4e · Chapitre 2 · Nombres et calculs

Calculs avec les fractions

30 exercices corrigés

1 Rappels : additionner et soustraire

On ne peut additionner (ou soustraire) des fractions que si elles ont le même dénominateur. Sinon, on les écrit d'abord avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$

2 Multiplier des fractions

À retenir

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Exemple

$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$.

Astuce — simplifier avant de multiplier

$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{3 \times 8}{4 \times 9} = \dfrac{3 \times 4 \times 2}{4 \times 3 \times 3} = \dfrac{2}{3}$. On a « barré » les facteurs communs $3$ et $4$ avant de calculer.

« De » se traduit par « $\times$ »

Prendre les $\dfrac{2}{3}$ des $\dfrac{3}{4}$ d'un gâteau, c'est calculer $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$ du gâteau.

3 L'inverse d'un nombre

Définition

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit vaut $1$. L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$) est $\dfrac{b}{a}$ : on « retourne » la fraction. L'inverse de $\dfrac{3}{7}$ est $\dfrac{7}{3}$ ; l'inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$.

Attention

$0$ n'a pas d'inverse. Et ne pas confondre inverse ($\dfrac{3}{7} \to \dfrac{7}{3}$) et opposé ($\dfrac{3}{7} \to -\dfrac{3}{7}$).

4 Diviser par une fraction

À retenir

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Exemple

$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$.

Pour comprendre

$3 \div \dfrac{1}{2}$, c'est « combien de demis dans $3$ ? » : il y en a $6$. Et en effet $3 \times 2 = 6$.

5 Priorités et calculs enchaînés

Les règles de priorité restent les mêmes : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$

Méthode

On avance pas à pas, une opération par ligne, et on simplifie dès que possible.

6 Équations avec des fractions

Pour se débarrasser des fractions dans une équation, on multiplie les deux membres par un dénominateur commun.

Exemple

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$. On multiplie par $6$ : $3x + 2x = 30$, donc $5x = 30$ et $x = 6$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

Au lycée, tu étudieras des fractions avec l'inconnue au dénominateur, comme $\dfrac{3}{x - 1}$ (il faudra alors exclure les valeurs qui annulent le dénominateur).

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Opération	Règle
Addition, soustraction	Même dénominateur d'abord : $\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a + b}{d}$
Multiplication	$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ (simplifier avant si possible)
Inverse	L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$
Division	$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
« Les $\dfrac{2}{3}$ de… »	Multiplier par $\dfrac{2}{3}$
Équation avec fractions	Multiplier les deux membres par un dénominateur commun

Pièges à éviter

Pour multiplier, pas besoin de dénominateur commun ; pour additionner, si.
Diviser par $\dfrac{c}{d}$, c'est multiplier par $\dfrac{d}{c}$ (on retourne la deuxième fraction).
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Addition de fractionsNiveau 1

Calcule :
a) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}$
b) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$
c) $\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}$

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Règle

pour additionner/soustraire des fractions, on les met au même dénominateur (de préférence le plus petit dénominateur commun), puis on additionne/soustrait les numérateurs.

a) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}$

Dénominateur commun de $3$ et $4$ : $12$. On multiplie haut et bas pour avoir 12 au dénominateur : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12} \quad ; \quad \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$ $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8 + 3}{12} = \mathbf{\dfrac{11}{12}}$

b) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$

Dénominateur commun de $6$ et $4$ : $12$ : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \mathbf{\dfrac{7}{12}}$

c) $\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}$

Dénominateur commun de $5$ et $3$ : $15$ : $\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{10}{15} = \mathbf{\dfrac{19}{15}}$

Astuce

On peut toujours prendre $b \times d$ comme dénominateur commun (au lieu du plus petit dénominateur commun), mais ça donne souvent des résultats à simplifier.

Exercice 2—Multiplication et divisionNiveau 1

Calcule et simplifie :
a) $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$
b) $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3}$
c) $\dfrac{7}{12} \times \dfrac{4}{14}$

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Règle

multiplier des fractions = multiplier numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux. Diviser = multiplier par l'inverse.

a) $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$

$\dfrac{3 \times 8}{4 \times 9} = \dfrac{24}{36} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$

🔍 Vérification (simplification précoce) : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{3}{9} \times \dfrac{8}{4} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}$ ✓

b) $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3}$

Diviser, c'est multiplier par l'inverse : $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{60} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}$

c) $\dfrac{7}{12} \times \dfrac{4}{14}$

$\dfrac{7 \times 4}{12 \times 14} = \dfrac{28}{168} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$

Astuce simplification

On peut simplifier avant de multiplier (« diagonal cancellation ») : $\dfrac{7}{12} \times \dfrac{4}{14} = \dfrac{7}{14} \times \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$. Plus rapide !

