Pyramides et cônes

• Faces : 1 (base) + \(n\) (latérales) = \(n + 1\)
• Arêtes : \(n\) (base) + \(n\) (latérales) = \(2n\)
• Sommets : \(n\) (base) + 1 (sommet) = \(n + 1\)

Étape 1 — Identifier \(n\)

Base pentagonale → \(n = 5\) côtés.

Étape 2 — Faces

\(1\) base + \(5\) faces triangulaires latérales = \(\mathbf{6 \text{ faces}}\).

Étape 3 — Arêtes

\(5\) arêtes de la base + \(5\) arêtes latérales (sommet vers chaque sommet de la base) = \(\mathbf{10 \text{ arêtes}}\).

Étape 4 — Sommets

\(5\) sommets de la base + \(1\) sommet principal = \(\mathbf{6 \text{ sommets}}\).

🔍 Vérification par la formule d'Euler : \(\mathcal{S} - \mathcal{A} + \mathcal{F} = 6 - 10 + 6 = 2\) ✓ (relation valable pour tout polyèdre convexe).

Étape 1 — Aire de la base

Base carrée de côté 6 cm : \[\mathcal{A}_{\text{base}} = 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2\]

Étape 2 — Application de la formule

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 8 = \dfrac{288}{3} = \mathbf{96 \text{ cm}^3}\]

🔍 Vérification d'ordre : le prisme correspondant (cube/parallélépipède de même base et hauteur) aurait un volume de \(36 \times 8 = 288\) cm³. La pyramide en est bien le tiers : \(288 / 3 = 96\) ✓

Étape 1 — Aire de la base rectangulaire

\[\mathcal{A}_{\text{base}} = 10 \times 4 = 40 \text{ cm}^2\]

Étape 2 — Volume

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times 40 \times 9 = \dfrac{360}{3} = \mathbf{120 \text{ cm}^3}\]

🔍 Vérification : \(120 \times 3 = 360 = 40 \times 9\) ✓

a) Génératrice par Pythagore

Le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle (la génératrice est l'hypoténuse) : \[l^2 = r^2 + h^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\] \[l = \sqrt{169} = \mathbf{13 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \((5, 12, 13)\) est un triplet pythagoricien ✓

b) Volume

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \pi \times 25 \times 12 = \dfrac{300\pi}{3} = 100\pi \text{ cm}^3\]

Valeur approchée : \(100\pi \approx 100 \times 3{,}14159 \approx \mathbf{314{,}2 \text{ cm}^3}\).

Étape 1 — Application de la formule

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 3\] \[= \dfrac{1}{3} \pi \times 16 \times 3 = \dfrac{48\pi}{3} = \mathbf{16\pi \text{ cm}^3}\]

Étape 2 — Valeur approchée

Avec \(\pi \approx 3{,}14\) : \[\mathcal{V} \approx 16 \times 3{,}14 = \mathbf{50{,}24 \text{ cm}^3}\]

a) Volume du cylindre

\[\mathcal{V}_{\text{cyl}} = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 5 = \pi \times 9 \times 5 = \mathbf{45\pi \text{ cm}^3}\]

Valeur approchée : \(\approx 141{,}4\) cm³.

a) Volume du cône

\[\mathcal{V}_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \times 45\pi = \mathbf{15\pi \text{ cm}^3}\]

Valeur approchée : \(\approx 47{,}1\) cm³.

b) Rapport

\[\dfrac{\mathcal{V}_{\text{cône}}}{\mathcal{V}_{\text{cyl}}} = \dfrac{15\pi}{45\pi} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\]

➡️ Le cône occupe exactement un tiers du cylindre.

🎯 \(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times h}{3}\).

\(V = \dfrac{6^2 \times 10}{3} = \dfrac{360}{3} = \mathbf{120}\) cm³.

\(V = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 8}{3} = 24\pi \approx \mathbf{75{,}4}\) cm³.

\(V = \dfrac{4 \times 5 \times 9}{3} = \mathbf{60}\) cm³.

\(7\) faces (\(6\) triangles + la base), \(12\) arêtes (\(6\) autour de la base + \(6\) vers le sommet), \(7\) sommets.

