1ère · Chapitre 1 · Algèbre

Le second degré

30 exercices corrigés

1 Fonction polynôme du second degré

Définition

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c \qquad \text{avec } a \ne 0$ Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.

2 Forme canonique et variations

Propriété

Tout trinôme peut s'écrire sous forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha)$ Le point $S(\alpha ; \beta)$ est le sommet de la parabole, et la droite d'équation $x = \alpha$ est son axe de symétrie.

Méthode — obtenir la forme canonique

(on « complète le carré ») : $f(x) = 2x^2 - 4x + 5 = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2\big[(x - 1)^2 - 1\big] + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$. Sommet $S(1 ; 3)$ ; comme $a = 2 > 0$, le minimum de $f$ est $3$, atteint en $1$.

Variations

Si $a > 0$, $f$ est décroissante sur $]-\infty ; \alpha]$ puis croissante sur $[\alpha ; +\infty[$ (minimum $\beta$). Si $a < 0$, c'est l'inverse (maximum $\beta$).

3 Discriminant et racines

Définition

Le discriminant du trinôme est $\Delta = b^2 - 4ac$. Les racines du trinôme sont les solutions de $ax^2 + bx + c = 0$.

À retenir

si $\Delta > 0$ : deux racines $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, et $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ;
si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, et $f(x) = a(x - x_0)^2$ ;
si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle, $f$ ne se factorise pas.

Exemple

$x^2 - 5x + 6 = 0$. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ : $x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$. Donc $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Somme et produit des racines

Si $\Delta \geqslant 0$, $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$. Pratique pour trouver une racine quand on connaît l'autre.

4 Signe du trinôme

Pour a > 0 et Δ > 0 : le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.

À retenir

Le trinôme $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$, sauf entre ses racines (quand elles existent).

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
$ax^2 + bx + c$		signe de $a$	$0$	signe de $-a$	$0$	signe de $a$

Si $\Delta \leqslant 0$, le trinôme est du signe de $a$ pour tout $x$ (et s'annule en $x_0$ si $\Delta = 0$).

Méthode — résoudre une inéquation du second degré

On se ramène à « trinôme $> 0$ » (ou $<$, $\leqslant$…), on calcule $\Delta$ et les racines, puis on applique la règle des signes.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Forme canonique	$a(x - \alpha)^2 + \beta$, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$, $\beta = f(\alpha)$
Sommet	$S(\alpha ; \beta)$ : minimum si $a > 0$, maximum si $a < 0$
Discriminant	$\Delta = b^2 - 4ac$
Racines ($\Delta > 0$)	$\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Factorisation	$a(x - x_1)(x - x_2)$
Signe	Signe de $a$ sauf entre les racines
Somme / produit	$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ ; $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$

Pièges à éviter

Bien identifier $a$, $b$, $c$ avec leurs signes (dans $3 - x^2$, $a = -1$).
Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de racine réelle, mais l'inéquation peut avoir des solutions.
Ne pas oublier le coefficient $a$ dans la factorisation.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Calcul du discriminantNiveau 1

Calcule $\Delta$ et le nombre de racines :
a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
b) $4x^2 - 4x + 1 = 0$
c) $x^2 + 2x + 5 = 0$

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Règle

le discriminant $\Delta = b^2-4ac$ donne le nombre de racines réelles : $\Delta>0$ → 2, $\Delta=0$ → 1 (double), $\Delta<0$ → 0.

a) $x^2-5x+6=0$ ($a=1$, $b=-5$, $c=6$) $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{deux racines}}$

b) $4x^2-4x+1=0$ ($a=4$, $b=-4$, $c=1$) $\Delta = (-4)^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{une racine double}}$

c) $x^2+2x+5=0$ ($a=1$, $b=2$, $c=5$) $\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{aucune racine réelle}}$

Piège de signe

Avec $b=-5$, on a $b^2=(-5)^2=25$ (et non $-25$). Toujours mettre $b$ au carré.

