Suites numériques

a) \(u_n=2n+3\) \[\boxed{u_0=3,\ u_1=5,\ u_2=7,\ u_3=9,\ u_4=11}\]

b) \(u_n=n^2-1\) \[\boxed{u_0=-1,\ u_1=0,\ u_2=3,\ u_3=8,\ u_4=15}\]

c) \(u_n=3^n\) \[\boxed{u_0=1,\ u_1=3,\ u_2=9,\ u_3=27,\ u_4=81}\]

a) Quatre premiers termes (\(u_0=5\), \(r=3\)) \[\boxed{5,\ 8,\ 11,\ 14}\]

b) \(u_{10}\) et \(u_{100}\) (formule directe, pas besoin de tout calculer) \[u_{10} = 5 + 10\times3 = \boxed{35}, \qquad u_{100} = 5 + 100\times3 = \boxed{305}\]

c) Rang du terme valant 71 \[5 + 3n = 71 \ \Rightarrow\ 3n = 66 \ \Rightarrow\ n = 22 \quad\Rightarrow\quad \boxed{u_{22} = 71}\]

a) Termes suivants (\(u_1=2\), \(q=3\)) \[u_2 = 6, \quad u_3 = 18, \quad u_4 = 54\]

b) Formule générale (premier terme \(u_1\) → exposant \(n-1\)) \[\boxed{u_n = 2\times 3^{\,n-1}}\]

c) \(u_{10}\) \[u_{10} = 2\times 3^9 = 2\times 19\,683 = \boxed{39\,366}\]

a) \(3,7,11,15,19,\dots\) : écart \(7-3=4\) constant \[\boxed{\text{arithmétique}, \ r=4}\]

b) \(2,6,18,54,\dots\) : quotient \(6/2=3\) constant \[\boxed{\text{géométrique}, \ q=3}\]

c) \(100,50,25,12{,}5,\dots\) : quotient \(50/100=0{,}5\) constant \[\boxed{\text{géométrique}, \ q=0{,}5}\]

Étape 1 — Identifier : \(1+2+\cdots+100\), soit \(100\) termes de \(1\) à \(100\).

Étape 2 — Appliquer la formule \[S = \dfrac{100\times(1+100)}{2} = \dfrac{100\times101}{2} = \boxed{5050}\]

Étape 1 — Identifier : \(1+2+4+\cdots+2^9\), soit \(10\) termes, \(u_0=1\), \(q=2\).

Étape 2 — Appliquer la formule \[S = 1\times\dfrac{2^{10}-1}{2-1} = 2^{10}-1 = \boxed{1023}\]

\(u_0 = \mathbf{-2}\) ; \(u_1 = \mathbf{1}\) ; \(u_{10} = \mathbf{28}\).

🎯 Suite arithmétique : \(u_n = u_0 + nr\).

\(\mathbf{u_n = 5 + 3n}\) ; \(u_{20} = 5 + 60 = \mathbf{65}\).

🎯 Suite géométrique : \(v_n = v_0 \times q^n\).

\(\mathbf{v_n = 2 \times 3^n}\) ; \(v_5 = 2 \times 243 = \mathbf{486}\).

\(u_1 = 2 \times 3 - 1 = \mathbf{5}\) ; \(u_2 = \mathbf{9}\) ; \(u_3 = \mathbf{17}\).

a) arithmétique de raison \(3\) ; b) géométrique de raison \(2\) ; c) ni l'un ni l'autre (écarts \(3, 5, 7\) ; quotients \(4 ; 2{,}25\)).

a) Premiers termes (\(u_0=1\), \(u_{n+1}=2u_n+3\)) \[u_1 = 2(1)+3 = 5, \quad u_2 = 2(5)+3 = 13, \quad u_3 = 2(13)+3 = 29\]

b) \((v_n)\) avec \(v_n=u_n+3\) est géométrique \[v_{n+1} = u_{n+1}+3 = (2u_n+3)+3 = 2u_n+6 = 2(u_n+3) = 2v_n\] \((v_n)\) est donc géométrique de raison 2, avec \(v_0 = u_0+3 = 4\), d'où \(v_n = 4\times 2^n\).

c) Formule de \(u_n\) \[u_n = v_n - 3 = \boxed{4\times 2^n - 3}\]

🔍 Vérification : \(u_3 = 4\times8-3 = 29\) ✓ (concorde avec l'étape 1).

a) Premiers termes (\(u_n=\frac{3n+1}{n+2}\)) \[u_0 = \dfrac{1}{2}, \quad u_1 = \dfrac{4}{3}, \quad u_2 = \dfrac{7}{4}\]

b) Signe de \(u_{n+1}-u_n\) \[u_{n+1}-u_n = \dfrac{3n+4}{n+3} - \dfrac{3n+1}{n+2} = \dfrac{(3n+4)(n+2)-(3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}\]