Exercice 3—Fractions de fractionsNiveau 1

Simplifie :
a) $\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{2}{15}}$
b) $\dfrac{\dfrac{3}{7}}{\dfrac{9}{14}}$

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Règle

pour simplifier une fraction de fractions, on multiplie par l'inverse du dénominateur (= "diviser par une fraction").

a) $\dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{15}}$

$\dfrac{4}{5} \div \dfrac{2}{15} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{15}{2} = \dfrac{4 \times 15}{5 \times 2} = \dfrac{60}{10} = \mathbf{6}$

🔍 Vérification : $6 \times \dfrac{2}{15} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$ ✓

b) $\dfrac{\frac{3}{7}}{\frac{9}{14}}$

$\dfrac{3}{7} \div \dfrac{9}{14} = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{14}{9} = \dfrac{3 \times 14}{7 \times 9} = \dfrac{42}{63} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$

Mémo

« diviser par une fraction = multiplier par l'inverse ». Inverser une fraction = échanger numérateur et dénominateur.

Exercice 4—Équation simple avec fractionsNiveau 1

Résous :
a) $\dfrac{x}{3} = 4$
b) $\dfrac{2x}{5} = 6$
c) $\dfrac{x+1}{4} = 3$

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Stratégie

pour isoler $x$ dans une équation avec fractions, on multiplie les deux membres par le dénominateur, puis on résout l'équation simple obtenue.

a) $\dfrac{x}{3} = 4$

On multiplie les deux membres par 3 : $x = 4 \times 3 = \mathbf{12}$

🔍 Vérification : $\dfrac{12}{3} = 4$ ✓

b) $\dfrac{2x}{5} = 6$

On multiplie par 5 : $2x = 30 \quad\Rightarrow\quad x = \mathbf{15}$

🔍 Vérification : $\dfrac{2 \times 15}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$ ✓

c) $\dfrac{x+1}{4} = 3$

On multiplie par 4 : $x + 1 = 12 \quad\Rightarrow\quad x = \mathbf{11}$

🔍 Vérification : $\dfrac{11 + 1}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$ ✓

Exercice 5—InverseNiveau 1

Donne l'inverse de chaque nombre :
a) $\dfrac{3}{7}$
b) $5$
c) $\dfrac{1}{4}$
d) $\dfrac{8}{3}$

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Règle

l'inverse de $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$) est $\dfrac{b}{a}$ : on retourne la fraction.

a) $\mathbf{\dfrac{7}{3}}$

b) $5 = \dfrac{5}{1}$, son inverse est $\mathbf{\dfrac{1}{5}}$.

c) $\dfrac{4}{1} = \mathbf{4}$

d) $\mathbf{\dfrac{3}{8}}$

🔍 Vérification : le produit d'un nombre et de son inverse vaut $1$ : $\dfrac{3}{7} \times \dfrac{7}{3} = 1$ ✓.

Exercice 6—Fraction de fractionNiveau 1

On mange les $\dfrac{2}{3}$ des $\dfrac{3}{4}$ d'un gâteau. Quelle fraction du gâteau entier a-t-on mangée ?

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Règle

« les $\dfrac{2}{3}$ des $\dfrac{3}{4}$ » se traduit par une multiplication.

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}}$

On a mangé la moitié du gâteau.

Exercice 7—Multiplier des fractionsNiveau 1

Calcule et simplifie :
a) $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5}$ $\quad$
b) $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$ $\quad$
c) $-\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4}$

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a) $\dfrac{2 \times 4}{3 \times 5} = \mathbf{\dfrac{8}{15}}$.

b) On simplifie avant de multiplier : $\dfrac{3 \times 8}{4 \times 9} = \dfrac{3 \times 4 \times 2}{4 \times 3 \times 3} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$.

c) $-\dfrac{2 \times 9}{3 \times 4} = -\dfrac{18}{12} = \mathbf{-\dfrac{3}{2}}$.

