Entre \(a\) et \(a + h\) (\(h \ne 0\)), le taux de variation de \(f\) est \[\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\] C'est le coefficient directeur de la sécante passant par \(A(a ; f(a))\) et \(M(a + h ; f(a + h))\).
Si \(\tau(h)\) se rapproche d'un nombre \(\ell\) quand \(h\) tend vers \(0\), on dit que \(f\) est dérivable en \(a\) et que \(\ell\) est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\) : \[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
\(f(x) = x^2\) en \(a = 2\) : \(\tau(h) = \dfrac{(2 + h)^2 - 4}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h\), qui tend vers \(4\). Donc \(f'(2) = 4\).
La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est la droite passant par \(A(a ; f(a))\) de coefficient directeur \(f'(a)\) : \[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
Près de \(a\), la courbe et sa tangente sont très proches : \(f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h\) pour \(h\) petit.
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Dérivable sur |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(mx + p\) | \(m\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n\) entier, \(n \geqslant 1\)) | \(nx^{n - 1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(]-\infty ; 0[\) et \(]0 ; +\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) (\(n \geqslant 1\)) | \(-\dfrac{n}{x^{n + 1}}\) | \(]-\infty ; 0[\) et \(]0 ; +\infty[\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0 ; +\infty[\) |
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en \(0\), et la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\).
\(u\) et \(v\) sont dérivables, \(k\) est un réel. \[(u + v)' = u' + v' \qquad (ku)' = ku' \qquad (uv)' = u'v + uv'\] \[\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \ne 0)\] Et pour \(g(ax + b)\) : \(\big(g(ax + b)\big)' = a\,g'(ax + b)\).
\(\big((2x + 3)^4\big)' = 2 \times 4(2x + 3)^3 = 8(2x + 3)^3\) ; \(\big(\sqrt{3x + 1}\big)' = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 1}}\).
Sur un intervalle \(I\),
Si \(f'\) s'annule en \(a\) en changeant de signe, \(f\) admet un extremum local en \(a\) (un maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), un minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\)).
Calculer \(f'(x)\), la factoriser, étudier son signe (tableau de signes), puis dresser le tableau de variations en calculant les valeurs aux extremums.
Contenu facultatif, non exigible.
En terminale, tu dériveras des composées plus générales et tu étudieras la dérivée seconde (convexité).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Nombre dérivé | \(f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\) |
| Tangente en \(a\) | \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) |
| Approximation affine | \(f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h\) |
| Produit | \((uv)' = u'v + uv'\) |
| Quotient | \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(g(ax + b)\) | dérivée \(a\,g'(ax + b)\) |
| Variations | Signe de \(f'\) |
Calcule la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 4x^3 - 2x + 5\) \(\quad\)
b) \(g(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{x}\) \(\quad\)
c) \(h(x) = x^5 - \dfrac{1}{x^2}\)
a) \(f'(x) = 4 \times 3x^2 - 2 = \mathbf{12x^2 - 2}\).
b) \(g'(x) = \mathbf{\dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x^2}}\) (pour \(x > 0\)).
c) \(\left(\dfrac{1}{x^2}\right)' = -\dfrac{2}{x^3}\), donc \(h'(x) = 5x^4 - \left(-\dfrac{2}{x^3}\right) = \mathbf{5x^4 + \dfrac{2}{x^3}}\).
Calcule le taux de variation de \(f(x) = x^2\) entre \(x = 2\) et \(x = 2+h\). Détermine \(f'(2)\) en faisant tendre \(h\) vers \(0\).
la dérivée est la limite du taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) quand \(h\to0\).
Étape 1 — Calculer le taux (\(f(x)=x^2\), \(a=2\)) \[\tau = \dfrac{(2+h)^2 - 4}{h} = \dfrac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h}\]
Étape 2 — Simplifier par \(h\) (licite car \(h\neq0\)) \[\tau = 4 + h\]
Étape 3 — Passer à la limite \[f'(2) = \lim_{h\to0}(4+h) = \boxed{4}\]
🔍 Vérification : avec la formule \((x^2)'=2x\), on a \(f'(2)=2\times2=4\) ✓
Pour \(f(x) = x^3 - x\), calcule \(f'(x)\) et l'équation de la tangente en \(x = 1\).
