4e · Chapitre 1 · Nombres et calculs

Calculs avec les nombres relatifs

30 exercices corrigés

1 Rappels : additionner et soustraire

Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe : $(-4) + (-6) = -10$.
Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro : $(-7) + 4 = -3$.
Soustraire, c'est ajouter l'opposé : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

2 Multiplier des nombres relatifs

À retenir — la règle des signes

le produit de deux nombres de même signe est positif ;
le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

$(+3) \times (+4) = 12 \quad (-6) \times (-3) = 18 \quad (-5) \times 2 = -10 \quad 7 \times (-2) = -14$

Pour comprendre $(-) \times (-) = (+)$

$(-3) \times 4 = -12$, $(-3) \times 3 = -9$, $(-3) \times 2 = -6$… quand on diminue le deuxième facteur de $1$, le produit augmente de $3$. En continuant : $(-3) \times 0 = 0$, puis $(-3) \times (-1) = 3$.

Produit de plusieurs facteurs

On compte les facteurs négatifs. S'il y en a un nombre pair, le produit est positif ; un nombre impair, il est négatif. $(-2) \times 3 \times (-4) \times (-1) = -24$ (trois facteurs négatifs).

3 Diviser des nombres relatifs

La règle des signes est la même pour la division :

$\frac{-12}{3} = -4 \qquad \frac{-15}{-5} = 3 \qquad \frac{20}{-4} = -5$

À retenir

$\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}$.

4 Puissances et priorités

Attention aux parenthèses

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$, mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$. Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair : $(-2)^3 = -8$.

Les priorités sont les mêmes qu'avec les nombres positifs : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

Exemple

$-2 \times (3 - 7) + (-1)^2 = -2 \times (-4) + 1 = 8 + 1 = 9$.

5 Calcul littéral avec des nombres relatifs

Méthode — remplacer une lettre par un nombre négatif

On écrit le nombre entre parenthèses. Pour $x = -3$ : $2x^2 - x = 2 \times (-3)^2 - (-3) = 2 \times 9 + 3 = 21$.

Résoudre une équation

$-4x + 12 = 4$ donne $-4x = -8$, puis $x = \dfrac{-8}{-4} = 2$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

Au lycée, tu utiliseras la valeur absolue dans des équations comme $|x - 2| = 5$, et tu résoudras des inéquations dès la 3e.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Addition	Même signe : on ajoute ; signes contraires : on soustrait, signe du plus éloigné de $0$
Soustraction	$a - b = a + (-b)$
Multiplication, division	Même signe → positif ; signes contraires → négatif
Plusieurs facteurs	Nombre pair de facteurs négatifs → positif ; impair → négatif
Puissances	$(-3)^2 = 9$ ; $-3^2 = -9$ ; $(-2)^3 = -8$
Remplacer par un négatif	Toujours mettre des parenthèses

Pièges à éviter

$(-3) \times (-4) = 12$ (positif !), mais $(-3) + (-4) = -7$.
$-3^2 = -9$ alors que $(-3)^2 = 9$.
$-(x - 5) = -x + 5$.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Valeur absolueNiveau 1

Calcule :
a) $|-7|$
b) $|+3{,}5|$
c) $|-\frac{1}{2}|$
d) $|0|$

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Règle

la valeur absolue $|a|$ représente la distance à zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle.

Si $a \geq 0$ : $|a| = a$
Si $a < 0$ : $|a| = -a$ (on enlève le signe)

a) $|-7|$

$-7$ est à distance 7 de zéro → $\mathbf{|-7| = 7}$.

b) $|+3{,}5|$

$+3{,}5$ est positif → on garde la valeur → $\mathbf{|+3{,}5| = 3{,}5}$.

c) $\left|-\dfrac{1}{2}\right|$

$-\frac{1}{2}$ est négatif → on enlève le signe → $\mathbf{\left|-\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}}$.

d) $|0|$

Zéro est à distance 0 de lui-même → $\mathbf{|0| = 0}$.