Exercice 8—L'inverseNiveau 1

Donne l'inverse de :
a) $\dfrac{5}{7}$ $\quad$
b) $4$ $\quad$
c) $-\dfrac{2}{3}$

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a) $\mathbf{\dfrac{7}{5}}$ ; b) $\mathbf{\dfrac{1}{4}}$ ; c) $\mathbf{-\dfrac{3}{2}}$.

Astuce

Un nombre et son inverse ont toujours le même signe : leur produit vaut $1$.

Exercice 9—Diviser des fractionsNiveau 1

Calcule et simplifie :
a) $\dfrac{3}{5} \div \dfrac{2}{7}$ $\quad$
b) $\dfrac{4}{9} \div \dfrac{2}{3}$

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🎯 Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

a) $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{2} = \mathbf{\dfrac{21}{10}}$.

b) $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{18} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$.

Exercice 10—Additionner, soustraireNiveau 1

Calcule :
a) $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ $\quad$
b) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}$

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a) $\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \mathbf{\dfrac{11}{12}}$.

b) $\dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12} = \mathbf{\dfrac{1}{12}}$.

Exercice 11—Fraction d'une fractionNiveau 1

Calcule les $\dfrac{3}{4}$ de $\dfrac{2}{5}$.

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« de » signifie « fois » : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \mathbf{\dfrac{3}{10}}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Fractions algébriques : additionNiveau 2

Calcule :
a) $\dfrac{x+1}{3} + \dfrac{x-2}{6}$
b) $\dfrac{2x}{5} - \dfrac{x+3}{10}$

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Stratégie

on met au même dénominateur, on développe le numérateur, on réduit.

a) $\dfrac{x+1}{3} + \dfrac{x-2}{6}$

Dénominateur commun de $3$ et $6$ : $6$. On multiplie la première fraction par 2/2 : $\dfrac{2(x+1)}{6} + \dfrac{x-2}{6} = \dfrac{2(x+1) + (x-2)}{6}$

Développement : $= \dfrac{2x + 2 + x - 2}{6} = \dfrac{3x}{6} = \mathbf{\dfrac{x}{2}}$

b) $\dfrac{2x}{5} - \dfrac{x+3}{10}$

Dénominateur commun de $5$ et $10$ : $10$ : $\dfrac{4x}{10} - \dfrac{x+3}{10} = \dfrac{4x - (x+3)}{10}$

⚠️ Attention au signe moins devant la parenthèse : $= \dfrac{4x - x - 3}{10} = \mathbf{\dfrac{3x - 3}{10}}$

On peut factoriser : $= \dfrac{3(x-1)}{10}$.

Piège classique

Le signe moins se distribue sur tous les termes du numérateur de la fraction soustraite. $-(x+3) = -x - 3$ (et non $-x + 3$).

Exercice 13—Équation avec deux fractionsNiveau 2

Résous : $\frac{x+2}{4} = \frac{2x-1}{6}$

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Stratégie

pour une équation du type $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$, on peut utiliser le produit en croix ou multiplier par un dénominateur commun.

Étape 1 — Multiplication par un dénominateur commun

Dénominateur commun de $4$ et $6$ : $12$. On multiplie les deux membres par 12 : $12 \times \dfrac{x+2}{4} = 12 \times \dfrac{2x-1}{6}$ $\[3(x+2) = 2(2x-1)\]$

Étape 2 — Développer

$\[3x + 6 = 4x - 2\]$

Étape 3 — Résoudre

$\[6 + 2 = 4x - 3x\]$ $x = \mathbf{8}$

🔍 Vérification : $\dfrac{8+2}{4} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ et $\dfrac{2 \times 8 - 1}{6} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$ ✓

Exercice 14—Équation avec trois termesNiveau 2

Résous : $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$

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Stratégie

on multiplie les deux membres par le plus petit dénominateur commun pour éliminer les fractions.

