Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé.
Un vecteur \(\vec{n}\) non nul est normal à une droite \(d\) s'il est orthogonal à un vecteur directeur de \(d\).
La droite passant par \(A(x_A ; y_A)\) et de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\). Elle a une équation de la forme \[ax + by + c = 0\] Réciproquement, la droite d'équation \(ax + by + c = 0\) admet \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) pour vecteur normal (et \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) pour vecteur directeur).
Droite passant par \(A(1 ; 2)\) de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) : \(3(x - 1) - (y - 2) = 0\), soit \(3x - y - 1 = 0\).
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux (ou directeurs) sont orthogonaux.
La hauteur d'un triangle issue de \(C\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\) ; la médiatrice de \([AB]\) passe par le milieu de \([AB]\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\).
Le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \(d\) est le point \(H\) de \(d\) tel que \((AH) \perp d\). La distance \(AH\) est la plus courte distance de \(A\) à un point de \(d\).
On écrit les coordonnées d'un point \(H\) quelconque de \(d\) en fonction d'un paramètre, puis on impose \(\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = 0\), où \(\vec{u}\) dirige \(d\).
Le cercle de centre \(\Omega(a ; b)\) et de rayon \(r\) a pour équation \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\] (c'est la traduction de \(\Omega M^2 = r^2\)).
À partir de \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\), on complète les carrés : \((x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0\), soit \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\). C'est le cercle de centre \((3 ; -2)\) et de rayon \(4\).
C'est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
La tangente au cercle de centre \(\Omega\) en un point \(M\) est la droite passant par \(M\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega M}\).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Vecteur normal | \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) normal à \(ax + by + c = 0\) |
| Droite par \(A\), normale \(\vec{n}\) | \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\) |
| Perpendiculaires | Vecteurs normaux orthogonaux |
| Projeté \(H\) de \(A\) sur \(d\) | \(H \in d\) et \(\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = 0\) |
| Cercle | \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) |
| Diamètre \([AB]\) | \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) |
| Tangente en \(M\) | Vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega M}\) |
Donne une équation du cercle :
a) de centre \(O(0 ; 0)\) et de rayon \(4\) ;
b) de centre \((2 ; -3)\) et de rayon \(5\) ;
c) de centre \((-1 ; 0)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).
a) \(\mathbf{x^2 + y^2 = 16}\) \(\quad\) b) \(\mathbf{(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25}\) \(\quad\) c) \(\mathbf{(x + 1)^2 + y^2 = 2}\)
Le point \(P(1 ; -2)\) est-il sur le cercle d'équation \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10\) ?
\((1 - 2)^2 + (-2 + 1)^2 = 1 + 1 = 2 \ne 10\) : non, \(P\) n'est pas sur le cercle (il est à l'intérieur, car \(2 < 10\)).
Détermine le centre et le rayon du cercle d'équation \((x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25\).
\((x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 5^2\) : centre \(\mathbf{(-3 ; 1)}\), rayon \(\mathbf{5}\).
Soit \(d : 2x + 5y - 3 = 0\).
a) Donne un vecteur normal et un vecteur directeur de \(d\).
b) Le point \(A(-1 ; 1)\) est-il sur \(d\) ?
a) \(\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) est normal, \(\vec{u}\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}\) est directeur (\(\vec{n} \cdot \vec{u} = -10 + 10 = 0\) ✓).
b) \(2 \times (-1) + 5 \times 1 - 3 = 0\) : oui.
Détermine une équation de la droite passant par \(A(1 ; 2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\) : \(3(x - 1) - 1 \times (y - 2) = 0\), soit \(\mathbf{3x - y - 1 = 0}\). Vérification : \(3 - 2 - 1 = 0\) ✓
Détermine une équation du cercle de centre \(\Omega(2 ; 1)\) passant par \(A(5 ; 5)\).
\(r = \Omega A = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) : \(\mathbf{(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25}\).
Écris une équation du cercle de centre \(\Omega(2 ; -3)\) et de rayon \(4\).
🎯 Cercle de centre \((a ; b)\) et de rayon \(r\) : \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
\(\mathbf{(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16}\).