\(48 = \dfrac{16 \times h}{3}\), donc \(h = \dfrac{3 \times 48}{16} = \mathbf{9}\) cm.

a) Aire d'une face triangulaire

Face = triangle isocèle de base 5 cm (côté du carré) et hauteur 6 cm (apothème) : \[\mathcal{A}_{\text{face}} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{5 \times 6}{2} = \mathbf{15 \text{ cm}^2}\]

b) Aire latérale totale

4 faces latérales identiques : \[\mathcal{A}_{\text{lat}} = 4 \times 15 = \mathbf{60 \text{ cm}^2}\]

c) Aire totale

Aire base + aire latérale : \[\mathcal{A}_{\text{tot}} = 5^2 + 60 = 25 + 60 = \mathbf{85 \text{ cm}^2}\]

Aire de la base : \(35^2 = 1\,225\) m². \[V = \frac{1\,225 \times 21{,}6}{3} = 1\,225 \times 7{,}2 = \mathbf{8\,820 \text{ m}^3}\]

Aire de la base : \(6^2 = 36\) cm². \[\frac{36 \times h}{3} = 96 \qquad \text{donc} \qquad 12h = 96 \qquad \text{et} \qquad h = \mathbf{8 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \(\dfrac{36 \times 8}{3} = 96\) ✓.

a) Volume du cylindre

\[\mathcal{V}_{\text{cyl}} = \pi r^2 h = \pi \times 25 \times 9 = \mathbf{225\pi \text{ cm}^3} \approx 706{,}9 \text{ cm}^3\]

b) Volume du cône

\[\mathcal{V}_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times 225\pi = \mathbf{75\pi \text{ cm}^3} \approx 235{,}6 \text{ cm}^3\]

c) Pourcentage occupé

\[\dfrac{\mathcal{V}_{\text{cône}}}{\mathcal{V}_{\text{cyl}}} = \dfrac{75\pi}{225\pi} = \dfrac{1}{3} \approx \mathbf{33{,}3 \%}\]

➡️ Le cône occupe environ 33 % du cylindre, soit un tiers exact.

L'abscisse se lit sur \([AB]\), l'ordonnée sur \([AD]\), l'altitude sur \([AE]\).

• \(B(4 ; 0 ; 0)\)
• \(C(4 ; 3 ; 0)\)
• \(F(4 ; 0 ; 2)\)
• \(G(4 ; 3 ; 2)\)
• \(H(0 ; 3 ; 2)\)

Étape 1 — Volume en cm³

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \pi \times 100 \times 15 = 500\pi \text{ cm}^3\]

Valeur approchée : \(500\pi \approx 1\,571 \text{ cm}^3\).

Étape 2 — Conversion en dm³

\(1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}\) donc \(1 \text{ dm}^3 = 10^3 = 1\,000 \text{ cm}^3\).

\[\mathcal{V} = \dfrac{1\,571}{1\,000} \approx \mathbf{1{,}57 \text{ dm}^3 = 1{,}57 \text{ L}}\]

🔍 Vérification d'ordre : un entonnoir de 10 cm de rayon (= 20 cm de diamètre) qui contient 1,5 L — ordre de grandeur cohérent.

a) \(V \approx \dfrac{3{,}14 \times 3^2 \times 8}{3} = \dfrac{3{,}14 \times 72}{3} = \mathbf{75{,}36 \text{ cm}^3}\), soit \(75{,}36\) mL \(\approx \mathbf{7{,}5 \text{ cL}}\).

b) \(1\) L \(= 1\,000\) cm³. \(1\,000 \div 75{,}36 \approx 13{,}3\) : on peut remplir \(13\) verres (le 14e ne sera pas plein).

Étape 1 — Volume du cube

\[\mathcal{V}_{\text{cube}} = a^3\]

Étape 2 — Volume de la pyramide

Base = carré de côté \(a\) (aire = \(a^2\)), hauteur = \(a\). \[\mathcal{V}_{\text{pyr}} = \dfrac{1}{3} \times a^2 \times a = \dfrac{a^3}{3}\]

Étape 3 — Rapport

\[\dfrac{\mathcal{V}_{\text{pyr}}}{\mathcal{V}_{\text{cube}}} = \dfrac{a^3/3}{a^3} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\]

➡️ La pyramide a un volume 3 fois plus petit que le cube.