Étape 1 — Multiplication par 6 (dénominateur commun de 2 et 3)

$6 \times \dfrac{x}{2} + 6 \times \dfrac{x}{3} = 6 \times 5$ $\[3x + 2x = 30\]$

Étape 2 — Résoudre

$5x = 30 \quad\Rightarrow\quad x = \mathbf{6}$

🔍 Vérification : $\dfrac{6}{2} + \dfrac{6}{3} = 3 + 2 = 5$ ✓

Astuce

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = x \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = x \times \dfrac{5}{6}$. Donc $x = 5 \div \dfrac{5}{6} = 5 \times \dfrac{6}{5} = 6$ ✓

Exercice 15—Problème : âgeNiveau 2

Dans 5 ans, l'âge de Paul sera les $\frac{3}{4}$ de l'âge de sa sœur qui a actuellement 20 ans. Quel est l'âge actuel de Paul ?

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Stratégie

on traduit l'énoncé en équation, on résout, on revient à l'âge actuel.

Étape 1 — Calcul de l'âge de la sœur dans 5 ans

$\text{Âge sœur dans 5 ans} = 20 + 5 = 25 \text{ ans}$

Étape 2 — Âge de Paul dans 5 ans

Paul = $\dfrac{3}{4}$ de l'âge de sa sœur (dans 5 ans) : $\text{Paul dans 5 ans} = \dfrac{3}{4} \times 25 = \dfrac{75}{4} = 18{,}75 \text{ ans}$

Étape 3 — Âge actuel de Paul

$\text{Paul aujourd'hui} = 18{,}75 - 5 = \mathbf{13{,}75 \text{ ans}}$

Soit 13 ans et 9 mois (puisque $0{,}75 \times 12 = 9$ mois).

🔍 Vérification : dans 5 ans, Paul aura $13{,}75 + 5 = 18{,}75$ ans, et $\dfrac{3}{4} \times 25 = 18{,}75$ ✓

Exercice 16—Produit en croix et proportionNiveau 2

Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $ad = bc$ (produit en croix). Trouve $x$ si $\dfrac{3}{x} = \dfrac{12}{20}$.

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Règle

l'égalité de deux fractions $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ équivaut à $ad = bc$ (produit en croix).

Étape 1 — Application du produit en croix

$\dfrac{3}{x} = \dfrac{12}{20} \quad\Rightarrow\quad 3 \times 20 = 12 \times x$ $\[60 = 12x\]$

Étape 2 — Résoudre

$x = \dfrac{60}{12} = \mathbf{5}$

🔍 Vérification : $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ et $\dfrac{12}{20} = 0{,}6$ ✓

Méthode alternative

On remarque que $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ (simplification par 4). Donc $x = 5$ par identification.

Exercice 17—Fraction et développementNiveau 2

Calcule : $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{4}$ Simplifie le résultat.

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Stratégie

on développe les identités remarquables au numérateur, on simplifie, on divise.

Étape 1 — Développer $(x+1)^2$

$\[(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\]$

Étape 2 — Développer $(x-1)^2$

$\[(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\]$

Étape 3 — Calculer la différence

$\[(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)\]$ $\[= x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x\]$

Étape 4 — Diviser par 4

$\dfrac{4x}{4} = \mathbf{x}$

🔍 Vérification numérique : pour $x = 3$ : $\dfrac{16 - 4}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$ ✓

Identité remarquable

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$. C'est la différence de deux carrés appliquée à $u = a+b$ et $v = a-b$ : $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) = 2b \times 2a = 4ab$.

Exercice 18—Équation avec mise au même dénominateurNiveau 2

Résous : $\frac{2x+1}{3} - \frac{x-1}{4} = 1$

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Stratégie

on multiplie tout par un dénominateur commun, on développe (attention aux signes), on résout.

Étape 1 — Multiplication par 12 (dénominateur commun de 3 et 4)

$12 \times \dfrac{2x+1}{3} - 12 \times \dfrac{x-1}{4} = 12 \times 1$ $\[4(2x+1) - 3(x-1) = 12\]$

Étape 2 — Développer (attention au signe -)

$\[8x + 4 - 3x + 3 = 12\]$

Étape 3 — Réduire

$\[5x + 7 = 12\]$

Étape 4 — Résoudre

$5x = 5 \quad\Rightarrow\quad x = \mathbf{1}$

🔍 Vérification : $\dfrac{2 \times 1 + 1}{3} - \dfrac{1 - 1}{4} = \dfrac{3}{3} - 0 = 1$ ✓

Piège

Le « $- 3(x-1)$ » donne « $-3x + 3$ » (les deux signes changent), pas « $-3x - 3$ ».