Mémo

$|a| \geq 0$ toujours. Une valeur absolue n'est jamais négative.

Exercice 2—ComparaisonNiveau 1

Classe dans l'ordre croissant : $-5 \;;\; 3 \;;\; -1 \;;\; -8 \;;\; 0 \;;\; 2$.

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Règle

sur la droite numérique, un nombre est d'autant plus grand qu'il est à droite. Donc :

Tous les négatifs sont plus petits que zéro.
Tous les positifs sont plus grands que zéro.
Entre deux négatifs : le plus proche de zéro est le plus grand.

Étape 1 — Séparer en deux groupes

Négatifs : $-5, -1, -8$
Positifs (et 0) : $3, 0, 2$

Étape 2 — Ranger les négatifs (du plus petit au plus grand)

Plus la valeur absolue est grande, plus le négatif est petit : $|-8| = 8, \;|-5| = 5, \;|-1| = 1 \quad\Rightarrow\quad -8 < -5 < -1$

Étape 3 — Ranger les positifs

$\[0 < 2 < 3\]$

Étape 4 — Conclusion

$\boxed{-8 < -5 < -1 < 0 < 2 < 3}$

Piège

Avec les négatifs, le "plus grand chiffre" donne le plus petit nombre. $-8 < -5$ car 8 > 5 en valeur absolue.

Exercice 3—Addition et soustractionNiveau 1

Calcule :
a) $(-7) + (+4)$
b) $(-3) - (-8)$
c) $(+5) + (-9)$
d) $(-6) - (+2)$

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Règles

Même signe : on additionne les valeurs absolues, on garde le signe.
Signes contraires : on soustrait, on garde le signe du plus grand en valeur absolue.
Soustraire = ajouter l'opposé : $a - b = a + (-b)$.

a) $(-7) + (+4)$

Signes contraires, $|{-7}| > |{+4}|$ → résultat négatif. Différence : $7 - 4 = 3$. $(-7) + (+4) = \mathbf{-3}$

b) $(-3) - (-8)$

Soustraire $(-8)$ = ajouter $(+8)$ : $(-3) - (-8) = (-3) + (+8) = \mathbf{+5}$

c) $(+5) + (-9)$

Signes contraires, $|{-9}| > |{+5}|$ → résultat négatif : $(+5) + (-9) = \mathbf{-4}$

d) $(-6) - (+2)$

Soustraire $(+2)$ = ajouter $(-2)$ → même signe (négatif) : $(-6) - (+2) = (-6) + (-2) = \mathbf{-8}$

Astuce

Transforme toujours les soustractions en additions de l'opposé avant de calculer. Ça simplifie énormément.

Exercice 4—Multiplication et divisionNiveau 1

Calcule :
a) $(-4) \times 7$
b) $(-3) \times (-9)$
c) $(-24) \div 8$
d) $(-15) \div (-5)$

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Règle des signes

$(+) \times (+) = (+)$
$(-) \times (-) = (+)$
$(+) \times (-) = (-)$
$(-) \times (+) = (-)$

(Mêmes règles pour la division.)

a) $(-4) \times 7$

Signes contraires → résultat négatif. Produit des valeurs absolues : $4 \times 7 = 28$. $(-4) \times 7 = \mathbf{-28}$

b) $(-3) \times (-9)$

Mêmes signes (deux négatifs) → résultat positif : $(-3) \times (-9) = \mathbf{+27}$

c) $(-24) \div 8$

Signes contraires → résultat négatif. $24 \div 8 = 3$. $(-24) \div 8 = \mathbf{-3}$

d) $(-15) \div (-5)$

Mêmes signes → résultat positif. $15 \div 5 = 3$. $(-15) \div (-5) = \mathbf{+3}$

Astuce mémo

« moins par moins = plus ; moins par plus = moins ; plus par plus = plus ». Compte le nombre de signes négatifs : si pair → résultat positif ; si impair → négatif.