\(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
Étape 1 — Dérivée (\(f(x)=x^3-x\)) \[f'(x) = 3x^2 - 1\]
Étape 2 — Valeurs en \(a=1\) \[f'(1) = 3 - 1 = 2, \qquad f(1) = 1 - 1 = 0\]
Étape 3 — Équation de la tangente \[y = 2(x-1) + 0 = \boxed{y = 2x - 2}\]
Dérive :
a) \((x^2 + 1)(x - 3)\) \(\quad\)
b) \((3x - 1)(x^2 + 2)\) \(\quad\)
c) \((2x - 1)\sqrt{x}\)
🎯 \((uv)' = u'v + uv'\).
a) \(u = x^2 + 1\), \(v = x - 3\) : \(2x(x - 3) + (x^2 + 1) \times 1 = \mathbf{3x^2 - 6x + 1}\).
b) \(3(x^2 + 2) + (3x - 1) \times 2x = 3x^2 + 6 + 6x^2 - 2x = \mathbf{9x^2 - 2x + 6}\).
c) \(u = 2x - 1\), \(v = \sqrt{x}\) (\(x > 0\)) : \[2\sqrt{x} + (2x - 1) \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{4x + 2x - 1}{2\sqrt{x}} = \mathbf{\frac{6x - 1}{2\sqrt{x}}}\]
🔍 Vérification (a) : en développant, \(x^3 - 3x^2 + x - 3\) a pour dérivée \(3x^2 - 6x + 1\) ✓
Dérive :
a) \(\dfrac{x + 1}{x - 1}\) \(\quad\)
b) \(\dfrac{x^2}{x + 2}\) \(\quad\)
c) \(\dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}\)
🎯 \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).
a) \(\dfrac{1 \times (x - 1) - (x + 1) \times 1}{(x - 1)^2} = \mathbf{\dfrac{-2}{(x - 1)^2}}\).
b) \(\dfrac{2x(x + 2) - x^2}{(x + 2)^2} = \mathbf{\dfrac{x^2 + 4x}{(x + 2)^2}}\).
c) \(\dfrac{2(x^2 + 1) - (2x + 1) \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x^2 + 2 - 4x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \mathbf{\dfrac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}}\).
Dérive :
a) \((2x + 3)^4\) \(\quad\)
b) \(\sqrt{3x + 1}\) \(\quad\)
c) \(\dfrac{1}{2x - 5}\)
🎯 \(\big(g(ax + b)\big)' = a\,g'(ax + b)\).
a) \(g(X) = X^4\), \(a = 2\) : \(2 \times 4(2x + 3)^3 = \mathbf{8(2x + 3)^3}\).
b) \(g(X) = \sqrt{X}\), \(a = 3\) : \(3 \times \dfrac{1}{2\sqrt{3x + 1}} = \mathbf{\dfrac{3}{2\sqrt{3x + 1}}}\).
c) \(g(X) = \dfrac{1}{X}\), \(a = 2\) : \(2 \times \left(-\dfrac{1}{(2x - 5)^2}\right) = \mathbf{-\dfrac{2}{(2x - 5)^2}}\).
Dérive :
a) \(x^3\) \(\quad\)
b) \(5x^2 - 3x + 1\) \(\quad\)
c) \(\dfrac{1}{x}\) \(\quad\)
d) \(\sqrt{x}\)
a) \(\mathbf{3x^2}\) ; b) \(\mathbf{10x - 3}\) ; c) \(\mathbf{-\dfrac{1}{x^2}}\) ; d) \(\mathbf{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\).
Calcule le taux de variation de \(f(x) = x^2\) entre \(1\) et \(3\).
\(\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} = \mathbf{4}\).
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = x^2\) au point d'abscisse \(3\).
🎯 \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
\(f'(x) = 2x\), \(f'(3) = 6\), \(f(3) = 9\) : \(y = 6(x - 3) + 9\), soit \(\mathbf{y = 6x - 9}\).
Dérive \(f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)\).
\((uv)' = u'v + uv'\) : \(2x(2x - 3) + (x^2 + 1) \times 2 = 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 = \mathbf{6x^2 - 6x + 2}\).
Dérive \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\) sur \(]3 ; +\infty[\).
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) : \(\dfrac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} = \mathbf{\dfrac{-7}{(x - 3)^2}}\).
Étudie les variations de \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) et trouve ses extrema locaux.
le signe de \(f'\) donne le sens de variation ; un changement de signe = extremum.
Étape 1 — Dérivée factorisée (\(f(x)=x^3-3x+2\)) \[f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\]
Étape 2 — Tableau de signes de \(f'\) (parabole \(a>0\) : positive à l'extérieur de \(-1\) et \(1\))
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
Étape 3 — Conclusion \[\boxed{\text{Maximum local } f(-1)=4 \ ; \quad \text{minimum local } f(1)=0}\]
Dresse le tableau de variation de \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x^2+1}\).
dériver le quotient, factoriser le numérateur, lire le signe.