Exercice 2—RacinesNiveau 1

Donne les racines (si elles existent) :
a) $x^2 - 7x + 10 = 0$
b) $9x^2 - 6x + 1 = 0$
c) $2x^2 + x + 3 = 0$

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Méthode

calculer $\Delta$, puis appliquer $x = \dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.

a) $x^2-7x+10=0$ $\Delta = 49 - 40 = 9 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{7\pm3}{2} \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=5 \ \text{ou} \ x=2}$

b) $9x^2-6x+1=0$ $\Delta = 36 - 36 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_0 = \dfrac{-(-6)}{2\times9} = \dfrac{6}{18} = \boxed{\dfrac{1}{3} \ (\text{double})}$

c) $2x^2+x+3=0$ $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{S = \varnothing}$

🔍 Vérification (b) : $9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$, qui s'annule bien en $x=\frac13$ ✓

Exercice 3—VièteNiveau 1

L'équation $3x^2 - 6x + 2 = 0$ a deux racines $x_1$ et $x_2$.
a) Calcule $x_1 + x_2$ et $x_1 x_2$ sans résoudre.
b) Calcule $x_1^2 + x_2^2$.

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Relations de Viète

$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ — sans résoudre l'équation.

a) Somme et produit ($3x^2-6x+2=0$) $x_1+x_2 = -\dfrac{-6}{3} = 2, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{2}{3}$

b) Somme des carrés (identité $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$) $x_1^2+x_2^2 = 2^2 - 2\times\dfrac{2}{3} = 4 - \dfrac{4}{3} = \boxed{\dfrac{8}{3}}$

Astuce

L'identité $(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$ évite de calculer les racines (ici irrationnelles).

Exercice 4—Forme canoniqueNiveau 1

Mets en forme canonique et donne le sommet :
a) $f(x) = x^2 - 4x + 7$
b) $g(x) = -2x^2 + 8x - 3$

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Forme canonique

$a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. Le sommet est $S(\alpha;\beta)$.

a) $f(x)=x^2-4x+7$

$\alpha = -\dfrac{-4}{2} = 2$, $\beta = f(2) = 4-8+7 = 3$ : $f(x) = (x-2)^2 + 3 \quad\Rightarrow\quad \boxed{S(2;3), \ \text{minimum} = 3}$

b) $g(x)=-2x^2+8x-3$

$\alpha = -\dfrac{8}{2(-2)} = 2$, $\beta = g(2) = -8+16-3 = 5$ : $g(x) = -2(x-2)^2 + 5 \quad\Rightarrow\quad \boxed{S(2;5), \ \text{maximum} = 5}$

Piège

$a=-2<0$ → la parabole est tournée vers le bas → le sommet est un maximum, pas un minimum.

Exercice 5—Signe du trinômeNiveau 1

Étudie le signe de $f(x) = x^2 - 5x + 4$.

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Méthode du signe

factoriser, puis appliquer « signe de $a$ à l'extérieur des racines ».

Étape 1 — Racines de $x^2-5x+4$ $\Delta = 25 - 16 = 9 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{5\pm3}{2} \quad\Rightarrow\quad x_1=1, \ x_2=4$

Étape 2 — Tableau de signes ($a=1>0$ → positif à l'extérieur)

$x$	$-\infty$		$1$		$4$		$+\infty$
$f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$\boxed{f(x)>0 \text{ sur } ]-\infty;1[\cup]4;+\infty[ \ ; \quad f(x)<0 \text{ sur } ]1;4[}$

Exercice 6—Tableau de variationNiveau 1

Dresse le tableau de variation de $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ sur $\mathbb{R}$.

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Tableau de variation

sommet en $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, et sens donné par le signe de $a$.

Étape 1 — Sommet de $f(x)=-x^2+6x-5$ $\alpha = -\dfrac{6}{2(-1)} = 3, \qquad \beta = f(3) = -9+18-5 = 4$

Étape 2 — Sens de variation ($a=-1<0$ → croît puis décroît, maximum en $\alpha$)

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$\mathbf{4}$	$\searrow$	$-\infty$

🔍 Vérification : les racines sont $x=1$ et $x=5$ ($\Delta=16$), symétriques autour de $\alpha=3$ ✓

Exercice 7—DiscriminantNiveau 1

Calcule le discriminant de $2x^2 - 3x - 5$.

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$\Delta = b^2 - 4ac = 9 + 40 = \mathbf{49}$.