Le numérateur : \((3n^2+10n+8) - (3n^2+10n+3) = 5 > 0\). Le dénominateur est positif, donc : \[u_{n+1}-u_n > 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{(u_n) \text{ est croissante}}\]

c) Limite (factoriser par \(n\) haut et bas) \[u_n = \dfrac{n(3+\frac1n)}{n(1+\frac2n)} = \dfrac{3+\frac1n}{1+\frac2n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \boxed{3}\]

a) Capital après \(n\) ans \[C_n = 1000\times(1{,}05)^n\]

b) Nature \[\boxed{\text{géométrique}, \ q=1{,}05, \ C_0=1000}\]

c) Dépassement de 2000 € : résoudre \(1{,}05^n > 2\)

Méthode 1ère (table de valeurs) : on calcule les puissances de \(1{,}05\) à la calculatrice.

Le seuil \(2\) est franchi entre \(n=14\) et \(n=15\). \[\boxed{\text{Le capital dépasse 2000 € au bout de 15 ans}}\]

a) \(u_0 = 0\) ; \(u_1 = -3\) ; \(u_2 = -4\) ; \(u_3 = -3\).

b) \(u_{n+1} - u_n = (n + 1)^2 - 4(n + 1) - (n^2 - 4n) = n^2 + 2n + 1 - 4n - 4 - n^2 + 4n = \mathbf{2n - 3}\).

c) \(2n - 3 < 0\) pour \(n \leqslant 1\) et \(2n - 3 > 0\) pour \(n \geqslant 2\). La suite décroît de \(u_0\) à \(u_2\), puis elle est croissante à partir du rang \(2\).

Étape 1 — Trouver \(q\) (via \(u_n=u_0 q^n\), donc \(\frac{u_6}{u_3}=q^3\)) \[q^3 = \dfrac{u_6}{u_3} = \dfrac{320}{40} = 8 \quad\Rightarrow\quad q = 2\]

Étape 2 — Trouver \(u_0\) (via \(u_3=u_0 q^3\)) \[u_0\times 2^3 = 40 \ \Rightarrow\ 8u_0 = 40 \ \Rightarrow\ \boxed{u_0 = 5, \ q = 2}\]

🔍 Vérification : \(u_6 = 5\times2^6 = 5\times64 = 320\) ✓

Étape 1 — Termes extrêmes (\(u_n=2+3n\)) \[u_5 = 2+15 = 17, \qquad u_{15} = 2+45 = 47\]

Étape 2 — Nombre de termes (du rang 5 au rang 15 inclus) \[15 - 5 + 1 = 11\]

Étape 3 — Somme \[S = 11\times\dfrac{17+47}{2} = 11\times 32 = \boxed{352}\]

a) \((v_n)\) avec \(v_n=u_n-8\) est géométrique \[v_{n+1} = u_{n+1}-8 = \tfrac12 u_n+4-8 = \tfrac12 u_n - 4 = \tfrac12(u_n-8) = \tfrac12 v_n\] \((v_n)\) géométrique de raison \(\frac12\), \(v_0 = 0-8 = -8\), donc \(v_n = -8\times\left(\frac12\right)^n\).

b) Formule de \(u_n\) \[u_n = v_n + 8 = \boxed{8\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}\]

c) Limite \[\dfrac{1}{2^n}\to 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{u_n \to 8}\]

a) On ajoute \(5\) chaque mois : suite arithmétique de raison \(5\) et de premier terme \(u_1 = 50\). \(u_n = 50 + 5(n - 1) = \mathbf{5n + 45}\).

b) \(u_{12} = 5 \times 12 + 45 = \mathbf{105}\) €.

c) \(12\) termes : \(S = 12 \times \dfrac{50 + 105}{2} = 12 \times 77{,}5 = \mathbf{930}\) €.

🎯 Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique \(= \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}\).

a) \(100 \times \dfrac{1 + 100}{2} = \mathbf{5\,050}\).

b) \(21\) termes : \(21 \times \dfrac{5 + 65}{2} = \mathbf{735}\).

\(11\) termes d'une suite géométrique de raison \(2\) : \(\dfrac{2^{11} - 1}{2 - 1} = \mathbf{2\,047}\).

\(u_{n+1} - u_n = (n + 1)^2 + (n + 1) - n^2 - n = 2n + 2 > 0\). La suite est strictement croissante.

a) Chaque année, on multiplie par \(1{,}03\) : \(\mathbf{C_n = 2\,000 \times 1{,}03^n}\).

b) \(C_5 \approx \mathbf{2\,318{,}55}\) €.