Étape 1 — Dérivée (\(f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1}\)) \[f'(x) = \dfrac{2x(x^2+1) - (x^2-4)(2x)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x\big[(x^2+1)-(x^2-4)\big]}{(x^2+1)^2} = \dfrac{10x}{(x^2+1)^2}\]
Étape 2 — Signe : le dénominateur est toujours \(>0\), donc \(f'\) a le signe de \(10x\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | \(-4\) | \(\nearrow\) |
Étape 3 — Conclusion \[\boxed{\text{minimum } f(0) = -4}\]
La tangente à \(f(x) = x^2 + 1\) en \(x = 1\) coupe-t-elle la courbe en d'autres points ?
trouver la tangente, puis chercher les intersections en résolvant tangente \(=\) courbe.
Étape 1 — Tangente en \(x=1\) (\(f(x)=x^2+1\), \(f'(x)=2x\)) \[f'(1)=2, \quad f(1)=2 \quad\Rightarrow\quad y = 2(x-1)+2 = 2x\]
Étape 2 — Intersections : résoudre \(x^2+1 = 2x\) \[x^2 - 2x + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \ (\text{racine double})\]
Étape 3 — Conclusion \[\boxed{\text{La tangente ne touche la courbe qu'en } x=1}\]
Une racine double traduit exactement le contact « tangentiel » — la tangente effleure la parabole sans la traverser.
Soit \(f(x) = x^3\).
a) Détermine l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\).
b) Déduis-en une valeur approchée de \(1{,}01^3\). Compare avec la valeur exacte.
a) \(f(1) = 1\), \(f'(x) = 3x^2\) et \(f'(1) = 3\) : \(y = 3(x - 1) + 1\), soit \(\mathbf{y = 3x - 2}\).
b) Près de \(1\), \(f(x) \approx 3x - 2\) : \(1{,}01^3 \approx 3 \times 1{,}01 - 2 = \mathbf{1{,}03}\). Valeur exacte : \(1{,}030301\). L'erreur est d'environ \(0{,}0003\).
Un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire le long d'une rivière : il n'y a pas de clôture côté rivière. Il dispose de \(100\) m de clôture. On note \(x\) la longueur des deux côtés perpendiculaires à la rivière.
a) Montre que l'aire du champ est \(A(x) = x(100 - 2x)\), pour \(0 < x < 50\).
b) Étudie les variations de \(A\) et déduis-en les dimensions qui donnent l'aire maximale.
a) Le côté parallèle à la rivière mesure \(100 - 2x\) : \(A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2\).
b) \(A'(x) = 100 - 4x\), positif pour \(x < 25\) et négatif pour \(x > 25\) : \(A\) est croissante sur \(]0 ; 25]\) puis décroissante sur \([25 ; 50[\). Le maximum est atteint pour \(x = 25\) : le champ mesure \(25\) m sur \(50\) m, pour une aire de \(A(25) = 25 \times 50 = \mathbf{1\,250}\) m².
La courbe de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) a des tangentes horizontales. En quels points ?
\(\Leftrightarrow f'(x)=0\).
Étape 1 — Dérivée factorisée (\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)) \[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2-4x+3) = 3(x-1)(x-3)\]
Étape 2 — Annuler \(f'\) \[f'(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \ \text{ou} \ x = 3\]
Étape 3 — Points correspondants \[f(1) = 1-6+9+1 = 5, \qquad f(3) = 27-54+27+1 = 1\] \[\boxed{\text{Tangentes horizontales en } (1;5) \text{ et } (3;1)}\]
La position d'un mobile est \(s(t) = 3t^2 - 12t + 5\) (en mètres, \(t\) en secondes).
a) Calcule la vitesse \(v(t) = s'(t)\).
b) À quel instant le mobile est-il à l'arrêt ?
c) Calcule l'accélération \(a(t) = v'(t)\).
vitesse \(=\) dérivée de la position ; accélération \(=\) dérivée de la vitesse.
a) Vitesse (\(s(t)=3t^2-12t+5\)) \[v(t) = s'(t) = \boxed{6t - 12}\]
b) Instant d'arrêt (\(v=0\)) \[6t - 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{t = 2 \text{ s}}\]
c) Accélération \[a(t) = v'(t) = \boxed{6 \text{ m/s}^2 \ (\text{constante})}\]
Avant \(t=2\) s, \(v<0\) (le mobile recule) ; après, \(v>0\) (il avance). À \(t=2\) s, il fait demi-tour.
