Une fonction est une « machine » qui, à chaque nombre de départ, associe un seul nombre d'arrivée.
Le programme de calcul « je choisis un nombre, je le multiplie par \(3\), puis je soustrais \(2\) » définit une fonction. On la nomme \(f\) et on écrit : \[f : x \longmapsto 3x - 2 \qquad \text{ou} \qquad f(x) = 3x - 2\] On lit « \(f\) de \(x\) égale \(3x - 2\) ».
Si \(f(5) = 13\),
Un nombre a une seule image, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Par exemple, avec \(g(x) = x^2\) : \(g(3) = 9\) et \(g(-3) = 9\), donc \(9\) a deux antécédents : \(3\) et \(-3\).
Par une formule : on calcule une image en remplaçant \(x\) par le nombre choisi.
Avec \(f(x) = 3x - 2\), \(f(4) = 3 \times 4 - 2 = 10\) ; \(\;f(-1) = 3 \times (-1) - 2 = -5\).
Par un tableau de valeurs : la 1re ligne contient des valeurs de \(x\), la 2e leurs images.
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = 3x - 2\) | \(-5\) | \(-2\) | \(1\) | \(4\) | \(7\) |
Si \(x\) est en colonne A, on écrit en B2 la formule =3*A2-2, puis on l'étire vers le bas.
Par une courbe : la représentation graphique de \(f\) est l'ensemble des points de coordonnées \(\big(x \,;\, f(x)\big)\).
Le point \(M(a \,;\, b)\) est sur la courbe de \(f\) si et seulement si \(f(a) = b\).
En 3e, tu étudieras deux familles de fonctions très utiles, les fonctions linéaires (\(f(x) = ax\), qui traduisent la proportionnalité) et les fonctions affines (\(f(x) = ax + b\)). Leurs courbes sont des droites.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Fonction | À chaque nombre \(x\), elle associe un unique nombre \(f(x)\) |
| Notations | \(f : x \longmapsto 3x - 2\) ou \(f(x) = 3x - 2\) |
| Image | \(f(5) = 13\) : \(13\) est l'image de \(5\) (une seule image) |
| Antécédent | \(5\) est un antécédent de \(13\) (zéro, un ou plusieurs) |
| Courbe | Points de coordonnées \(\big(x ; f(x)\big)\) |
| Lire une image | Partir de l'axe des abscisses |
| Lire un antécédent | Partir de l'axe des ordonnées |
On considère la fonction \(f(x) = 3x - 2\). Calcule \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(-1)\) et \(f\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\).
On sait que \(f(5) = 12\). Complète les phrases :
a) \(12\) est … de \(5\) par la fonction \(f\).
b) \(5\) est … de \(12\) par la fonction \(f\).
c) Le point de coordonnées \((\ldots \,;\, \ldots)\) appartient à la courbe de \(f\).
a) \(12\) est l'image de \(5\) par la fonction \(f\).
b) \(5\) est un antécédent de \(12\) par la fonction \(f\).
c) Le point de coordonnées \(\mathbf{(5 \,;\, 12)}\) appartient à la courbe de \(f\).
Voici un tableau de valeurs d'une fonction \(f\) :
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(5\) | \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) |
a) Quelle est l'image de \(3\) ?
b) Que vaut \(f(0)\) ?
c) Donne deux antécédents de \(5\).
d) Donne un antécédent de \(2\). Y en a-t-il un autre dans le tableau ?
a) On lit sous \(3\) : l'image de \(3\) est \(\mathbf{10}\).
b) \(f(0) = \mathbf{1}\).
c) On cherche \(5\) dans la 2e ligne : \(f(-2) = 5\) et \(f(2) = 5\). Les antécédents de \(5\) sont \(\mathbf{-2}\) et \(\mathbf{2}\).
d) \(f(-1) = 2\) : \(-1\) est un antécédent de \(2\). Il y en a un autre : \(\mathbf{1}\), car \(f(1) = 2\).
