4e · Chapitre 6 · Proportionnalité

Proportionnalité et grandeurs quotients

30 exercices corrigés

1 Reconnaître une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient les valeurs de l'une en multipliant celles de l'autre par un même nombre, le coefficient de proportionnalité.

Exemple

$1$ kg de pommes coûte $2{,}50$ €.

Masse (kg)	1	2	4	5
Prix (€)	2,50	5	10	12,50

On passe de la 1re ligne à la 2e en multipliant par $2{,}5$ : c'est un tableau de proportionnalité.

À retenir — le graphique

Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si leur représentation graphique est formée de points alignés avec l'origine du repère.

2 Calculer une quatrième proportionnelle

Propriété — égalité des produits en croix

Dans un tableau de proportionnalité

$a$	$c$
$b$	$d$

on a $a \times d = b \times c$.

Méthode — le produit en croix

$5$ kg de pommes coûtent $12{,}50$ €. Combien coûtent $3$ kg ?

Masse (kg)	5	3
Prix (€)	12,50	$x$

$5 \times x = 12{,}50 \times 3$, donc $x = \dfrac{12{,}50 \times 3}{5} = 7{,}50$ €.

Astuce

Les autres méthodes (passage à l'unité, coefficient, linéarité) restent valables. Choisis la plus rapide !

3 Les pourcentages

Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité : $t\,\%$ signifie « $t$ pour $100$ ».

À retenir

appliquer un pourcentage : $t\,\%$ de $A$ $= \dfrac{t}{100} \times A$ ;
calculer un pourcentage : la part $p$ représente $\dfrac{p}{A} \times 100$ pour cent du total $A$ ;
retrouver le total : si $t\,\%$ du total vaut $p$, on résout $\dfrac{t}{100} \times A = p$.

Exemples

$15\,\%$ de $240$ € : $0{,}15 \times 240 = 36$ €.
$18$ élèves sur $24$ : $\dfrac{18}{24} \times 100 = 75\,\%$.
Augmenter $80$ € de $15\,\%$ : $80 + 0{,}15 \times 80 = 80 + 12 = 92$ €.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 3e, tu remarqueras qu'augmenter de $15\,\%$ revient à multiplier par $1{,}15$ (coefficient multiplicateur).

4 Les grandeurs quotients

Une grandeur quotient est obtenue en divisant deux grandeurs. Son unité s'écrit avec « / » (« par »).

La vitesse moyenne

$v = \frac{d}{t} \qquad d = v \times t \qquad t = \frac{d}{v}$ Si $d$ est en km et $t$ en h, $v$ est en km/h.

À vitesse constante (60 km/h), la distance est proportionnelle à la durée : le graphique est une droite qui passe par l'origine.

Attention aux durées

$1{,}5$ h $= 1$ h $30$ min (et non $1$ h $50$ min !). Pour convertir, on utilise $1$ h $= 60$ min : $0{,}25$ h $= 0{,}25 \times 60 = 15$ min ; $\;40$ min $= \dfrac{40}{60}$ h $= \dfrac{2}{3}$ h.

Convertir une vitesse

$36$ km/h $= \dfrac{36\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = 10$ m/s. Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par $3{,}6$.

D'autres grandeurs quotients

le débit : volume écoulé par unité de temps (L/min, m³/h, Mo/s…) ;
la masse volumique : masse par unité de volume (g/cm³, kg/m³) ; l'eau : $1$ g/cm³ ;
la consommation d'une voiture (L/100 km), le prix au kilo (€/kg)…

Piège

La vitesse moyenne sur un trajet en deux étapes n'est pas la moyenne des deux vitesses. On divise toujours la distance totale par la durée totale.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Proportionnalité	On multiplie toujours par le même coefficient
Graphique	Points alignés avec l'origine
Produit en croix	$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ équivaut à $a \times d = b \times c$
Pourcentage	$t\,\%$ de $A$ $= \dfrac{t}{100} \times A$
Vitesse	$v = \dfrac{d}{t}$, $d = v \times t$, $t = \dfrac{d}{v}$
Durées	$1$ h $= 60$ min ; $0{,}1$ h $= 6$ min
Vitesses	$1$ m/s $= 3{,}6$ km/h
Masse volumique	$\rho = \dfrac{m}{V}$

Pièges à éviter

Une droite qui ne passe pas par l'origine ne traduit pas une proportionnalité.
$1{,}5$ h $\ne 1$ h $50$ min.
Vérifier les unités avant de calculer (km et m, h et min, L et cm³…).