Exercice 5—PuissancesNiveau 1

Calcule :
a) $(-2)^3$
b) $(-3)^2$
c) $(-1)^{10}$
d) $(-5)^1$

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Règle

$(-a)^n$ dépend de la parité de $n$ :

$n$ pair → résultat positif
$n$ impair → résultat négatif (= $-a^n$)

a) $(-2)^3$

Exposant impair → résultat négatif. $2^3 = 8$ : $(-2)^3 = \mathbf{-8}$

b) $(-3)^2$

Exposant pair → résultat positif. $3^2 = 9$ : $(-3)^2 = \mathbf{+9}$

c) $(-1)^{10}$

Exposant pair (10) → résultat positif. $1^{10} = 1$ : $(-1)^{10} = \mathbf{+1}$

d) $(-5)^1$

Exposant 1 (impair) → résultat négatif : $(-5)^1 = \mathbf{-5}$

Piège fondamental

$\mathbf{-2^2 \neq (-2)^2}$ !

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$
$-2^2 = -(2 \times 2) = -4$

Les parenthèses changent tout.

Exercice 6—Expression simpleNiveau 1

Calcule $(-3) \times (-2) - 5 + (-1)^3$.

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Stratégie

respecter l'ordre des opérations — puissances, puis multiplications, puis additions/soustractions.

Étape 1 — Calculer les puissances et produits

$(-3) \times (-2) = +6 \quad ; \quad (-1)^3 = -1$

Étape 2 — Reconstituer l'expression

$(-3) \times (-2) - 5 + (-1)^3 = 6 - 5 + (-1)$

Étape 3 — Calculer de gauche à droite

$6 - 5 - 1 = 1 - 1 = \mathbf{0}$

🔍 Vérification : $+6, -5, -1$ → somme = $6 + (-5) + (-1) = 0$ ✓

Exercice 7—MultiplierNiveau 1

Calcule :
a) $(-4) \times 5$ $\quad$
b) $(-3) \times (-7)$ $\quad$
c) $6 \times (-8)$

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🎯 Signes contraires → négatif ; mêmes signes → positif.

a) $\mathbf{-20}$ ; b) $\mathbf{21}$ ; c) $\mathbf{-48}$.

Exercice 8—DiviserNiveau 1

Calcule :
a) $(-24) \div 6$ $\quad$
b) $(-36) \div (-9)$ $\quad$
c) $45 \div (-5)$

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a) $\mathbf{-4}$ ; b) $\mathbf{4}$ ; c) $\mathbf{-9}$.

Exercice 9—Plusieurs facteursNiveau 1

Calcule :
a) $(-2) \times (-3) \times (-5)$ $\quad$
b) $(-1) \times (-2) \times (-3) \times (-4)$

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On compte les facteurs négatifs : nombre impair → négatif, nombre pair → positif.

a) Trois facteurs négatifs : $\mathbf{-30}$. b) Quatre facteurs négatifs : $\mathbf{24}$.

Exercice 10—PrioritésNiveau 1

Calcule :
a) $-3 + 4 \times (-2)$ $\quad$
b) $(-3 + 4) \times (-2)$

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a) $-3 + (-8) = \mathbf{-11}$. b) $1 \times (-2) = \mathbf{-2}$.

Attention

Les parenthèses changent le résultat.

Exercice 11—Le nombre manquantNiveau 1

Complète :
a) $(-6) \times \ldots = 42$ $\quad$
b) $\ldots \div (-4) = 3$

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a) $42 \div (-6) = \mathbf{-7}$. b) $3 \times (-4) = \mathbf{-12}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Ordre des opérationsNiveau 2

Calcule :
a) $(-2)^2 - 3 \times (-4) + 7$
b) $-5 \times (-3)^2 + 2 \times (-6)$

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Stratégie

puissances en priorité, puis multiplications, enfin additions.