Programme : « Choisir un nombre ; le multiplier par \(4\) ; soustraire \(3\) au résultat. »
a) On note \(f(x)\) le résultat obtenu avec le nombre \(x\). Exprime \(f(x)\) en fonction de \(x\).
b) Calcule \(f(2)\) et \(f(-1)\).
a) On multiplie \(x\) par \(4\), puis on soustrait \(3\) : \(\mathbf{f(x) = 4x - 3}\).
b) \(f(2) = 4 \times 2 - 3 = \mathbf{5}\) ; \(\;f(-1) = 4 \times (-1) - 3 = \mathbf{-7}\).
On utilise la courbe de la fonction \(f\) donnée dans le cours.
a) Lis l'image de \(0\), puis l'image de \(1\).
b) Lis le (ou les) antécédent(s) de \(3\).
c) Le nombre \(4\) a-t-il un antécédent par \(f\) ? Justifie.
a) On part de \(0\) sur l'axe des abscisses : la courbe coupe l'axe des ordonnées en \(1\), donc \(f(0) = \mathbf{1}\). En partant de \(1\) : \(f(1) = \mathbf{2{,}5}\).
b) L'horizontale d'ordonnée \(3\) touche la courbe en un seul point, d'abscisse \(2\) : l'antécédent de \(3\) est \(\mathbf{2}\).
c) Non : le point le plus haut de la courbe a pour ordonnée \(3\). L'horizontale d'ordonnée \(4\) ne rencontre pas la courbe, donc \(4\) n'a aucun antécédent.
On considère \(g(x) = 2x^2 - 5\). Calcule \(g(3)\), \(g(-3)\) et \(g(0)\).
\(3\) et \(-3\) ont la même image : \(13\) a (au moins) deux antécédents.
Soit \(f(x) = 3x - 2\). Calcule \(f(4)\), \(f(-1)\) et \(f(0)\).
\(f(4) = 12 - 2 = \mathbf{10}\) ; \(f(-1) = -3 - 2 = \mathbf{-5}\) ; \(f(0) = \mathbf{-2}\).
Soit \(g(x) = x^2 + 1\). Calcule \(g(3)\) et \(g(-2)\).
\(g(3) = 9 + 1 = \mathbf{10}\) ; \(g(-2) = 4 + 1 = \mathbf{5}\).
On sait que \(f(2) = 7\). Complète : « \(7\) est l'… de \(2\) par \(f\) » et « \(2\) est un … de \(7\) par \(f\) ».
« \(7\) est l'image de \(2\) » ; « \(2\) est un antécédent de \(7\) ».
Voici un tableau de valeurs d'une fonction \(f\) :
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(5\) | \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) |
a) Quelle est l'image de \(-1\) ?
b) Quels sont les antécédents de \(5\) ?
a) \(f(-1) = \mathbf{2}\). b) \(\mathbf{-2}\) et \(\mathbf{2}\) (un nombre peut avoir plusieurs antécédents).
Soit \(f(x) = 2x + 5\). Trouve l'antécédent de \(11\).
On résout \(2x + 5 = 11\) : \(2x = 6\), \(x = \mathbf{3}\). 🔍 \(f(3) = 6 + 5 = 11\) ✓
On note \(A(x)\) l'aire d'un carré de côté \(x\) cm.
a) Exprime \(A(x)\) en fonction de \(x\).
b) Complète un tableau de valeurs pour \(x = 1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\).
c) L'aire est-elle proportionnelle au côté ?
a) \(\mathbf{A(x) = x^2}\) (ou \(x \times x\)).
b)
| \(x\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) (cm²) | 1 | 4 | 9 | 16 |
c) \(\dfrac{1}{1} = 1\) mais \(\dfrac{4}{2} = 2\) : les quotients ne sont pas égaux. L'aire n'est pas proportionnelle au côté.