Exercice 19—Le rubanNiveau 2

Un ruban de $\dfrac{7}{2}$ m est coupé en morceaux de $\dfrac{7}{8}$ m chacun. Combien de morceaux obtient-on ?

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Méthode

nombre de morceaux $=$ longueur totale $\div$ longueur d'un morceau.

$\frac{7}{2} \div \frac{7}{8} = \frac{7}{2} \times \frac{8}{7} = \frac{7 \times 8}{2 \times 7} = \frac{8}{2} = \mathbf{4 \text{ morceaux}}$

🔍 Vérification : $4 \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{28}{8} = \dfrac{7}{2}$ ✓.

Exercice 20—PrioritésNiveau 2

Calcule : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}$.

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La multiplication d'abord : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$, puis $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{5}{6}}$.

Exercice 21—Avec des parenthèsesNiveau 2

Calcule : $\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}\right) \times \dfrac{3}{5}$.

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$\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$, puis $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{15}{30} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.

Exercice 22—La pizzaNiveau 2

Léa mange $\dfrac{1}{3}$ d'une pizza, puis Tom mange $\dfrac{1}{4}$ du reste.
a) Quelle fraction de la pizza Tom a-t-il mangée ?
b) Quelle fraction de la pizza reste-t-il ?

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a) Le reste vaut $\dfrac{2}{3}$ ; Tom en mange $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$ de la pizza.

b) Mangé : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$. Il reste $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$ pizza.

Exercice 23—Les verresNiveau 2

Avec une bouteille de $\dfrac{3}{4}$ L, combien de verres de $\dfrac{1}{8}$ L peut-on remplir ?

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$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4} \times 8 = \mathbf{6}$ verres.

Exercice 24—Fraction d'étagesNiveau 2

Calcule : $\dfrac{1 + \dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{4}}$.

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Numérateur : $\dfrac{3}{2}$ ; dénominateur : $\dfrac{3}{4}$. Donc $\dfrac{3}{2} \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{3} = \mathbf{2}$.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Le réservoirNiveau 3

Un réservoir est rempli aux $\dfrac{3}{4}$. On vide les $\dfrac{2}{5}$ de l'eau qu'il contient, puis on rajoute une quantité d'eau égale à $\dfrac{1}{6}$ de sa capacité.
a) Quelle fraction de la capacité reste-t-il après avoir vidé ?
b) Quelle fraction de la capacité contient-il à la fin ?

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a) On vide les $\dfrac{2}{5}$ du contenu, il reste donc les $\dfrac{3}{5}$ du contenu, c'est-à-dire les $\dfrac{3}{5}$ des $\dfrac{3}{4}$ de la capacité : $\frac{3}{5} \times \frac{3}{4} = \mathbf{\frac{9}{20}}$

b) On ajoute $\dfrac{1}{6}$ de la capacité. Dénominateur commun $60$ : $\frac{9}{20} + \frac{1}{6} = \frac{27}{60} + \frac{10}{60} = \mathbf{\frac{37}{60}}$

Piège

Les $\dfrac{2}{5}$ portent sur le contenu (et non sur la capacité) : c'est pour cela qu'on multiplie.

Exercice 26—Calculs mixtesNiveau 3

Calcule en respectant les priorités :
a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \times 2$
b) $\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}\right) \times \dfrac{3}{5}$
c) $\dfrac{4}{5} \div \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{5}$

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Rappel

parenthèses, puis $\times$ et $\div$, puis $+$ et $-$.

a) $\dfrac{3}{4} \times 2 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$, puis $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{2} = \mathbf{2}$.

b) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$, puis $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{15}{30} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.

c) $\dfrac{4}{5} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}$, puis $\dfrac{6}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{5} = \mathbf{1}$.

Exercice 27—Un calcul en plusieurs étapesNiveau 3

Calcule en détaillant chaque étape : $B = \left(\frac{2}{3} + \frac{3}{4}\right) \div \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\right) \times \frac{2}{5}$

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Étape 1 — Première parenthèse : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}$.

Étape 2 — Deuxième parenthèse : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Étape 3 — Division (de gauche à droite) : $\dfrac{17}{12} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} \times 2 = \dfrac{34}{12} = \dfrac{17}{6}$.

Étape 4 — Multiplication : $B = \dfrac{17}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{34}{30} = \mathbf{\dfrac{17}{15}}$.

