Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f' = f\) et \(f(0) = 1\). C'est la fonction exponentielle, notée \(\exp\). On note \(\exp(x) = e^x\), où \(e = \exp(1) \approx 2{,}718\).
Pour tous réels \(a\) et \(b\), et tout entier \(n\), \[e^{a + b} = e^a \times e^b \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad e^{a - b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad (e^a)^n = e^{na}\] Ce sont les mêmes règles que pour les puissances.
\(\dfrac{e^{5x} \times e^{-x}}{e^{2x}} = e^{5x - x - 2x} = e^{2x}\).
Pour un réel \(a\), la suite \(u_n = e^{na} = (e^a)^n\) est géométrique de raison \(e^a\).
(car \(\exp\) est strictement croissante) : pour tous réels \(a\) et \(b\), \[e^a = e^b \iff a = b \qquad e^a < e^b \iff a < b\]
\(e^{3x - 1} = e^{x + 5} \iff 3x - 1 = x + 5 \iff x = 3\). Et \(e^{2x} \leqslant e \iff 2x \leqslant 1 \iff x \leqslant \dfrac{1}{2}\).
\(e^x = 0\) n'a aucune solution, car \(e^x > 0\). Ainsi, un produit \(A(x) \times e^x\) est nul si et seulement si \(A(x) = 0\), et il a le signe de \(A(x)\).
\(\left(e^{ax + b}\right)' = a\,e^{ax + b}\). Exemples : \((e^{-x})' = -e^{-x}\) ; \(\left(e^{0{,}3t}\right)' = 0{,}3\,e^{0{,}3t}\).
Produit, \(f'(x) = 1 \times e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x\). Comme \(e^x > 0\), \(f'(x)\) a le signe de \(x + 2\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty ; -2]\) puis croît sur \([-2 ; +\infty[\).
Avec \(k > 0\), \(t \mapsto e^{kt}\) modélise une croissance exponentielle et \(t \mapsto e^{-kt}\) une décroissance exponentielle (radioactivité, médicaments…). En passant de \(t\) à \(t + 1\), on multiplie par \(e^{k}\) (ou par \(e^{-k}\)).
Contenu facultatif, non exigible.
En terminale, la fonction logarithme permettra de résoudre des équations comme \(e^x = 2\), et tu étudieras les limites de l'exponentielle.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Définition | \(\exp' = \exp\) et \(\exp(0) = 1\) |
| Signe | \(e^x > 0\) pour tout \(x\) |
| Variations | Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) |
| Algèbre | \(e^{a + b} = e^a e^b\), \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\), \((e^a)^n = e^{na}\) |
| Équations | \(e^a = e^b \iff a = b\) ; \(e^a < e^b \iff a < b\) |
| Dérivée | \((e^{ax + b})' = a\,e^{ax + b}\) |
Écris sous la forme \(e^{\ldots}\) :
a) \(e^{2x} \times e^{3x}\) \(\quad\)
b) \(\dfrac{e^{5x}}{e^{2x}}\) \(\quad\)
c) \((e^x)^3\) \(\quad\)
d) \(e^{-x} \times e^{x + 2}\)
🎯 On additionne ou on soustrait les exposants, comme pour les puissances.
a) \(\mathbf{e^{5x}}\) \(\quad\) b) \(e^{5x - 2x} = \mathbf{e^{3x}}\) \(\quad\) c) \(\mathbf{e^{3x}}\) \(\quad\) d) \(e^{-x + x + 2} = \mathbf{e^2}\)
Calcule la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = e^{4x}\) \(\quad\)
b) \(g(x) = e^{-2x + 1}\) \(\quad\)
c) \(h(x) = 3e^x - x^2\) \(\quad\)
d) \(k(x) = (x + 1)e^x\)
a) \(f'(x) = \mathbf{4e^{4x}}\).
b) \(g'(x) = \mathbf{-2e^{-2x + 1}}\).
c) \(h'(x) = \mathbf{3e^x - 2x}\).
d) Produit : \(k'(x) = 1 \times e^x + (x + 1)e^x = \mathbf{(x + 2)e^x}\).