Exercice 8—RacinesNiveau 1

Résous :
a) $x^2 - 5x + 6 = 0$ $\quad$
b) $2x^2 - 3x - 5 = 0$

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a) $\Delta = 25 - 24 = 1$ : $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$, soit $\mathbf{2}$ et $\mathbf{3}$.

b) $\Delta = 49$ : $x = \dfrac{3 \pm 7}{4}$, soit $\mathbf{\dfrac{5}{2}}$ et $\mathbf{-1}$.

Exercice 9—Nombre de racinesNiveau 1

Combien de racines ont :
a) $x^2 + x + 1$ $\quad$
b) $x^2 - 6x + 9$ ? Donne-les le cas échéant.

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a) $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ : aucune racine.

b) $\Delta = 36 - 36 = 0$ : une racine double, $x = \mathbf{3}$ (c'est $(x - 3)^2$).

Exercice 10—Forme canoniqueNiveau 1

Écris $x^2 - 4x + 7$ sous forme canonique et donne le sommet de la parabole.

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$x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = \mathbf{(x - 2)^2 + 3}$. Sommet $\mathbf{S(2 ; 3)}$.

Exercice 11—Forme factoriséeNiveau 1

Factorise $2x^2 - 3x - 5$ à l'aide de l'exercice 8.

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🎯 $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

$2(x + 1)\left(x - \dfrac{5}{2}\right) = \mathbf{(x + 1)(2x - 5)}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Équation quadratiqueNiveau 2

Résous :
a) $3x^2 - 7x + 2 = 0$
b) $x^2 = 5x - 6$
c) $(x-1)(x+3) = 5$

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Stratégie

tout ramener à la forme $ax^2+bx+c=0$ avant d'appliquer la méthode (discriminant ou factorisation).

a) $3x^2-7x+2=0$ $\Delta = 49-24 = 25 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{7\pm5}{6} \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=2 \ \text{ou} \ x=\dfrac{1}{3}}$

b) $x^2=5x-6$ → réécrire en $x^2-5x+6=0$ $(x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=2 \ \text{ou} \ x=3}$

c) $(x-1)(x+3)=5$ → développer puis ramener à zéro $x^2+2x-3 = 5 \ \Rightarrow\ x^2+2x-8 = 0 \ \Rightarrow\ (x-2)(x+4)=0 \ \Rightarrow\ \boxed{x=2 \ \text{ou} \ x=-4}$

Piège (c)

On ne peut PAS écrire « $x-1=5$ ou $x+3=5$ ». La règle du produit nul ne s'applique qu'avec un produit égal à 0 — il faut d'abord tout passer à gauche.

Exercice 13—InéquationNiveau 2

Résous :
a) $x^2 - 3x - 4 \geq 0$
b) $-2x^2 + x + 3 < 0$

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Inéquation du 2nd degré

racines + tableau de signes, en tenant compte du sens de l'inégalité.

a) $x^2-3x-4\geq 0$ $\Delta = 9+16 = 25 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{3\pm5}{2} \quad\Rightarrow\quad x_1=-1, \ x_2=4$ $a=1>0$ → positif à l'extérieur des racines (et l'inégalité est large) : $\boxed{S = ]-\infty;-1]\cup[4;+\infty[}$

b) $-2x^2+x+3<0$ → multiplier par $-1$ (inverse le sens) : $2x^2-x-3>0$ $\Delta = 1+24 = 25 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{1\pm5}{4} \quad\Rightarrow\quad x_1=-1, \ x_2=\dfrac{3}{2}$ $a=2>0$ → positif à l'extérieur (inégalité stricte) : $\boxed{S = ]-\infty;-1[\,\cup\,\left]\dfrac{3}{2};+\infty\right[}$

Exercice 14—Tangente à une paraboleNiveau 2

Le point $A(1; f(1))$ est sur la parabole $f(x) = x^2 - 2x + 3$.
a) Calcule les coordonnées de $A$.
b) La droite tangente en $A$ a pour coefficient directeur $f'(1) = 2(1) - 2 = 0$. Quelle est l'équation de cette tangente ?