\(V = \dfrac{\pi \times 2{,}5^2 \times 10}{3} = \dfrac{62{,}5\pi}{3} \approx \mathbf{65{,}4}\) cm³.

\(V = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 1{,}5}{3} = 2\pi \approx \mathbf{6{,}28}\) m³.

\(V \approx \dfrac{35^2 \times 21{,}6}{3} = 1\,225 \times 7{,}2 = \mathbf{8\,820}\) m³.

\(1\) cL \(= 10\) cm³, donc \(75{,}4\) cm³ \(\approx \mathbf{7{,}54}\) cL.

Cylindre : \(\pi \times 9 \times 8 = 72\pi\) cm³ ; cône : \(24\pi\) cm³. Il faut \(3\) cônes.

a) Un cône : \(\dfrac{3{,}14 \times 2^2 \times 4{,}5}{3} = \dfrac{3{,}14 \times 18}{3} = 18{,}84\) cm³. Deux cônes : \(\mathbf{37{,}68 \text{ cm}^3}\).

b) La moitié d'un cône : \(18{,}84 \div 2 = \mathbf{9{,}42 \text{ cm}^3}\).

a) Prisme : \(24 \times 9 = \mathbf{216 \text{ cm}^3}\). Pyramide : \(\dfrac{24 \times 9}{3} = \mathbf{72 \text{ cm}^3}\).

b) \(216 \div 72 = \mathbf{3}\) : le volume du prisme est le triple de celui de la pyramide.

Le sommet, le centre de la base et un point du cercle forment un triangle rectangle (au centre de la base) : la génératrice en est l'hypoténuse.

a) Pythagore : \(h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\), donc \(h = \mathbf{8 \text{ cm}}\).

b) \(V \approx \dfrac{3{,}14 \times 36 \times 8}{3} = \mathbf{301{,}44 \text{ cm}^3}\).

c) Le rayon est le côté adjacent à l'angle cherché : \(\cos \alpha = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\), donc \(\alpha \approx \mathbf{53{,}1°}\).

a) Hauteur de la pyramide

Le sommet est au centre de la face opposée ; la base est l'autre face du cube. Distance entre les deux faces parallèles = arête du cube = \(\mathbf{a}\).

➡️ Hauteur = \(a\).

b) Volume de la pyramide

\[\mathcal{V}_{\text{pyr}} = \dfrac{1}{3} \times a^2 \times a = \mathbf{\dfrac{a^3}{3}}\]

c) Nombre de pyramides pour remplir le cube

\[\mathcal{V}_{\text{cube}} = a^3\] \[N = \dfrac{\mathcal{V}_{\text{cube}}}{\mathcal{V}_{\text{pyr}}} = \dfrac{a^3}{a^3/3} = \mathbf{3 \text{ pyramides}}\]

a) Pythagore dans le triangle (sommet, centre, point du cercle), rectangle au centre : \(r^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\), donc \(r = \mathbf{5 \text{ cm}}\).

b) La hauteur est le côté adjacent à l'angle \(\alpha\) situé au sommet : \(\cos \alpha = \dfrac{12}{13}\), donc \(\alpha \approx 22{,}6°\). L'angle au sommet vaut le double : \(2 \times 22{,}6° \approx \mathbf{45{,}2°}\).

a) Rayon : \(4 \div 2 = 2\) m. \(V \approx \dfrac{3{,}14 \times 2^2 \times 3}{3} = 3{,}14 \times 4 = \mathbf{12{,}56 \text{ m}^3}\).

b) \(12{,}56 \div 3 \approx \mathbf{4{,}19 \text{ m}^3}\) par personne.

c) Pythagore dans le triangle rectangle formé par la hauteur, un rayon et la génératrice : \(g^2 = 2^2 + 3^2 = 13\), donc \(g = \sqrt{13} \approx \mathbf{3{,}61 \text{ m}}\).