Dérive sur \(]0 ; +\infty[\) :
a) \(\dfrac{1}{x^3}\) \(\quad\)
b) \(\dfrac{5}{x^2}\) \(\quad\)
c) \(\dfrac{x^2 + 1}{x}\) (on pourra d'abord simplifier)
a) \(\left(\dfrac{1}{x^n}\right)' = -\dfrac{n}{x^{n + 1}}\) avec \(n = 3\) : \(\mathbf{-\dfrac{3}{x^4}}\).
b) \(5 \times \left(-\dfrac{2}{x^3}\right) = \mathbf{-\dfrac{10}{x^3}}\).
c) \(\dfrac{x^2 + 1}{x} = x + \dfrac{1}{x}\), de dérivée \(\mathbf{1 - \dfrac{1}{x^2}}\).
🔍 Avec le quotient : \(\dfrac{2x \times x - (x^2 + 1)}{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{x^2}\) ✓
Dérive :
a) \((3x - 1)^4\) \(\quad\)
b) \(\sqrt{2x + 5}\)
🎯 La dérivée de \(g(ax + b)\) est \(a\,g'(ax + b)\).
a) \(3 \times 4(3x - 1)^3 = \mathbf{12(3x - 1)^3}\).
b) \(2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x + 5}} = \mathbf{\dfrac{1}{\sqrt{2x + 5}}}\).
Étudie les variations de \(f(x) = x^3 - 3x\) et donne ses extremums locaux.
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(-2\) | \(\nearrow\) |
Maximum local \(\mathbf{2}\) en \(-1\) ; minimum local \(\mathbf{-2}\) en \(1\).
En quel point la courbe de \(f(x) = x^2 - 6x + 1\) admet-elle une tangente horizontale ?
\(f'(x) = 2x - 6 = 0 \iff x = 3\) ; \(f(3) = 9 - 18 + 1 = -8\). Point \(\mathbf{(3 ; -8)}\).
En utilisant la tangente en \(0\) à \(x \mapsto \sqrt{1 + x}\), donne une valeur approchée de \(\sqrt{1{,}02}\).
\(g(x) = \sqrt{1 + x}\) : \(g(0) = 1\), \(g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{1 + x}}\), \(g'(0) = \dfrac{1}{2}\). Tangente : \(y = 1 + \dfrac{x}{2}\). \(\sqrt{1{,}02} \approx 1 + 0{,}01 = \mathbf{1{,}01}\) (valeur exacte \(\approx 1{,}00995\)).
Le coût de production de \(x\) objets est \(C(x) = x^2 + 10x + 400\) (\(x > 0\)). Le coût moyen est \(C_M(x) = \dfrac{C(x)}{x}\). Pour quelle production le coût moyen est-il minimal ? Que vaut-il ?
\(C_M(x) = x + 10 + \dfrac{400}{x}\), \(C_M'(x) = 1 - \dfrac{400}{x^2} = \dfrac{x^2 - 400}{x^2}\). \(C_M'\) est négative sur \(]0 ; 20]\) et positive ensuite : minimum en \(x = \mathbf{20}\), avec \(C_M(20) = 20 + 10 + 20 = \mathbf{50}\) €.
Soit \(f(x) = |x|\).
a) Calcule le taux de variation \(\dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h}\) pour \(h > 0\), puis pour \(h < 0\).
b) \(f\) est-elle dérivable en \(0\) ? Interprète graphiquement.
a) \(\tau(h) = \dfrac{|h|}{h}\). Pour \(h > 0\) : \(\tau(h) = \dfrac{h}{h} = \mathbf{1}\). Pour \(h < 0\) : \(\tau(h) = \dfrac{-h}{h} = \mathbf{-1}\).
b) Quand \(h\) tend vers \(0\), \(\tau(h)\) vaut \(1\) d'un côté et \(-1\) de l'autre : il ne se rapproche pas d'un unique nombre. \(f\) n'est pas dérivable en \(0\). Graphiquement, la courbe forme un « angle » en \(O\) : il n'y a pas de tangente (on parle de point anguleux).
Soit \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
a) Montre que \(f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\).
b) Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\).
c) Quels sont le maximum et le minimum de \(f\) ?
a) \(f'(x) = \dfrac{1 \times (x^2 + 1) - x \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\) ✓
b) Le dénominateur est positif. \(1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)\) est positif entre ses racines \(-1\) et \(1\) (coefficient de \(x^2\) négatif).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | ↘ | \(-\dfrac{1}{2}\) | ↗ | \(\dfrac{1}{2}\) | ↘ |
c) Maximum \(\mathbf{\dfrac{1}{2}}\) en \(x = 1\) ; minimum \(\mathbf{-\dfrac{1}{2}}\) en \(x = -1\). (Pour \(x > 1\), \(f(x) > 0\) reste inférieur à \(\dfrac{1}{2}\) ; de même à gauche de \(-1\).)