Résous dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(e^{2x} = e^{x + 3}\) \(\quad\)
b) \(e^x = 1\) \(\quad\)
c) \(e^{3x - 1} > e^{x + 5}\)
a) \(2x = x + 3\), donc \(\mathbf{x = 3}\).
b) \(e^x = e^0\), donc \(\mathbf{x = 0}\).
c) La fonction exponentielle est strictement croissante : \(3x - 1 > x + 5\), soit \(2x > 6\), \(\mathbf{x > 3}\). \(S = \;]3 ; +\infty[\).
Étudie le signe de \(f(x) = (x - 2)e^x\) sur \(\mathbb{R}\).
\(e^x > 0\) pour tout \(x\), donc \(f(x)\) a le signe de \(x - 2\) : \(f(x) < 0\) sur \(]-\infty ; 2[\), \(f(2) = 0\), \(f(x) > 0\) sur \(]2 ; +\infty[\).
a) Donne une valeur approchée au centième de \(e\), \(e^{-1}\) et \(e^2\).
b) Sans calculatrice, compare \(e^{0{,}5}\) et \(e^{0{,}3}\), puis \(e^{-2}\) et \(1\).
a) \(e \approx \mathbf{2{,}72}\) ; \(e^{-1} \approx \mathbf{0{,}37}\) ; \(e^2 \approx \mathbf{7{,}39}\).
b) \(0{,}5 > 0{,}3\) et \(\exp\) est croissante : \(\mathbf{e^{0{,}5} > e^{0{,}3}}\). De même \(-2 < 0\) donne \(e^{-2} < e^0 = 1\).
Soit \(u_n = e^{0{,}2n}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
a) Montre que \((u_n)\) est géométrique et donne sa raison (au millième).
b) Est-elle croissante ou décroissante ?
a) \(u_{n+1} = e^{0{,}2(n + 1)} = e^{0{,}2n} \times e^{0{,}2} = e^{0{,}2} \times u_n\) : suite géométrique de raison \(q = e^{0{,}2} \approx \mathbf{1{,}221}\).
b) \(q > 1\) et \(u_0 = 1 > 0\) : la suite est croissante.
Écris sous la forme \(e^{k}\) ou d'un nombre :
a) \(e^3 \times e^5\) \(\quad\)
b) \((e^2)^3\) \(\quad\)
c) \(\dfrac{e^7}{e^4}\) \(\quad\)
d) \(e^x \times e^{-x}\)
a) \(\mathbf{e^8}\) ; b) \(\mathbf{e^6}\) ; c) \(\mathbf{e^3}\) ; d) \(e^0 = \mathbf{1}\).
Dérive :
a) \(e^{3x}\) \(\quad\)
b) \(x e^x\) \(\quad\)
c) \(e^{-2x + 1}\)
🎯 \((e^{ax + b})' = a\,e^{ax + b}\).
a) \(\mathbf{3e^{3x}}\) ; b) \(e^x + xe^x = \mathbf{(x + 1)e^x}\) ; c) \(\mathbf{-2e^{-2x + 1}}\).
Résous :
a) \(e^{2x - 1} = e^{x + 3}\) \(\quad\)
b) \(e^x = 1\)
a) \(e^a = e^b \iff a = b\) : \(2x - 1 = x + 3\), \(x = \mathbf{4}\). b) \(e^x = e^0\) : \(x = \mathbf{0}\).
Résous :
a) \(e^{3x} > e^6\) \(\quad\)
b) \(e^{-x} \leqslant 1\)
a) \(3x > 6\), \(\mathbf{x > 2}\). b) \(e^{-x} \leqslant e^0 \iff -x \leqslant 0 \iff \mathbf{x \geqslant 0}\).
Étudie le signe de \((x - 2)e^x\).
\(e^x > 0\) pour tout \(x\) : le signe est celui de \(x - 2\). Négatif pour \(x < 2\), nul en \(2\), positif pour \(x > 2\).