Le prix (en €) d'une course de taxi de \(x\) km est \(f(x) = 1{,}5x + 3\).
a) Calcule \(f(10)\). Que représente ce nombre ?
b) Une course a coûté \(12\) €. Combien de kilomètres ont été parcourus ?
a) \(f(10) = 1{,}5 \times 10 + 3 = \mathbf{18}\). Une course de \(10\) km coûte \(18\) €.
b) On cherche l'antécédent de \(12\) : \(1{,}5x + 3 = 12\), donc \(1{,}5x = 9\) et \(x = \dfrac{9}{1{,}5} = \mathbf{6}\) km.
Vérification : \(1{,}5 \times 6 + 3 = 12\) ✓.
On veut un tableau de valeurs de \(f(x) = -2x + 7\). Les valeurs de \(x\) sont dans les cellules A2 à A6 : \(-1\) ; \(0\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(3\).
a) Quelle formule écrire dans la cellule B2 ?
b) Quelles valeurs obtient-on dans les cellules B2 à B6 ?
a) =-2*A2+7
b)
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(9\) | \(7\) | \(5\) | \(3\) | \(1\) |
On considère \(f(x) = x^2 - 3x\). Les points suivants sont-ils sur la courbe de \(f\) ? \(A(2 \,;\, -2)\) \(\quad\) \(B(-1 \,;\, 2)\) \(\quad\) \(C(5 \,;\, 10)\)
on calcule l'image de l'abscisse et on la compare à l'ordonnée.
On considère \(h(x) = 5x - 8\).
a) Trouve l'antécédent de \(7\).
b) Trouve l'antécédent de \(0\).
a) \(5x - 8 = 7\) ; \(5x = 15\) ; \(x = \mathbf{3}\). Vérification : \(h(3) = 15 - 8 = 7\) ✓.
b) \(5x - 8 = 0\) ; \(5x = 8\) ; \(x = \dfrac{8}{5} = \mathbf{1{,}6}\).
Un rectangle a un périmètre de \(20\) cm. On note \(x\) sa longueur (en cm).
a) Explique pourquoi sa largeur vaut \(10 - x\).
b) On note \(A(x)\) son aire. Exprime \(A(x)\) en fonction de \(x\).
c) Calcule \(A(2)\), \(A(5)\) et \(A(7)\).
a) Le périmètre vaut \(2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 20\), donc longueur \(+\) largeur \(= 10\) et la largeur vaut \(\mathbf{10 - x}\).
b) \(\mathbf{A(x) = x(10 - x)}\).
c)
Dans l'atmosphère, la température (en °C) à l'altitude \(h\) (en m) est environ \(T(h) = 15 - 0{,}0065h\).
a) Calcule \(T(1\,000)\) et \(T(3\,000)\).
b) À partir de quelle altitude (au mètre près) la température devient-elle négative ?
a)
b) On cherche quand \(T(h) = 0\) : \(0{,}0065h = 15\), donc \(h = \dfrac{15}{0{,}0065} \approx 2\,307{,}7\) m. La température devient négative au-dessus d'environ \(2\,308\) m d'altitude.
On considère \(f(x) = 2x - 1\).
a) Complète un tableau de valeurs pour \(x\) allant de \(-1\) à \(3\).
b) Place les points dans un repère. Que remarques-tu ?
c) La courbe passe-t-elle par l'origine du repère ?
a)
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) |
b) Les points \((-1 ; -3)\), \((0 ; -1)\), \((1 ; 1)\), \((2 ; 3)\), \((3 ; 5)\) sont alignés : la courbe est une droite.
c) Non : \(f(0) = -1 \ne 0\). La droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0 \,;\, -1)\).
« Choisir un nombre, le multiplier par \(4\), puis soustraire \(3\). »
a) Écris la fonction \(f\) qui correspond à ce programme.
b) Calcule \(f(2{,}5)\).
a) \(\mathbf{f(x) = 4x - 3}\). b) \(f(2{,}5) = 10 - 3 = \mathbf{7}\).