A (arithmétique) : \(1\,000 + 12 \times 50 = \mathbf{1\,600}\). B (géométrique) : \(1\,000 \times 1{,}04^{12} \approx \mathbf{1\,601}\).

a) \(A_n = 2\,000 + 100n\) (suite arithmétique de raison \(100\)) ; \(B_n = 2\,000 \times 1{,}04^n\) (suite géométrique de raison \(1{,}04\)).

b) On compare les termes :

Le placement B devient plus intéressant à partir de la 12e année.

a) Suite géométrique de raison \(0{,}6\) : \(\mathbf{h_n = 5 \times 0{,}6^n}\).

b) \(h_4 = 5 \times 0{,}6^4 = 5 \times 0{,}1296 = \mathbf{0{,}648}\) m, soit environ \(65\) cm.

c) Elle tombe de \(5\) m, puis fait \(4\) allers-retours (montée et descente) de hauteurs \(h_1\), \(h_2\), \(h_3\), \(h_4\) avant le 5e contact : \[D = 5 + 2(h_1 + h_2 + h_3 + h_4) = 5 + 2 \times 5 \times 0{,}6 \times \frac{1 - 0{,}6^4}{1 - 0{,}6}\] \(h_1 + \cdots + h_4 = 3 + 1{,}8 + 1{,}08 + 0{,}648 = 6{,}528\), donc \(D = 5 + 13{,}056 \approx \mathbf{18{,}06}\) m.

d) Comme \(0 < 0{,}6 < 1\), \(0{,}6^n\) se rapproche de \(0\) : les hauteurs tendent vers \(0\).

a) La ligne manquante est u = 0.5 * u + 3. On obtient \([10 ; 8 ; 7 ; 6{,}5 ; 6{,}25]\).

b) Les termes semblent se rapprocher de \(\mathbf{6}\).

c) \(v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0{,}5u_n + 3 - 6 = 0{,}5u_n - 3 = 0{,}5(u_n - 6) = 0{,}5\,v_n\). \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\) et de premier terme \(v_0 = 4\) : \(v_n = 4 \times 0{,}5^n\), donc \(\mathbf{u_n = 6 + 4 \times 0{,}5^n}\). Comme \(0{,}5^n\) tend vers \(0\), \(u_n\) tend bien vers \(6\).

a) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{(n + 1) \times 0{,}8^{n+1}}{n \times 0{,}8^n} = \mathbf{0{,}8 \times \dfrac{n + 1}{n}}\).

b) Les termes sont positifs. \(0{,}8 \times \dfrac{n + 1}{n} > 1 \iff 0{,}8(n + 1) > n \iff 0{,}8 > 0{,}2n \iff n < 4\). Le quotient vaut exactement \(1\) pour \(n = 4\).

c) La suite est croissante jusqu'au rang \(4\), puis décroissante : \(u_1 = 0{,}8\), \(u_2 = 1{,}28\), \(u_3 = 1{,}536\), \(u_4 = u_5 = 1{,}6384\), \(u_6 \approx 1{,}573\)… Le plus grand terme est \(\mathbf{1{,}6384}\), atteint pour \(n = 4\) et \(n = 5\).

a) Démonstration \[(1-x)S_n = (1-x)(1+x+x^2+\cdots+x^n)\] En développant, tous les termes intermédiaires se simplifient : \[(1-x)S_n = 1 - x^{n+1} \quad\Rightarrow\quad \boxed{S_n = \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}} \quad (x\neq1)\]

b) Limite si \(|x|<1\)

Quand \(|x|<1\), \(x^{n+1}\to 0\), donc : \[\boxed{\lim_{n\to+\infty} S_n = \dfrac{1}{1-x}}\]

a) Population après \(n\) heures (doublement, \(P_0=100\)) \[\boxed{P_n = 100\times 2^n}\]

b) Dépassement de \(10^6\) : résoudre \(100\times2^n>10^6\), soit \(2^n>10^4=10\,000\)

Par table de valeurs : \(2^{13}=8192\) et \(2^{14}=16\,384\). Le seuil \(10\,000\) est franchi à \(n=14\). \[\boxed{\text{Dépassement au bout de 14 heures}}\]

c) Avec ajout de 50/heure : \(P_{n+1}=2P_n+50\)

On pose \(Q_n=P_n+50\) (point fixe : \(\ell=2\ell+50 \Rightarrow \ell=-50\)) : \[Q_{n+1} = P_{n+1}+50 = 2P_n+50+50 = 2(P_n+50) = 2Q_n\] \((Q_n)\) géométrique de raison \(2\), \(Q_0 = 100+50 = 150\), donc \(Q_n = 150\times2^n\) : \[\boxed{P_n = 150\times 2^n - 50}\]

🔍 Vérification : \(P_0 = 150-50 = 100\) ✓ ; \(P_1 = 300-50 = 250 = 2(100)+50\) ✓