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Proportionnel ou pas ?Niveau 1

Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Justifie.

$x$	3	5	8
$y$	7,5	12,5	20

$x$	2	4	6
$y$	5	9	13

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a) $\dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5$ ; $\dfrac{12{,}5}{5} = 2{,}5$ ; $\dfrac{20}{8} = 2{,}5$. Le coefficient est toujours le même : c'est un tableau de proportionnalité (coefficient $2{,}5$).

b) $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ mais $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$. Les quotients sont différents : ce n'est pas un tableau de proportionnalité.

Exercice 2—Produits en croixNiveau 1

Les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. Calcule $x$.

4	6
10	$x$

7	21
$x$	12

$x$	8
3,5	14

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Méthode

on écrit l'égalité des produits en croix, puis on isole $x$.

a) $4 \times x = 10 \times 6$, donc $x = \dfrac{60}{4} = \mathbf{15}$.

b) $7 \times 12 = x \times 21$, donc $x = \dfrac{84}{21} = \mathbf{4}$.

c) $x \times 14 = 3{,}5 \times 8$, donc $x = \dfrac{28}{14} = \mathbf{2}$.

Exercice 3—Au marchéNiveau 1

$5$ kg de pommes coûtent $12{,}50$ €.
a) Combien coûtent $3$ kg de pommes ?
b) Combien coûtent $1{,}8$ kg de pommes ?

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a) Produit en croix : $\dfrac{12{,}50 \times 3}{5} = \dfrac{37{,}50}{5} = \mathbf{7{,}50}$ €.

b) Prix d'un kilogramme : $12{,}50 \div 5 = 2{,}50$ €. Pour $1{,}8$ kg : $2{,}50 \times 1{,}8 = \mathbf{4{,}50}$ €.

Exercice 4—PourcentagesNiveau 1

a) Calcule $15\,\%$ de $240$ €.
b) Calcule $30\,\%$ de $85$ kg.
c) Dans une classe, $18$ élèves sur $24$ ont un vélo. Quel pourcentage des élèves cela représente-t-il ?

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a) $\dfrac{15}{100} \times 240 = 0{,}15 \times 240 = \mathbf{36}$ €.

b) $0{,}30 \times 85 = \mathbf{25{,}5}$ kg.

c) $\dfrac{18}{24} \times 100 = 0{,}75 \times 100 = \mathbf{75\,\%}$.

Exercice 5—Distance, vitesse, duréeNiveau 1

a) Une voiture parcourt $150$ km en $2$ h. Quelle est sa vitesse moyenne ?
b) Un car roule à $80$ km/h pendant $2$ h $30$ min. Quelle distance parcourt-il ?
c) Combien de temps faut-il pour parcourir $240$ km à $90$ km/h ? Donne la réponse en heures et minutes.

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a) $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{150}{2} = \mathbf{75}$ km/h.

b) $2$ h $30$ min $= 2{,}5$ h ; $d = v \times t = 80 \times 2{,}5 = \mathbf{200}$ km.

c) $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{240}{90} = \dfrac{8}{3}$ h $= 2$ h $+ \dfrac{2}{3}$ h. Or $\dfrac{2}{3}$ h $= \dfrac{2}{3} \times 60 = 40$ min. Durée : $2$ h $40$ min.

Exercice 6—Convertir des duréesNiveau 1

a) Convertis en heures et minutes : $1{,}25$ h ; $2{,}4$ h.
b) Convertis en heures (nombre décimal) : $45$ min ; $1$ h $12$ min.