Soit \(f(x) = x^2 - 3x\). Les points \(A(4 ; 4)\) et \(B(-1 ; 2)\) sont-ils sur la courbe de \(f\) ?
🎯 Un point \((a ; b)\) est sur la courbe si \(f(a) = b\).
\(f(4) = 16 - 12 = 4\) : \(A\) est sur la courbe. \(f(-1) = 1 + 3 = 4 \ne 2\) : \(B\) n'est pas sur la courbe.
Une location coûte \(5\) € de frais fixes plus \(2\) € par heure.
a) Exprime le prix \(f(x)\) pour \(x\) heures.
b) Calcule \(f(3)\).
c) Avec \(17\) €, combien d'heures peut-on louer ?
a) \(\mathbf{f(x) = 2x + 5}\). b) \(f(3) = \mathbf{11}\) €.
c) \(2x + 5 = 17\), \(x = \mathbf{6}\) heures.
L'aire d'un disque de rayon \(r\) est \(A(r) = \pi r^2\).
a) Calcule \(A(3)\) au dixième.
b) Si on double le rayon, l'aire double-t-elle ?
a) \(A(3) = 9\pi \approx \mathbf{28{,}3}\).
b) Non : \(A(2r) = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2\). L'aire est multipliée par \(4\).
À la piscine : tarif A \(3\) € l'entrée ; tarif B abonnement de \(20\) € plus \(1\) € l'entrée.
a) Exprime \(A(x)\) et \(B(x)\) pour \(x\) entrées.
b) Pour combien d'entrées les deux tarifs sont-ils égaux ? Quel tarif choisir au-delà ?
a) \(\mathbf{A(x) = 3x}\) ; \(\mathbf{B(x) = x + 20}\).
b) \(3x = x + 20\) donne \(x = \mathbf{10}\) entrées (\(30\) € dans les deux cas). Au-delà de \(10\) entrées, le tarif B est moins cher.
a) On note \(f(x)\) et \(g(x)\) les résultats des programmes 1 et 2. Exprime-les en fonction de \(x\).
b) Quel nombre faut-il choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
a) \(f(x) = (x + 3) \times 2 = \mathbf{2x + 6}\) ; \(\;g(x) = \mathbf{4x + 2}\).
b) On résout \(2x + 6 = 4x + 2\) : \[6 - 2 = 4x - 2x \qquad 4 = 2x \qquad x = \mathbf{2}\] Vérification : \(f(2) = 10\) et \(g(2) = 10\) ✓.
Dans une feuille carrée de \(20\) cm de côté, on découpe un carré de côté \(x\) cm à chaque coin, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle.
a) Justifie que le volume de la boîte est \(V(x) = x(20 - 2x)^2\).
b) Calcule \(V(2)\), \(V(3)\), \(V(4)\) et \(V(5)\).
c) Parmi ces valeurs, laquelle donne la boîte la plus grande ?
d) Quelles valeurs \(x\) peut-il prendre ?
a) Le fond de la boîte est un carré de côté \(20 - 2x\) (on enlève \(x\) de chaque côté) et la hauteur vaut \(x\) : \[V(x) = \text{aire du fond} \times \text{hauteur} = (20 - 2x)^2 \times x\]
b)
c) Parmi ces valeurs, \(x = \mathbf{3}\) donne la plus grande boîte (\(588\) cm³).
d) Il faut \(x > 0\) et \(20 - 2x > 0\), c'est-à-dire \(x < 10\) : \(x\) est entre \(0\) et \(10\) (exclus).
Contenu facultatif, non exigible.
Avec un tableur, en essayant des valeurs proches de \(3\), on trouve que le volume maximal est obtenu pour \(x \approx 3{,}33\) (environ \(593\) cm³).