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Tangente

pente = nombre dérivé $f'(x_0)$, puis équation par le point.

a) Coordonnées de $A$ $f(1) = 1 - 2 + 3 = 2 \quad\Rightarrow\quad \boxed{A(1;2)}$

b) Équation de la tangente

$f'(x) = 2x-2$, donc $f'(1) = 0$ : la tangente est horizontale, passant par $A(1;2)$ : $\boxed{y = 2}$

Sens géométrique

$f'(1)=0$ et $x=1$ est l'abscisse du sommet → la tangente au sommet d'une parabole est toujours horizontale.

Exercice 15—Problème d'optimisationNiveau 2

Un agriculteur veut clôturer un terrain rectangulaire en utilisant un mur existant (un côté sans clôture). Il dispose de $60$ m de fil.
a) Exprime l'aire en fonction de la longueur $x$.
b) Quelle valeur de $x$ maximise l'aire ?

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Optimisation

exprimer l'aire comme un trinôme en $x$, puis chercher le sommet.

a) Aire en fonction de $x$

Le mur remplace un côté : il reste deux largeurs $x$ et une longueur $\ell$, avec $2x+\ell=60$, donc $\ell=60-2x$. $\[A(x) = x(60-2x) = -2x^2 + 60x\]$

b) Maximum (sommet de la parabole, $a=-2<0$) $\alpha = -\dfrac{60}{2(-2)} = 15 \quad\Rightarrow\quad A(15) = 15\times(60-30) = \boxed{450 \ \text{m}^2 \text{ pour } x=15 \text{ m}}$

🔍 Vérification : $\ell = 60-30 = 30$ m ; aire $= 15\times30 = 450$ m² ✓

Exercice 16—ParamètreNiveau 2

Pour quelle valeur de $m$, l'équation $x^2 - 2mx + 3m - 2 = 0$ admet-elle une solution double ?

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Solution double

$\Leftrightarrow \Delta = 0$.

Étape 1 — Discriminant de $x^2-2mx+3m-2=0$ ($a=1$, $b=-2m$, $c=3m-2$) $\Delta = (-2m)^2 - 4(3m-2) = 4m^2 - 12m + 8$

Étape 2 — Annuler $\Delta$ $4m^2-12m+8 = 0 \ \Rightarrow\ m^2-3m+2 = 0 \ \Rightarrow\ (m-1)(m-2)=0 \ \Rightarrow\ \boxed{m=1 \ \text{ou} \ m=2}$

Exercice 17—Racine unique de trinômeNiveau 2

La parabole $y = x^2 + bx + 9$ est tangente à l'axe des $x$. Quelle est la valeur de $b$ ?

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Tangence à l'axe des $x$

$\Leftrightarrow$ une seule racine $\Leftrightarrow \Delta=0$.

Étape 1 — Discriminant de $x^2+bx+9$ $\Delta = b^2 - 4(1)(9) = b^2 - 36$

Étape 2 — Résoudre $\Delta=0$ $b^2 - 36 = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{b = 6 \ \text{ou} \ b = -6}$

Astuce

Pour $b=6$ : $x^2+6x+9=(x+3)^2$ tangente en $x=-3$ ; pour $b=-6$ : tangente en $x=3$.

Exercice 18—Intersection parabole/droiteNiveau 2

Trouve les points d'intersection de $y = x^2 - 3x$ et $y = 2x - 6$.

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Intersection

égaler les deux expressions de $y$.

Étape 1 — Poser l'égalité $x^2-3x = 2x-6 \quad\Rightarrow\quad x^2-5x+6 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x-3)=0$

Étape 2 — Calculer les ordonnées (via $y=2x-6$) $x=2 \Rightarrow y=-2 \ ; \qquad x=3 \Rightarrow y=0$ $\boxed{(2;-2) \ \text{et} \ (3;0)}$

🔍 Vérification $(2;-2)$ sur $y=x^2-3x$ : $4-6=-2$ ✓

Exercice 19—Signe d'une expression quadratiqueNiveau 2

Résous $(2x+1)(x-3) > (x+1)(x-2)$.

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Stratégie

tout passer d'un côté, développer et réduire à un trinôme.