Soit \(f(x) = xe^x\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calcule \(f'(x)\).
b) Étudie son signe et dresse le tableau de variations de \(f\).
c) Donne le minimum de \(f\) (valeur exacte et approchée).
a) \(f'(x) = 1 \times e^x + x e^x = \mathbf{(x + 1)e^x}\).
b) \(f'(x)\) a le signe de \(x + 1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | ↘ | \(-e^{-1}\) | ↗ |
c) Minimum : \(f(-1) = -e^{-1} = -\dfrac{1}{e} \approx \mathbf{-0{,}37}\).
Soit \(g(x) = e^{-x}\).
a) Calcule \(g'(x)\) et déduis-en le sens de variation de \(g\).
b) Détermine l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse \(0\).
a) \(g'(x) = -e^{-x} < 0\) : \(g\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
b) \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = -1\) : \(\mathbf{y = -x + 1}\).
a) Détermine l'équation de la tangente à la courbe de \(\exp\) au point d'abscisse \(0\).
b) Déduis-en une valeur approchée de \(e^{0{,}1}\), et compare avec la calculatrice.
a) \(\exp(0) = 1\) et \(\exp'(0) = e^0 = 1\) : \(\mathbf{y = x + 1}\).
b) \(e^{0{,}1} \approx 0{,}1 + 1 = \mathbf{1{,}1}\). La calculatrice donne \(1{,}10517\ldots\) : très bonne approximation.
Résous dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(e^{x^2} \geqslant e^4\) \(\quad\)
b) \(e^{2x} - e \leqslant 0\)
a) \(x^2 \geqslant 4\), soit \(x \leqslant -2\) ou \(x \geqslant 2\) : \(S = \;\mathbf{]-\infty ; -2] \cup [2 ; +\infty[}\).
b) \(e^{2x} \leqslant e^1\), soit \(2x \leqslant 1\) : \(S = \;\mathbf{]-\infty ; \tfrac{1}{2}]}\).
On veut résoudre \(e^{2x} - (1 + e)e^x + e = 0\).
a) On pose \(X = e^x\). Montre que l'équation devient \(X^2 - (1 + e)X + e = 0\).
b) Vérifie que \(1\) et \(e\) sont solutions de cette équation en \(X\).
c) Déduis-en les solutions de l'équation de départ.
a) \(e^{2x} = (e^x)^2 = X^2\) : l'équation devient \(X^2 - (1 + e)X + e = 0\) ✓
b) \(1 - (1 + e) + e = 0\) ✓ et \(e^2 - (1 + e)e + e = e^2 - e - e^2 + e = 0\) ✓
c) \(e^x = 1\) donne \(x = 0\) ; \(e^x = e\) donne \(x = 1\). \(S = \{\mathbf{0 ; 1}\}\).
Résous \((x^2 - 1)e^x = 0\), puis \((x^2 - 1)e^x < 0\).
\(e^x \ne 0\), donc \((x^2 - 1)e^x = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = \mathbf{1}\) ou \(x = \mathbf{-1}\). Le produit a le signe de \(x^2 - 1\) : il est strictement négatif pour \(x \in \;\mathbf{]-1 ; 1[}\).
Soit \(f(x) = (2 - x)e^x\).
a) Montre que \(f'(x) = (1 - x)e^x\).
b) Dresse le tableau de variations de \(f\) et donne son maximum.
a) \(f'(x) = -1 \times e^x + (2 - x)e^x = (1 - x)e^x\) ✓
b) \(f'(x)\) a le signe de \(1 - x\) : positif sur \(]-\infty ; 1[\), négatif sur \(]1 ; +\infty[\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | \(e\) | ↘ |
Maximum : \(f(1) = \mathbf{e} \approx 2{,}72\).