Un objet lâché sans vitesse parcourt, en \(t\) secondes, une distance \(d(t) = 4{,}9t^2\) (en mètres).
a) Calcule \(d(1)\), \(d(2)\) et \(d(3)\).
b) La distance est-elle proportionnelle à la durée ?
c) Combien de temps met l'objet pour tomber de \(78{,}4\) m ?
a) \(d(1) = \mathbf{4{,}9}\) m ; \(d(2) = 4{,}9 \times 4 = \mathbf{19{,}6}\) m ; \(d(3) = 4{,}9 \times 9 = \mathbf{44{,}1}\) m.
b) Non : quand la durée double (de \(1\) à \(2\) s), la distance est multipliée par \(4\).
c) On cherche \(t\) tel que \(4{,}9t^2 = 78{,}4\) : \(t^2 = \dfrac{78{,}4}{4{,}9} = 16\), et \(t\) est positif, donc \(t = \mathbf{4}\) s.
On considère \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\).
a) Complète le tableau de valeurs pour \(x = 0\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\).
b) Donne les antécédents de \(0\), puis ceux de \(3\).
c) Explique pourquoi \(-2\) n'a aucun antécédent par \(f\).
a)
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(3\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(3\) |
Par exemple : \(f(0) = (0 - 2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\).
b) Antécédents de \(0\) : \(\mathbf{1}\) et \(\mathbf{3}\). Antécédents de \(3\) : \(\mathbf{0}\) et \(\mathbf{4}\).
c) Un carré est toujours positif ou nul : \((x - 2)^2 \geqslant 0\), donc \(f(x) = (x - 2)^2 - 1 \geqslant -1\). L'image d'un nombre ne peut jamais valoir \(-2\) : \(-2\) n'a aucun antécédent.
On considère \(f(x) = x^2\). Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.
a) \(f(-3) = -9\).
b) Le nombre \(-3\) a deux images.
c) Le nombre \(9\) a deux antécédents.
d) \(f(2 + 3) = f(2) + f(3)\).
a) Faux : \(f(-3) = (-3)^2 = 9\).
b) Faux : par une fonction, un nombre a une seule image (\(9\)).
c) Vrai : \(f(3) = 9\) et \(f(-3) = 9\).
d) Faux : \(f(5) = 25\), alors que \(f(2) + f(3) = 4 + 9 = 13\).
Pour un service de streaming musical, on propose :
On note \(a(x)\) et \(b(x)\) le prix mensuel (en €) pour \(x\) heures d'écoute.
a) Exprime \(a(x)\) et \(b(x)\) en fonction de \(x\).
b) Calcule les prix des deux forfaits pour \(30\), \(60\) et \(90\) heures.
c) Pour quel nombre d'heures les deux forfaits coûtent-ils le même prix ?
d) Quel forfait conseiller à quelqu'un qui écoute \(80\) heures par mois ?
e) Lequel des deux prix est proportionnel au nombre d'heures ?
a) \(\mathbf{a(x) = 0{,}25x}\) ; \(\;\mathbf{b(x) = 9 + 0{,}10x}\).
b)
| Heures \(x\) | 30 | 60 | 90 |
|---|---|---|---|
| \(a(x)\) (€) | 7,50 | 15 | 22,50 |
| \(b(x)\) (€) | 12 | 15 | 18 |
c) D'après le tableau, pour \(60\) heures (les deux coûtent \(15\) €). Par le calcul : \(0{,}25x = 9 + 0{,}10x\) donne \(0{,}15x = 9\), soit \(x = 60\).
d) Pour \(80\) h : \(a(80) = 20\) € et \(b(80) = 9 + 8 = 17\) €. On conseille le forfait B.
e) Le prix du forfait A : \(a(x) = 0{,}25 \times x\) (on multiplie toujours par \(0{,}25\)). Le forfait B ne l'est pas : pour \(0\) heure, on paie déjà \(9\) €.