Étape 1 — Développer chaque produit $(2x+1)(x-3) = 2x^2-5x-3, \qquad (x+1)(x-2) = x^2-x-2$

Étape 2 — Réduire la différence $\[(2x^2-5x-3) - (x^2-x-2) = x^2-4x-1 > 0\]$

Étape 3 — Racines et signe $\Delta = 16+4 = 20 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{4\pm\sqrt{20}}{2} = 2\pm\sqrt{5}$ $a=1>0$ → positif à l'extérieur : $\boxed{S = ]-\infty\,;\,2-\sqrt5[\,\cup\,]2+\sqrt5\,;\,+\infty[}$

Exercice 20—SigneNiveau 2

Étudie le signe de $-x^2 + x + 6$.

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$\Delta = 1 + 24 = 25$, racines $\dfrac{-1 \pm 5}{-2}$ : $-2$ et $3$. Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est positif entre les racines : positif sur $]-2 ; 3[$, négatif sur $]-\infty ; -2[ \cup ]3 ; +\infty[$.

Exercice 21—InéquationNiveau 2

Résous : $x^2 - 3x - 10 \leqslant 0$.

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Racines : $\Delta = 9 + 40 = 49$, $x = \dfrac{3 \pm 7}{2}$, soit $-2$ et $5$. $a > 0$ : négatif entre les racines. $\mathcal{S} = \mathbf{[-2 ; 5]}$.

Exercice 22—Somme et produitNiveau 2

Trouve deux nombres dont la somme vaut $10$ et le produit $21$.

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Ils sont racines de $x^2 - 10x + 21 = 0$ : $\Delta = 100 - 84 = 16$, $x = \dfrac{10 \pm 4}{2}$. Les nombres sont $\mathbf{3}$ et $\mathbf{7}$.

Exercice 23—ParamètreNiveau 2

Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $x^2 + mx + 9 = 0$ a-t-elle une seule solution ?

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Une seule solution $\iff \Delta = m^2 - 36 = 0 \iff \mathbf{m = 6}$ ou $\mathbf{m = -6}$.

Exercice 24—Bénéfice maximalNiveau 2

Le bénéfice d'une entreprise est $B(x) = -2x^2 + 120x - 1\,000$ (en euros, pour $x$ objets). Pour combien d'objets est-il maximal ? Que vaut-il ?

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$a = -2 < 0$ : maximum au sommet $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{120}{4} = \mathbf{30}$ objets. $B(30) = -1\,800 + 3\,600 - 1\,000 = \mathbf{800}$ €.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—DémonstrationNiveau 3

Soit $f(x) = ax^2+bx+c$ avec $a > 0$ et $\Delta < 0$. Montre que $f(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

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Idée

passer par la forme canonique pour rendre le signe évident.

Étape 1 — Forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \quad \text{avec} \quad \beta = c - \dfrac{b^2}{4a} = -\dfrac{\Delta}{4a}$

Étape 2 — Signe de $\beta$

Avec $a>0$ et $\Delta<0$ : $-\Delta>0$ et $4a>0$, donc $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a} > 0$.

Étape 3 — Conclusion

$a(x-\alpha)^2 \geq 0$ (car $a>0$) et $\beta>0$, donc : $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \geq \beta > 0 \quad \text{pour tout } x\in\mathbb{R} \quad \blacksquare$

Interprétation

Si $\Delta<0$, $f$ garde un signe constant — celui de $a$. Ici $a>0$ donc $f>0$ partout (la parabole reste au-dessus de l'axe).

Exercice 26—Équation bicarréeNiveau 3

Résous $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

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Équation bicarrée

poser $u=x^2$ pour se ramener à un trinôme, sans oublier de revenir à $x$.

Étape 1 — Substitution $u=x^2$ $u^2 - 5u + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad (u-1)(u-4) = 0 \quad\Rightarrow\quad u=1 \ \text{ou} \ u=4$

Étape 2 — Revenir à $x$ $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1 \ ; \qquad x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2$ $\boxed{S = \{-2;-1;1;2\}}$

Piège

Ne pas s'arrêter à $u$ ! Chaque valeur positive de $u$ donne deux valeurs de $x$.

Exercice 27—Système de deux quadratiquesNiveau 3

Résous le système : $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ y = -x^2 + 3 \end{cases}$

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Système

égaler les deux expressions de $y$.