Exercice 28—Problème de mélangeNiveau 3

Un récipient contient $\frac{2}{5}$ d'eau et le reste de jus. On ajoute 3 litres d'eau et la proportion d'eau devient $\frac{1}{2}$. Quelle est la contenance initiale du récipient ?

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Stratégie

on pose une variable pour la contenance, on exprime les quantités d'eau avant/après, on traduit en équation, on résout.

Étape 1 — Mise en équation

Soit $V$ la contenance initiale en litres.

Eau initiale : $\dfrac{2V}{5}$
Après ajout de 3 L d'eau : eau = $\dfrac{2V}{5} + 3$ ; total = $V + 3$.

Nouvelle proportion d'eau = $\dfrac{1}{2}$ : $\dfrac{\dfrac{2V}{5} + 3}{V + 3} = \dfrac{1}{2}$

Étape 2 — Produit en croix

$2\left(\dfrac{2V}{5} + 3\right) = V + 3$ $\dfrac{4V}{5} + 6 = V + 3$

Étape 3 — Éliminer le dénominateur (× 5)

$\[4V + 30 = 5V + 15\]$

Étape 4 — Résoudre

$\[30 - 15 = 5V - 4V\]$ $V = \mathbf{15 \text{ litres}}$

🔍 Vérification :

Eau initiale : $\dfrac{2}{5} \times 15 = 6$ L
Après ajout : eau = $6 + 3 = 9$ L ; total = $15 + 3 = 18$ L
Proportion : $\dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2}$ ✓

Vérification physique

La contenance initiale doit être un volume cohérent (positif) — 15 L est plausible pour un récipient.

Exercice 29—Équation avec paramètreNiveau 3

Pour quelle valeur de $k$, l'équation $\dfrac{kx+1}{3} = \dfrac{x+k}{2}$ a-t-elle pour solution $x = 1$ ?

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Stratégie

on substitue $x = 1$ dans l'équation et on résout en $k$.

Étape 1 — Substituer $x = 1$

$\dfrac{k \times 1 + 1}{3} = \dfrac{1 + k}{2}$ $\dfrac{k+1}{3} = \dfrac{k+1}{2}$

Étape 2 — Analyser l'équation

Cette équation a la forme $\dfrac{A}{3} = \dfrac{A}{2}$ avec $A = k + 1$.

Si $A \neq 0$, alors en divisant par $A$ : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}$ → faux. Donc nécessairement $A = 0$.

Étape 3 — Résoudre $A = 0$

$k + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = \mathbf{-1}$

🔍 Vérification : pour $k = -1$, l'équation devient $\dfrac{-x + 1}{3} = \dfrac{x - 1}{2}$. Substituer $x = 1$ : $\dfrac{0}{3} = \dfrac{0}{2}$ → $0 = 0$ ✓

Astuce

Produit en croix donne $2(k+1) = 3(k+1)$ → $2k + 2 = 3k + 3$ → $k = -1$. Même résultat.

Exercice 30—Synthèse : circuit de réductionNiveau 3

Calcule : $\frac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6}}{\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{4}} + \frac{1}{2}$

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Stratégie

on calcule séparément numérateur, dénominateur de la grande fraction, on divise, puis on ajoute $\dfrac{1}{2}$.

Étape 1 — Numérateur de la grande fraction

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6}$

Dénominateur commun de $4$ et $6$ : $12$ : $= \dfrac{9}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{11}{12}$

Étape 2 — Dénominateur de la grande fraction

$\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{4}$

Dénominateur commun de $8$ et $4$ : $8$ : $= \dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}$

Étape 3 — Calcul du quotient

$\dfrac{\dfrac{11}{12}}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{11}{12} \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{11 \times 8}{12 \times 3} = \dfrac{88}{36}$

Simplification (on divise le numérateur et le dénominateur par 4) : $= \dfrac{22}{9}$

Étape 4 — Addition finale

$\dfrac{22}{9} + \dfrac{1}{2}$

Dénominateur commun de $9$ et $2$ : $18$ : $= \dfrac{44}{18} + \dfrac{9}{18} = \mathbf{\dfrac{53}{18}}$

🔍 Valeur décimale : $\dfrac{53}{18} \approx 2{,}944$.

Stratégie générale

Pour une expression complexe : on calcule de bas en haut et de gauche à droite, en respectant les priorités opératoires (parenthèses, multiplication/division, addition/soustraction).