Étape 1 — a) Calculer les puissances

$(-2)^2 = 4$ (exposant pair).

Étape 2 — Calculer les produits

Dans l'expression $(-2)^2 - 3 \times (-4) + 7$, le terme central est $-\,3 \times (-4)$. Comme $3 \times (-4) = -12$, ce terme vaut $-(-12) = +12$.

Reformulons : $(-2)^2 - 3 \times (-4) + 7 = 4 - (-12) + 7$.

Étape 3 — Conclure

$4 - (-12) + 7 = 4 + 12 + 7 = \mathbf{23}$

Étape 4 — b) Calculer

$(-3)^2 = 9$. Donc $-5 \times 9 = -45$. Et $2 \times (-6) = -12$. $-5 \times (-3)^2 + 2 \times (-6) = -45 + (-12) = \mathbf{-57}$

Attention aux signes

$-(-12) = +12$ ; $-3 \times (-4) = +12$. Bien gérer les doubles négations.

Exercice 13—Développement avec négatifsNiveau 2

Développe et simplifie :
a) $-(2x - 3) + 4(x + 1)$
b) $-3(x - 2) - 2(1 - x)$

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Règle

distribuer le signe et le coefficient à chaque terme entre parenthèses, puis regrouper les termes semblables.

a) $-(2x-3) + 4(x+1)$

Distribuer $-1$ et $4$ : $\[= -2x + 3 + 4x + 4\]$

Regrouper : $= (-2x + 4x) + (3 + 4) = \mathbf{2x + 7}$

b) $-3(x-2) - 2(1-x)$

Distribuer $-3$ et $-2$ : $\[= -3x + 6 - 2 + 2x\]$

⚠️ Attention : $-2 \times (-x) = +2x$ (pas $-2x$) !

Regrouper : $= (-3x + 2x) + (6 - 2) = \mathbf{-x + 4}$

Piège

$-(a - b) = -a + b$ (les signes s'inversent). Erreur classique : écrire $-(a-b) = -a - b$.

Exercice 14—Équation avec relatifsNiveau 2

Résous :
a) $-2x + 5 = 11$
b) $3 - 4x = -9$

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Stratégie

isoler le terme en $x$, puis diviser par son coefficient.

a) $-2x + 5 = 11$

Soustraire 5 des deux côtés : $\[-2x = 11 - 5 = 6\]$

Diviser par $-2$ : $x = \dfrac{6}{-2} = \mathbf{-3}$

🔍 Vérification : $-2 \times (-3) + 5 = 6 + 5 = 11$ ✓

b) $3 - 4x = -9$

Soustraire 3 : $\[-4x = -9 - 3 = -12\]$

Diviser par $-4$ : $x = \dfrac{-12}{-4} = \mathbf{3}$

🔍 Vérification : $3 - 4 \times 3 = 3 - 12 = -9$ ✓

Exercice 15—Équation avec parenthèsesNiveau 2

Résous : $\[-(x + 4) = 2x - 7\]$

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Stratégie

développer le membre de gauche, regrouper les $x$ d'un côté, les constantes de l'autre.

Étape 1 — Développer

$\[-(x + 4) = -x - 4\]$

Étape 2 — Équation simplifiée

$\[-x - 4 = 2x - 7\]$

Étape 3 — Regrouper

Ajouter $x$ aux deux côtés, ajouter $7$ aux deux côtés : $\[-4 + 7 = 2x + x\]$ $\[3 = 3x\]$

Étape 4 — Diviser

$x = \mathbf{1}$

🔍 Vérification : $-(1+4) = -5$ et $2 \times 1 - 7 = -5$ ✓

Exercice 16—Équation doubleNiveau 2

Résous : $\[-3(x - 1) = 2(x + 4) - 1\]$

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Stratégie

développer les deux membres, regrouper.