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Méthode

la partie décimale d'heure se multiplie par $60$ pour obtenir des minutes ; des minutes se divisent par $60$ pour obtenir des heures.

$1{,}25$ h $= 1$ h $+ 0{,}25 \times 60$ min $= \mathbf{1}$ h $\mathbf{15}$ min ;
$2{,}4$ h $= 2$ h $+ 0{,}4 \times 60$ min $= \mathbf{2}$ h $\mathbf{24}$ min.

$45$ min $= \dfrac{45}{60}$ h $= \mathbf{0{,}75}$ h ;
$1$ h $12$ min $= 1 + \dfrac{12}{60} = 1 + 0{,}2 = \mathbf{1{,}2}$ h.

Exercice 7—La vitesseNiveau 1

Une voiture parcourt $150$ km en $2$ h. Calcule sa vitesse moyenne.

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🎯 $v = \dfrac{d}{t}$.

$v = \dfrac{150}{2} = \mathbf{75}$ km/h.

Exercice 8—La distanceNiveau 1

Un train roule à $90$ km/h pendant $2$ h $30$ min. Quelle distance parcourt-il ?

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$2$ h $30$ min $= 2{,}5$ h. $d = 90 \times 2{,}5 = \mathbf{225}$ km.

Exercice 9—La duréeNiveau 1

Combien de temps faut-il pour parcourir $120$ km à $80$ km/h ? (en heures et minutes)

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$t = \dfrac{120}{80} = 1{,}5$ h, soit $1$ h $30$ min.

Exercice 10—Convertir des vitessesNiveau 1

a) Convertis $72$ km/h en m/s. $\quad$
b) Convertis $15$ m/s en km/h.

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a) $72$ km/h $= \dfrac{72\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = \mathbf{20}$ m/s.

b) $15 \times 3{,}6 = \mathbf{54}$ km/h.

Exercice 11—Les pommesNiveau 1

$3$ kg de pommes coûtent $7{,}20$ €. Combien coûtent $5$ kg (prix proportionnel à la masse) ?

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Prix au kg : $7{,}20 \div 3 = 2{,}40$ €. Pour $5$ kg : $5 \times 2{,}40 = \mathbf{12}$ €.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Trouver un total à partir d'un pourcentageNiveau 2

Un article est soldé à $42$ €, ce qui représente $70\,\%$ de son prix initial. Quel était le prix initial ?

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Stratégie

on connaît la partie ($42$ €) et le pourcentage ($70\,\%$). On cherche le tout.

Soit $P$ le prix initial : $0{,}70 \times P = 42$, donc $P = \frac{42}{0{,}70} = \mathbf{60 \text{ €}}$

Vérification : $0{,}70 \times 60 = 42$ ✓.

Exercice 13—Graphique de proportionnalitéNiveau 2

Un vélo roule à vitesse constante. Après $30$ min, il a parcouru $12$ km.
a) Quelle est sa vitesse en km/h ?
b) Complète un tableau de valeurs pour des durées de $0$ ; $0{,}5$ ; $1$ ; $1{,}5$ et $2$ h, puis trace le graphique de la distance en fonction de la durée.
c) Calcule la distance parcourue en $1$ h $15$ min.

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a) $12$ km en $30$ min, c'est $12$ km en $0{,}5$ h : $v = \dfrac{12}{0{,}5} = \mathbf{24}$ km/h.

b) $d = 24 \times t$ :

$t$ (h)	0	0,5	1	1,5	2
$d$ (km)	0	12	24	36	48

Les points sont alignés avec l'origine : le graphique est une droite passant par l'origine (situation de proportionnalité).

c) $1$ h $15$ min $= 1{,}25$ h ; $d = 24 \times 1{,}25 = \mathbf{30}$ km.

Exercice 14—Le débitNiveau 2

Un robinet a un débit de $12$ L/min.
a) Combien de temps faut-il pour remplir une baignoire de $180$ L ?
b) Quel volume d'eau coule en $8$ min $30$ s ?