Étape 1 — Égaler $x^2-1 = -x^2+3 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt2$

Étape 2 — Ordonnées ($y=x^2-1 = 2-1 = 1$ dans les deux cas) $\boxed{(\sqrt2\,;\,1) \ \text{et} \ (-\sqrt2\,;\,1)}$

🔍 Vérification : sur $y=-x^2+3$ : $-2+3=1$ ✓

Exercice 28—Minimum de somme de carrésNiveau 3

Soit $f(x) = (x-1)^2 + (x+2)^2$. Trouve le minimum de $f$ et la valeur de $x$ qui le réalise.

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Méthode

développer en un seul trinôme, puis forme canonique pour lire le minimum.

Étape 1 — Développer $\[f(x) = (x-1)^2 + (x+2)^2 = (x^2-2x+1) + (x^2+4x+4) = 2x^2 + 2x + 5\]$

Étape 2 — Forme canonique $f(x) = 2\left(x^2+x\right) + 5 = 2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} + 5 = 2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{9}{2}$

Étape 3 — Lire le minimum $\boxed{\text{minimum} = \dfrac{9}{2} \ \text{atteint en} \ x = -\dfrac{1}{2}}$

Exercice 29—Recherche des équationsNiveau 3

La parabole passe par $A(-1;3)$, $B(0;1)$, $C(2;5)$. Détermine $a$, $b$, $c$.

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Stratégie

chaque point fournit une équation en $(a,b,c)$ ; on résout le système.

Étape 1 — Exploiter $B(0;1)$ (le plus simple) $\[f(0) = c = 1\]$

Étape 2 — Points $A(-1;3)$ et $C(2;5)$ $A : \ a - b + 1 = 3 \ \Rightarrow\ a - b = 2$ $C : \ 4a + 2b + 1 = 5 \ \Rightarrow\ 2a + b = 2$

Étape 3 — Résoudre le système

En additionnant $a-b=2$ et $2a+b=2$ : $3a = 4 \Rightarrow a = \dfrac{4}{3}$, puis $b = a-2 = -\dfrac{2}{3}$. $\boxed{f(x) = \dfrac{4}{3}x^2 - \dfrac{2}{3}x + 1}$

🔍 Vérification ($C$) : $\frac43(4) - \frac23(2) + 1 = \frac{16}{3} - \frac{4}{3} + 1 = \frac{12}{3}+1 = 5$ ✓

Exercice 30—Synthèse : problème économiqueNiveau 3

Le coût de production de $x$ unités est $C(x) = 2x^2 - 40x + 500$. Le revenu est $R(x) = 80x$.
a) Calcule le bénéfice $B(x) = R(x) - C(x)$.
b) Trouve le nombre d'unités qui maximise le bénéfice.
c) Quel est le bénéfice maximum ?
d) Pour quelles valeurs de $x$ l'entreprise est-elle bénéficiaire ?

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Synthèse économique

bénéfice = recette − coût, c'est un trinôme dont on cherche le maximum, puis le signe.

a) Bénéfice $\[B(x) = R(x) - C(x) = 80x - (2x^2-40x+500) = -2x^2 + 120x - 500\]$

b) Nombre d'unités maximisant ($a=-2<0$, sommet) $\alpha = -\dfrac{120}{2(-2)} = \boxed{30 \ \text{unités}}$

c) Bénéfice maximal $B(30) = -2(900) + 120(30) - 500 = -1800 + 3600 - 500 = \boxed{1300 \ \text{€}}$

d) Zone de rentabilité ($B(x)>0$) $-2x^2+120x-500 > 0 \ \Leftrightarrow\ x^2-60x+250 < 0$ $\Delta = 3600 - 1000 = 2600 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{60\pm\sqrt{2600}}{2} = 30 \pm \sqrt{650}$ $30-\sqrt{650} \approx 4{,}5 \quad ; \quad 30+\sqrt{650} \approx 55{,}5$

$\boxed{\text{Entreprise bénéficiaire entre } 5 \text{ et } 55 \text{ unités (entières)}}$

Cohérence

Le maximum ($x=30$) est bien au centre de l'intervalle de rentabilité $[4{,}5\,;\,55{,}5]$ — normal, par symétrie de la parabole autour de son sommet.