Étape 1 — Développer

$\[-3(x-1) = -3x + 3\]$ $\[2(x+4) - 1 = 2x + 8 - 1 = 2x + 7\]$

Étape 2 — Équation simplifiée

$\[-3x + 3 = 2x + 7\]$

Étape 3 — Regrouper

$\[3 - 7 = 2x - (-3x) = 2x + 3x\]$ $\[-4 = 5x\]$

Étape 4 — Diviser

$x = \mathbf{-\dfrac{4}{5}}$

🔍 Vérification : $-3(-\frac{4}{5} - 1) = -3 \times (-\frac{9}{5}) = \frac{27}{5}$ ; $2(-\frac{4}{5} + 4) - 1 = 2 \times \frac{16}{5} - 1 = \frac{32}{5} - \frac{5}{5} = \frac{27}{5}$ ✓

Exercice 17—Produit de plusieurs facteursNiveau 2

$P = (-2) \times (+3) \times (-4) \times (-1) \times (+2)$
a) Combien de facteurs négatifs y a-t-il ?
b) Quel est le signe de $P$ ? Calcule $P$.

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a) $(-2)$, $(-4)$ et $(-1)$ : $3$ facteurs négatifs.

b) Un nombre impair de facteurs négatifs : $P$ est négatif. Distances à zéro : $2 \times 3 \times 4 \times 1 \times 2 = 48$. $P = \mathbf{-48}$

Exercice 18—Comparaison d'expressionsNiveau 2

Calcule $A$ et $B$ et compare-les : $A = (-3)^2 + (-2)^3 \quad B = -3^2 - (-2)^3$

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Stratégie

calculer $A$ et $B$ séparément (attention aux parenthèses des puissances), puis comparer.

Étape 1 — Calcul de $A$

$A = (-3)^2 + (-2)^3 = 9 + (-8) = \mathbf{1}$

Étape 2 — Calcul de $B$

⚠️ Ici $-3^2 \neq (-3)^2$. On a $-3^2 = -(3^2) = -9$. $B = -3^2 - (-2)^3 = -9 - (-8) = -9 + 8 = \mathbf{-1}$

Étape 3 — Comparaison

$\boxed{A > B} \quad \text{car} \quad 1 > -1$

Piège central

$\mathbf{-3^2 = -9}$ (puissance avant signe moins) tandis que $\mathbf{(-3)^2 = +9}$. La présence ou absence des parenthèses change complètement le résultat.

Exercice 19—ProblèmeNiveau 2

La température en montagne est de $-8°C$. Elle monte de $3°C$ par heure pendant 4 heures, puis chute de $2°C$ par heure pendant 3 heures. Quelle est la température finale ?

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Stratégie

on suit la chronologie des changements de température, en additionnant les variations à la température courante.

Étape 1 — Température initiale

$\[T_0 = -8°C\]$

Étape 2 — Après la montée (4 heures à +3°C/h)

Variation : $+3 \times 4 = +12°C$. $\[T_1 = -8 + 12 = +4°C\]$

Étape 3 — Après la chute (3 heures à -2°C/h)

Variation : $-2 \times 3 = -6°C$. $T_2 = +4 + (-6) = \mathbf{-2°C}$

➡️ Température finale : −2 °C (encore en dessous de zéro).

🔍 Bilan total : $-8 + 12 - 6 = -2$ ✓

Astuce

On peut aussi calculer la variation totale en une fois : $+12 - 6 = +6°C$, puis $T_0 + 6 = -8 + 6 = -2°C$.

Exercice 20—EnchaînerNiveau 2

Calcule : $-2 \times (-5) - 3 \times 4$.

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$10 - 12 = \mathbf{-2}$.

Exercice 21—Avec des parenthèsesNiveau 2

Calcule : $(-8 + 2) \times (-3) - (-4)$.

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$(-6) \times (-3) - (-4) = 18 + 4 = \mathbf{22}$.

Exercice 22—Le froidNiveau 2

À minuit, il fait $4$ °C. La température baisse ensuite de $3$ °C par heure pendant $5$ heures. Quelle température fait-il à $5$ h ?