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a) $t = \dfrac{180}{12} = \mathbf{15}$ min.

b) $8$ min $30$ s $= 8{,}5$ min ; volume : $12 \times 8{,}5 = \mathbf{102}$ L.

Exercice 15—Masse volumiqueNiveau 2

Un bloc de fer cubique a un côté de $5$ cm. La masse volumique du fer est $7{,}8$ g/cm³.
a) Calcule le volume du bloc.
b) Calcule sa masse en grammes.
c) Et en kilogrammes ?

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a) $V = 5 \times 5 \times 5 = \mathbf{125}$ cm³.

b) $1$ cm³ de fer a une masse de $7{,}8$ g, donc $m = 125 \times 7{,}8 = \mathbf{975}$ g.

c) $975$ g $= \mathbf{0{,}975}$ kg.

Exercice 16—km/h et m/sNiveau 2

a) Convertis $36$ km/h en m/s.
b) Convertis $25$ m/s en km/h.
c) Un guépard court à $30$ m/s. Va-t-il plus vite qu'une voiture qui roule à $110$ km/h ?

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a) $36$ km/h $= \dfrac{36\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = \mathbf{10}$ m/s.

b) $25$ m/s : en $1$ h ($3\,600$ s), on parcourt $25 \times 3\,600 = 90\,000$ m $= 90$ km. Donc $25$ m/s $= \mathbf{90}$ km/h (on a multiplié par $3{,}6$).

c) $30$ m/s $= 30 \times 3{,}6 = 108$ km/h. Or $108 < 110$ : non, la voiture va (un peu) plus vite.

Exercice 17—La recetteNiveau 2

Pour $4$ personnes, une recette de crêpes demande $250$ g de farine, $2$ œufs et $40$ cL de lait. Quelles quantités faut-il pour $10$ personnes ?

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Méthode

pour passer de $4$ à $10$ personnes, on multiplie par $\dfrac{10}{4} = 2{,}5$.

Farine : $250 \times 2{,}5 = \mathbf{625}$ g ;
Œufs : $2 \times 2{,}5 = \mathbf{5}$ œufs ;
Lait : $40 \times 2{,}5 = \mathbf{100}$ cL, soit $1$ L.

Exercice 18—Augmentations et réductionsNiveau 2

a) Un prix de $80$ € augmente de $15\,\%$. Quel est le nouveau prix ?
b) Un pull à $45$ € est soldé à $-30\,\%$. Quel est son prix soldé ?
c) Dans une classe de $28$ élèves, $7$ mangent à la cantine. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

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a) Augmentation : $0{,}15 \times 80 = 12$ €. Nouveau prix : $80 + 12 = \mathbf{92}$ €.

b) Réduction : $0{,}30 \times 45 = 13{,}50$ €. Prix soldé : $45 - 13{,}50 = \mathbf{31{,}50}$ €.

c) $\dfrac{7}{28} \times 100 = 0{,}25 \times 100 = \mathbf{25\,\%}$.

Exercice 19—Vitesse moyenne sur deux étapesNiveau 2

Un automobiliste parcourt $120$ km en $1$ h $30$ min, puis $60$ km en $30$ min.
a) Calcule sa vitesse moyenne sur chaque étape.
b) Calcule sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
c) Est-ce la moyenne des deux vitesses trouvées en
a) ? Explique.

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Étape 1 : $1$ h $30$ min $= 1{,}5$ h ; $v_1 = \dfrac{120}{1{,}5} = \mathbf{80}$ km/h.
Étape 2 : $30$ min $= 0{,}5$ h ; $v_2 = \dfrac{60}{0{,}5} = \mathbf{120}$ km/h.

b) Distance totale : $180$ km ; durée totale : $2$ h. $v = \dfrac{180}{2} = \mathbf{90}$ km/h.

c) Non : $\dfrac{80 + 120}{2} = 100$ km/h $\ne 90$ km/h. L'automobiliste roule plus longtemps à $80$ km/h ($1{,}5$ h) qu'à $120$ km/h ($0{,}5$ h) : la vitesse moyenne est plus proche de $80$.