L'approximation affine de \(f\) près de \(a\) est \(f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h\).
a) Avec \(f(x) = \sqrt{x}\) et \(a = 4\), donne une valeur approchée de \(\sqrt{4{,}1}\).
b) Avec \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(a = 1\), donne une valeur approchée de \(\dfrac{1}{1{,}02}\).
c) Compare avec les valeurs données par la calculatrice.
a) \(f(4) = 2\), \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), \(f'(4) = \dfrac{1}{4}\). Avec \(h = 0{,}1\) : \(\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \dfrac{0{,}1}{4} = \mathbf{2{,}025}\).
b) \(f(1) = 1\), \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\), \(f'(1) = -1\). Avec \(h = 0{,}02\) : \(\dfrac{1}{1{,}02} \approx 1 - 0{,}02 = \mathbf{0{,}98}\).
c) Calculatrice : \(\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}02485\) et \(\dfrac{1}{1{,}02} \approx 0{,}98039\). Les approximations sont très bonnes car \(h\) est petit.
On considère la parabole \(\mathcal{P}\) d'équation \(y = x^2\) et le point \(A(1 ; -3)\).
a) Montre que la tangente à \(\mathcal{P}\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y = 2ax - a^2\).
b) Détermine les valeurs de \(a\) pour lesquelles cette tangente passe par \(A\).
c) Donne les équations des tangentes à \(\mathcal{P}\) passant par \(A\).
a) \(f(x) = x^2\), \(f'(a) = 2a\) : \(y = 2a(x - a) + a^2 = \mathbf{2ax - a^2}\).
b) \(A\) est sur la tangente si \(-3 = 2a \times 1 - a^2\), soit \(a^2 - 2a - 3 = 0\). \(\Delta = 4 + 12 = 16\) : \(a = \dfrac{2 - 4}{2} = \mathbf{-1}\) ou \(a = \dfrac{2 + 4}{2} = \mathbf{3}\).
c) Pour \(a = 3\) : \(\mathbf{y = 6x - 9}\) ; pour \(a = -1\) : \(\mathbf{y = -2x - 1}\).
🔍 Vérification : \(6 - 9 = -3\) ✓ et \(-2 - 1 = -3\) ✓
Le coût de fabrication de \(q\) objets (\(q > 0\)) est \(C(q) = q^2 + 10q + 900\) euros. Le coût moyen par objet est \(C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}\).
a) Montre que \(C_M(q) = q + 10 + \dfrac{900}{q}\).
b) Calcule \(C_M'(q)\) et étudie son signe.
c) Pour quelle production le coût moyen est-il minimal ? Que vaut-il ?
a) \(\dfrac{q^2 + 10q + 900}{q} = q + 10 + \dfrac{900}{q}\) ✓
b) \(C_M'(q) = 1 - \dfrac{900}{q^2} = \dfrac{q^2 - 900}{q^2} = \dfrac{(q - 30)(q + 30)}{q^2}\). Pour \(q > 0\), il est du signe de \(q - 30\) : négatif sur \(]0 ; 30[\), positif sur \(]30 ; +\infty[\).
c) \(C_M\) est décroissante puis croissante : minimum pour \(\mathbf{q = 30}\) objets, avec \(C_M(30) = 30 + 10 + 30 = \mathbf{70}\) € par objet.
Une boîte rectangulaire sans couvercle est fabriquée à partir d'un carré de côté \(12\) cm en découpant des carrés de côté \(x\) dans les 4 coins et en repliant.
a) Exprime le volume \(V(x)\) en fonction de \(x\).
b) Détermine le domaine de \(x\).
c) Calcule \(V'(x)\) et trouve le maximum.
d) Quel est le volume maximum ?
modéliser le volume, fixer le domaine, dériver et chercher le maximum.
a) Volume (base carrée \(12-2x\), hauteur \(x\)) \[V(x) = x(12-2x)^2 = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x\]
b) Domaine (il faut \(x>0\) et \(12-2x>0\)) \[\boxed{0 < x < 6}\]
c) Dérivée et maximum \[V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2-8x+12) = 12(x-2)(x-6)\] Sur \(]0;6[\), seul \(x=2\) annule \(V'\), et \(V'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(x=2\) → maximum.
d) Volume maximal \[V(2) = 4(8) - 48(4) + 144(2) = 32 - 192 + 288 = \boxed{128 \text{ cm}^3}\]
🔍 Vérification directe : \(V(2) = 2\times(12-4)^2 = 2\times 64 = 128\) cm³ ✓