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$4 + 5 \times (-3) = 4 - 15 = \mathbf{-11}$ °C.

Exercice 23—Remplacer $x$Niveau 2

Calcule $x(x - 4)$ pour $x = -3$.

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$(-3) \times (-3 - 4) = (-3) \times (-7) = \mathbf{21}$.

Exercice 24—Moyenne de températuresNiveau 2

Relevés d'une semaine d'hiver (en °C) : $-4$ ; $-1$ ; $2$ ; $-3$ ; $-9$. Calcule la moyenne.

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Somme : $-4 - 1 + 2 - 3 - 9 = -15$. Moyenne : $-15 \div 5 = \mathbf{-3}$ °C.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Le signe d'un produitNiveau 3

$a$ et $b$ sont deux nombres non nuls. Complète le tableau avec « $+$ » ou « $-$ ».

Expression	$a > 0$ et $b > 0$	$a > 0$ et $b < 0$	$a < 0$ et $b < 0$
$a \times b$
$a \div b$
$-a \times b$
$(-a) \times (-b)$

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Méthode

on cherche d'abord le signe de chaque facteur ($-a$ est du signe contraire de $a$), puis on applique la règle des signes.

Expression	$a > 0$ et $b > 0$	$a > 0$ et $b < 0$	$a < 0$ et $b < 0$
$a \times b$	$+$	$-$	$+$
$a \div b$	$+$	$-$	$+$
$-a \times b$	$-$	$+$	$-$
$(-a) \times (-b)$	$+$	$-$	$+$

Astuce

$(-a) \times (-b) = a \times b$ : ces deux lignes sont toujours identiques.

Exercice 26—La fenêtre ouverteNiveau 3

La température d'une pièce est de $20$ °C. Une fenêtre ouverte la fait baisser de $1{,}5$ °C par heure.
a) Exprime la température $T$ après $t$ heures.
b) Calcule $T$ pour $t = 4$ et pour $t = 16$.
c) Au bout de combien de temps la température sera-t-elle de $0$ °C ?

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a) En $t$ heures, la température baisse de $1{,}5 \times t$ degrés : $\mathbf{T = 20 - 1{,}5\,t}$.

$t = 4$ : $T = 20 - 6 = \mathbf{14}$ °C.
$t = 16$ : $T = 20 - 24 = \mathbf{-4}$ °C (il gèle !).

c) On résout $20 - 1{,}5\,t = 0$ : $1{,}5\,t = 20$, donc $t = \dfrac{20}{1{,}5} \approx 13{,}3$ h, soit environ $13$ h $20$ min.

Exercice 27—Fractions et signesNiveau 3

Calcule : $C = \frac{-3}{4} + \frac{5}{-6} - \frac{-7}{12}$

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Étape 1 — Placer les signes devant les fractions $\frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} \qquad \frac{5}{-6} = -\frac{5}{6} \qquad -\frac{-7}{12} = +\frac{7}{12}$

Étape 2 — Dénominateur commun $12$ $C = -\frac{9}{12} - \frac{10}{12} + \frac{7}{12} = \frac{-9 - 10 + 7}{12} = \frac{-12}{12} = \mathbf{-1}$

Exercice 28—Expression avec puissances et fractionsNiveau 3

Calcule et simplifie : $\frac{(-2)^3 \times (-3)^2}{(-6)^2}$

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Stratégie

calculer chaque puissance en utilisant la règle des signes, puis simplifier la fraction.

Étape 1 — Calcul des puissances

$(-2)^3 = -8 \quad \text{(impair → négatif)}$ $(-3)^2 = +9 \quad \text{(pair → positif)}$ $(-6)^2 = +36 \quad \text{(pair → positif)}$

Étape 2 — Numérateur

$(-8) \times 9 = -72$

Étape 3 — Quotient

$\dfrac{-72}{36} = \mathbf{-2}$

🔍 Vérification par règle des signes globale : numérateur a 1 signe − (de $-8$) et 0 (de $+9$) → résultat négatif ; le dénominateur est positif → fraction négative ✓

Exercice 29—Problème : compte bancaireNiveau 3

Un compte bancaire commence à $-150€$ (découvert).