Exercice 20—PourcentagesNiveau 2

a) Un article à $45$ € augmente de $20\,\%$. Quel est son nouveau prix ?
b) Un article à $80$ € est soldé à $-15\,\%$. Quel est son prix soldé ?

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a) $45 \times 1{,}20 = \mathbf{54}$ €. b) $80 \times 0{,}85 = \mathbf{68}$ €.

Exercice 21—L'échelleNiveau 2

Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$, deux villages sont à $4$ cm l'un de l'autre. Quelle est la distance réelle, en km ?

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$4 \times 25\,000 = 100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= \mathbf{1}$ km.

Exercice 22—La baignoireNiveau 2

Un robinet a un débit de $12$ L/min. Combien de temps faut-il pour remplir une baignoire de $180$ L ?

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$180 \div 12 = \mathbf{15}$ min.

Exercice 23—Densité de populationNiveau 2

Une ville de $45\,000$ habitants a une superficie de $18$ km². Calcule sa densité de population.

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$\dfrac{45\,000}{18} = \mathbf{2\,500}$ habitants par km².

Exercice 24—Aller-retourNiveau 2

Un cycliste fait $120$ km à l'aller à $60$ km/h, puis revient par la même route à $40$ km/h.
a) Calcule la durée totale du trajet.
b) Calcule sa vitesse moyenne sur l'aller-retour. Est-ce $50$ km/h ?

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a) Aller : $\dfrac{120}{60} = 2$ h ; retour : $\dfrac{120}{40} = 3$ h ; total : $\mathbf{5}$ h.

b) $v = \dfrac{240}{5} = \mathbf{48}$ km/h, et non $50$ km/h.

Attention

On ne fait pas la moyenne des vitesses : le cycliste roule plus longtemps à $40$ km/h.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Paris–LyonNiveau 3

Un automobiliste part de Paris à $8$ h $00$ et roule à $110$ km/h. Il s'arrête $30$ minutes au bout de $3$ heures de route, puis repart à la même vitesse.
a) Quelle distance a-t-il parcourue à $11$ h $00$ ?
b) À quelle heure arrive-t-il à Lyon, distante de $470$ km ? (Arrondis à la minute.)
c) Un autre automobiliste fait le même trajet en $4$ h $15$ min sans s'arrêter. Quelle est sa vitesse moyenne (au dixième) ?

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a) De $8$ h $00$ à $11$ h $00$, il roule $3$ h : $d = 110 \times 3 = \mathbf{330}$ km.

b) Distance restante : $470 - 330 = 140$ km. Durée : $t = \dfrac{140}{110}$ h $\approx 1{,}273$ h. Or $0{,}273 \times 60 \approx 16$ min, donc environ $1$ h $16$ min. Durée totale : $3$ h $+ 30$ min $+ 1$ h $16$ min $= 4$ h $46$ min. Arrivée : $8$ h $00 + 4$ h $46$ min $=$ $12$ h $46$.

c) $4$ h $15$ min $= 4{,}25$ h ; $v = \dfrac{470}{4{,}25} \approx \mathbf{110{,}6}$ km/h.

Exercice 26—Or et aluminiumNiveau 3

La masse volumique de l'or est $19{,}3$ g/cm³ ; celle de l'aluminium est $2{,}7$ g/cm³.
a) Quel est le volume d'un lingot d'or de $1$ kg (au dixième de cm³) ?
b) Quelle serait la masse d'un bloc d'aluminium de même volume (au gramme) ?

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a) $1$ kg $= 1\,000$ g. Chaque cm³ d'or pèse $19{,}3$ g : $V = \frac{1\,000}{19{,}3} \approx \mathbf{51{,}8 \text{ cm}^3}$ (à peu près le volume d'une boîte d'allumettes !)

b) $m = 2{,}7 \times \dfrac{1\,000}{19{,}3} \approx \mathbf{140}$ g. L'aluminium est environ $7$ fois plus léger que l'or.

