quelle distance horizontale a-t-il parcourue ? (au mètre près)
b) À quelle altitude est-il alors ? (au mètre près)
La trajectoire (\(2\) km) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ; la distance horizontale est le côté adjacent à l'angle de \(12°\).
a) \(d = 2 \times \cos 12° \approx 1{,}956\) km, soit environ \(\mathbf{1\,956 \text{ m}}\).
b) Pythagore : \(h^2 = 2^2 - d^2 \approx 4 - 3{,}827 = 0{,}173\), donc \(h \approx 0{,}416\) km, soit environ \(\mathbf{416 \text{ m}}\).