Semaine 1 : dépôt de $200€$
Semaine 2 : retrait de $75€$
Semaine 3 : dépôt de $120€$
Semaine 4 : retrait de $340€$ Quel est le solde final ? Le compte est-il à découvert ?

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Stratégie

on additionne (algébriquement) chaque mouvement au solde précédent.

Étape 1 — Solde initial

$S_0 = -150 \text{ €}$

Étape 2 — Évolution semaine par semaine

Semaine	Mouvement	Solde
0	—	$-150$
1	$+200$	$-150 + 200 = +50$
2	$-75$	$50 - 75 = -25$
3	$+120$	$-25 + 120 = +95$
4	$-340$	$95 - 340 = \mathbf{-245}$

Étape 3 — Conclusion

Solde final : $-245$ €. Le compte est à découvert (solde négatif).

🔍 Vérification (somme totale) : $-150 + 200 - 75 + 120 - 340 = -245$ ✓

Bilan

Sur la période, le compte a connu deux phases positives (semaine 1 et 3) mais le retrait massif de la semaine 4 (340 €) a replongé le compte en découvert.

Exercice 30—Synthèse algébriqueNiveau 3

Soit $a = -2$ et $b = 3$. Calcule : $E = \frac{a^2 - b^2}{(a-b)^2} + \frac{2ab}{a+b}$

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Stratégie

on substitue les valeurs, on calcule chaque morceau séparément, puis on combine.

Étape 1 — Calcul des éléments de base

Avec $a = -2$, $b = 3$ :

$a^2 = (-2)^2 = 4$
$b^2 = 3^2 = 9$
$a - b = -2 - 3 = -5$
$(a-b)^2 = (-5)^2 = 25$
$ab = (-2) \times 3 = -6$
$a + b = -2 + 3 = 1$

Étape 2 — Première fraction

$\dfrac{a^2 - b^2}{(a-b)^2} = \dfrac{4 - 9}{25} = \dfrac{-5}{25} = -\dfrac{1}{5}$

Étape 3 — Seconde fraction

$\dfrac{2ab}{a+b} = \dfrac{2 \times (-6)}{1} = -12$

Étape 4 — Somme finale

$E = -\dfrac{1}{5} + (-12) = -\dfrac{1}{5} - \dfrac{60}{5} = \mathbf{-\dfrac{61}{5}}$

Valeur décimale : $-\dfrac{61}{5} = -12{,}2$.

🔍 Vérification (signe) : les deux termes sont négatifs → somme négative ✓.

Astuce de calcul

On peut aussi noter que $\dfrac{a^2 - b^2}{(a-b)^2} = \dfrac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2} = \dfrac{a+b}{a-b}$. Vérif : $\dfrac{1}{-5} = -\dfrac{1}{5}$ ✓ Plus rapide !

Expression	\(a > 0\) et \(b > 0\)	\(a > 0\) et \(b < 0\)	\(a < 0\) et \(b < 0\)
\(a \times b\)
\(a \div b\)
\(-a \times b\)
\((-a) \times (-b)\)

Expression	\(a > 0\) et \(b > 0\)	\(a > 0\) et \(b < 0\)	\(a < 0\) et \(b < 0\)
\(a \times b\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(a \div b\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
\(-a \times b\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
\((-a) \times (-b)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Semaine	Mouvement	Solde
0	—	\(-150\)
1	\(+200\)	\(-150 + 200 = +50\)
2	\(-75\)	\(50 - 75 = -25\)
3	\(+120\)	\(-25 + 120 = +95\)
4	\(-340\)	\(95 - 340 = \mathbf{-245}\)