Une population de bactéries compte \(P(t) = 5\,000\,e^{0{,}3t}\) individus au bout de \(t\) heures.
a) Calcule \(P(0)\) et \(P(2)\) (à l'unité).
b) Montre que \(\dfrac{P(t + 1)}{P(t)} = e^{0{,}3}\). Interprète en pourcentage.
a) \(P(0) = \mathbf{5\,000}\) ; \(P(2) = 5\,000\,e^{0{,}6} \approx \mathbf{9\,111}\).
b) \(\dfrac{P(t + 1)}{P(t)} = \dfrac{e^{0{,}3t + 0{,}3}}{e^{0{,}3t}} = e^{0{,}3} \approx 1{,}35\) : la population augmente d'environ \(35\,\%\) par heure.
Montre que la suite \(u_n = e^{0{,}5n}\) est géométrique et donne sa raison (valeur exacte et approchée).
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{e^{0{,}5(n+1)}}{e^{0{,}5n}} = e^{0{,}5}\) : suite géométrique de raison \(\mathbf{q = e^{0{,}5} \approx 1{,}649}\).
Étudie les variations de \(f(x) = (2x - 1)e^x\) et donne son minimum.
\(f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x\), du signe de \(2x + 1\). \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty ; -\dfrac{1}{2}\right]\), croissante sur \(\left[-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[\). Minimum : \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -2e^{-1/2} \approx \mathbf{-1{,}21}\).
Donne l'équation de la tangente en \(0\) à la courbe de \(x \mapsto e^x\) et déduis-en une valeur approchée de \(e^{0{,}1}\).
\(y = e^0(x - 0) + e^0\), soit \(\mathbf{y = x + 1}\). Donc \(e^{0{,}1} \approx \mathbf{1{,}1}\) (valeur exacte \(\approx 1{,}105\)).
Résous \(e^{2x} - (e + 1)e^x + e = 0\) en posant \(X = e^x\).
\(X^2 - (e + 1)X + e = 0 \iff (X - 1)(X - e) = 0\) : \(X = 1\) ou \(X = e\). \(e^x = 1 \iff x = 0\) ; \(e^x = e \iff x = 1\). \(\mathcal{S} = \mathbf{\{0 ; 1\}}\).
La concentration d'un médicament dans le sang est \(C(t) = 10e^{-0{,}2t}\) (en mg/L, \(t\) en heures).
a) Calcule \(C(0)\) et \(C(5)\).
b) Montre que \(C\) est décroissante.
a) \(C(0) = \mathbf{10}\) mg/L ; \(C(5) = 10e^{-1} \approx \mathbf{3{,}68}\) mg/L.
b) \(C'(t) = 10 \times (-0{,}2)e^{-0{,}2t} = -2e^{-0{,}2t} < 0\) : \(C\) est décroissante.
Une substance radioactive se désintègre selon \(M(t) = 100\,e^{-0{,}05t}\) (\(M\) en g, \(t\) en années).
a) Quelle masse reste-t-il au bout de \(10\) ans (au centigramme) ?
b) Justifie que \(M\) est décroissante.
c) À l'aide de la calculatrice (tableau de valeurs), détermine au dixième d'année près au bout de combien de temps la masse a diminué de moitié.
a) \(M(10) = 100\,e^{-0{,}5} \approx \mathbf{60{,}65}\) g.
b) \(M'(t) = 100 \times (-0{,}05)e^{-0{,}05t} = -5e^{-0{,}05t} < 0\) : \(M\) est décroissante.
c) On cherche \(t\) tel que \(M(t) = 50\). Avec un tableau de valeurs : \(M(13{,}8) \approx 50{,}16\) et \(M(13{,}9) \approx 49{,}91\). La demi-vie est d'environ \(13{,}9\) ans.
Contenu facultatif, non exigible.
En terminale, on la calculera exactement : \(t = \dfrac{\ln 2}{0{,}05} \approx 13{,}86\).