Exercice 27—Consommation d'essenceNiveau 3

Une voiture consomme $6{,}5$ L d'essence pour $100$ km. L'essence coûte $1{,}85$ €/L.
a) Combien de litres consomme-t-elle pour un trajet de $340$ km ?
b) Combien coûte ce trajet (au centime) ?
c) Son réservoir contient $50$ L. Quelle distance peut-elle parcourir avec un plein (au km) ?

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a) $6{,}5$ L pour $100$ km, soit $0{,}065$ L par km : $340 \times 0{,}065 = \mathbf{22{,}1}$ L.

b) $22{,}1 \times 1{,}85 = 40{,}885$, soit environ $40{,}89$ €.

c) Produit en croix :

Essence (L)	6,5	50
Distance (km)	100	$d$

$d = \dfrac{100 \times 50}{6{,}5} \approx \mathbf{769}$ km.

Exercice 28—Proportionnel ou pas ?Niveau 3

Pour chaque situation, dis si les deux grandeurs sont proportionnelles. Justifie avec un calcul.
a) Le périmètre d'un carré et la longueur de son côté.
b) L'aire d'un carré et la longueur de son côté.
c) Le prix d'une course de taxi ($3$ € de prise en charge puis $1{,}50$ € par km) et la distance parcourue.

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a) $P = 4 \times c$ : on multiplie toujours par $4$. Proportionnel.

b) Côté $1$ cm : aire $1$ cm² ; côté $2$ cm : aire $4$ cm². Le côté est doublé mais l'aire est multipliée par $4$ : pas proportionnel.

c) $2$ km : $3 + 1{,}5 \times 2 = 6$ € ; $4$ km : $3 + 1{,}5 \times 4 = 9$ €. La distance double mais le prix ne double pas : pas proportionnel (à cause de la prise en charge ; le graphique est une droite qui ne passe pas par l'origine).

Exercice 29—TéléchargementNiveau 3

On rappelle que $1$ Go $= 1\,000$ Mo.
a) Avec un débit de $15$ Mo/s, combien de temps faut-il pour télécharger un fichier de $1{,}8$ Go ?
b) Deux fichiers de $2{,}25$ Go chacun sont téléchargés avec un débit de $25$ Mo/s. Combien de temps cela prend-il ?

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a) $1{,}8$ Go $= 1\,800$ Mo ; $t = \dfrac{1\,800}{15} = 120$ s $=$ $2$ min.

b) Total : $2 \times 2{,}25 = 4{,}5$ Go $= 4\,500$ Mo ; $t = \dfrac{4\,500}{25} = 180$ s $=$ $3$ min.

Exercice 30—Synthèse : la randonnéeNiveau 3

Lucie part à $9$ h $15$ pour une randonnée de $13{,}5$ km. Elle marche à $4{,}5$ km/h et fait une pause de $45$ min.
a) Quelle est la durée de marche ?
b) À quelle heure termine-t-elle la randonnée ?
c) À $10$ h $35$, elle n'a pas encore fait sa pause. Quelle distance a-t-elle parcourue ? Quel pourcentage du parcours cela représente-t-il (à l'unité) ?
d) Son frère part à $9$ h $45$ à vélo, à $18$ km/h, sur le même parcours. À quelle heure arrive-t-il ?

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a) $t = \dfrac{13{,}5}{4{,}5} = \mathbf{3}$ h de marche.

b) Durée totale : $3$ h $+ 45$ min $= 3$ h $45$ min. Fin : $9$ h $15 + 3$ h $45$ min $=$ $13$ h $00$.

c) De $9$ h $15$ à $10$ h $35$ : $1$ h $20$ min $= 1 + \dfrac{20}{60} = \dfrac{4}{3}$ h. Distance : $4{,}5 \times \dfrac{4}{3} = \mathbf{6}$ km. Pourcentage : $\dfrac{6}{13{,}5} \times 100 \approx \mathbf{44\,\%}$ du parcours.

d) $t = \dfrac{13{,}5}{18} = 0{,}75$ h $= 45$ min. Arrivée : $9$ h $45 + 45$ min $=$ $10$ h $30$ (bien avant sa sœur !).