Soit \(f(x) = e^x - x - 1\).
a) Étudie les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Déduis-en que pour tout réel \(x\), \(e^x \geqslant x + 1\). Interprète graphiquement.
a) \(f'(x) = e^x - 1\). Comme \(\exp\) est strictement croissante, \(e^x - 1 < 0\) pour \(x < 0\) et \(> 0\) pour \(x > 0\). \(f\) décroît sur \(]-\infty ; 0]\), croît sur \([0 ; +\infty[\) ; minimum \(f(0) = 1 - 0 - 1 = 0\).
b) Donc \(f(x) \geqslant 0\), soit \(e^x \geqslant x + 1\) pour tout \(x\). La courbe de \(\exp\) est au-dessus de sa tangente en \(0\), la droite \(y = x + 1\).
Soit \(f(x) = xe^{-x}\) sur \([0 ; +\infty[\).
a) Montre que \(f'(x) = (1 - x)e^{-x}\).
b) Déduis-en le maximum de \(f\) sur \([0 ; +\infty[\).
a) \(f'(x) = 1 \times e^{-x} + x \times (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x}\) ✓
b) \(f'\) a le signe de \(1 - x\) : \(f\) croît sur \([0 ; 1]\) et décroît sur \([1 ; +\infty[\). Maximum : \(f(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx \mathbf{0{,}37}\).
Soit \(g(x) = e^x + e^{-x}\).
a) Montre que \(g\) est paire.
b) Calcule \(g'(x)\) et montre que \(g'(x) \geqslant 0\) pour \(x \geqslant 0\).
c) Déduis-en le minimum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
a) \(g(-x) = e^{-x} + e^{x} = g(x)\) sur \(\mathbb{R}\) : \(g\) est paire.
b) \(g'(x) = e^x - e^{-x}\). Pour \(x \geqslant 0\), \(x \geqslant -x\), donc \(e^x \geqslant e^{-x}\) (croissance de \(\exp\)) : \(g'(x) \geqslant 0\).
c) \(g\) est croissante sur \([0 ; +\infty[\) et, par parité, décroissante sur \(]-\infty ; 0]\). Minimum : \(g(0) = 1 + 1 = \mathbf{2}\).
Soit \(u_n = e^{-0{,}5n}\).
a) Montre que \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = e^{-0{,}5}\).
b) Calcule \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_9\) (au centième).
a) \(u_{n+1} = e^{-0{,}5(n + 1)} = e^{-0{,}5} \times u_n\) : géométrique de raison \(q = e^{-0{,}5}\) et de premier terme \(u_0 = 1\).
b) \(S = \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} = \dfrac{1 - e^{-5}}{1 - e^{-0{,}5}} \approx \mathbf{2{,}52}\).
La concentration d'un médicament dans le sang est \(C(t) = 20\,t\,e^{-0{,}5t}\) (en mg/L), \(t\) heures après la prise (\(t \geqslant 0\)).
a) Montre que \(C'(t) = 20e^{-0{,}5t}(1 - 0{,}5t)\).
b) Dresse le tableau de variations de \(C\) sur \([0 ; +\infty[\). Quelle est la concentration maximale ?
c) Le médicament est efficace quand \(C(t) \geqslant 10\). À l'aide de la calculatrice, détermine (au centième d'heure) la période d'efficacité.
a) Produit \(20t \times e^{-0{,}5t}\) : \(C'(t) = 20e^{-0{,}5t} + 20t \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = 20e^{-0{,}5t}(1 - 0{,}5t)\) ✓
b) \(C'(t)\) a le signe de \(1 - 0{,}5t\) : positif sur \([0 ; 2[\), négatif sur \(]2 ; +\infty[\).
| \(t\) | \(0\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(t)\) | \(0\) | ↗ | \(40e^{-1}\) | ↘ |
Concentration maximale : \(C(2) = 40e^{-1} \approx \mathbf{14{,}72}\) mg/L, deux heures après la prise.
c) Avec un tableau de valeurs : \(C(0{,}71) < 10 \leqslant C(0{,}72)\) et \(C(4{,}30) \geqslant 10 > C(4{,}31)\). Le médicament est efficace environ de \(0{,}72\) h à \(4{,}30\) h après la prise, soit pendant environ \(3{,}6\) heures.