Le point \(A(5 ; 1)\) appartient-il au cercle d'équation \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\) ?
\((5 - 1)^2 + (1 + 2)^2 = 16 + 9 = 25\) : oui.
Détermine le centre et le rayon du cercle d'équation \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\).
\((x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 3 = 0 \iff (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\). Centre \(\mathbf{(2 ; -3)}\), rayon \(\mathbf{4}\).
Donne un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite \(2x - 5y + 1 = 0\).
\(ax + by + c = 0\) a pour vecteur normal \((a ; b)\) et pour vecteur directeur \((-b ; a)\) : \(\vec{n}\mathbf{(2 ; -5)}\), \(\vec{u}\mathbf{(5 ; 2)}\).
Détermine une équation de la droite passant par \(A(2 ; 5)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(3 ; -1)\).
\(3x - y + c = 0\) ; avec \(A\) : \(6 - 5 + c = 0\), \(c = -1\). \(\mathbf{3x - y - 1 = 0}\).
L'équation \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\) est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donne son centre et son rayon.
\(x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9\) et \(y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4\) : \[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 9 - 4 - 3 = 0 \iff (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\] Oui : cercle de centre \(\mathbf{(3 ; -2)}\) et de rayon \(\mathbf{4}\).
On donne \(A(-2 ; 0)\) et \(B(2 ; 0)\).
a) Donne une équation du cercle de diamètre \([AB]\).
b) Le point \(C(0 ; 2)\) est-il sur ce cercle ?
c) Vérifie que \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0\). Interprète.
a) Centre \(O\) (milieu de \([AB]\)), rayon \(2\) : \(\mathbf{x^2 + y^2 = 4}\).
b) \(0 + 4 = 4\) : oui.
c) \(\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) : \(-4 + 4 = 0\). Le triangle \(ACB\) est rectangle en \(C\) : un triangle inscrit dans un cercle avec un côté pour diamètre est rectangle.
Détermine une équation de la tangente au cercle d'équation \(x^2 + y^2 = 25\) au point \(P(3 ; 4)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{OP}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) est normal à la tangente en \(P\) : \[3(x - 3) + 4(y - 4) = 0 \qquad \mathbf{3x + 4y - 25 = 0}\]
On donne \(d_1 : 2x - y + 1 = 0\) et \(d_2 : x + 2y - 4 = 0\).
a) Montre que \(d_1\) et \(d_2\) sont perpendiculaires.
b) Détermine leur point d'intersection.
a) Vecteurs normaux \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) : produit scalaire \(2 - 2 = 0\). Les droites sont perpendiculaires.
b) \(d_1\) donne \(y = 2x + 1\) ; dans \(d_2\) : \(x + 4x + 2 - 4 = 0\), donc \(x = \dfrac{2}{5}\) et \(y = \dfrac{9}{5}\). Intersection : \(\mathbf{\left(\dfrac{2}{5} ; \dfrac{9}{5}\right)}\).
Soit \(d\) la droite d'équation \(y = x\) et \(A(5 ; 0)\).
a) Un point de \(d\) s'écrit \(H(t ; t)\). Exprime \(\overrightarrow{AH}\) en fonction de \(t\).
b) Détermine \(t\) pour que \(\overrightarrow{AH}\) soit orthogonal à \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).
c) Déduis-en le projeté orthogonal de \(A\) sur \(d\) et la distance de \(A\) à \(d\).
a) \(\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} t - 5 \\ t \end{pmatrix}\).
b) \(\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = (t - 5) + t = 2t - 5 = 0\), donc \(t = \mathbf{2{,}5}\).
c) \(H(2{,}5 ; 2{,}5)\) et \(AH = \sqrt{2{,}5^2 + 2{,}5^2} = \sqrt{12{,}5} \approx \mathbf{3{,}54}\).
On donne \(A(0 ; 0)\), \(B(4 ; 2)\) et \(C(1 ; 5)\). Détermine une équation de la hauteur issue de \(C\) dans le triangle \(ABC\).
La hauteur issue de \(C\) est perpendiculaire à \((AB)\) : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal. \[4(x - 1) + 2(y - 5) = 0 \qquad 4x + 2y - 14 = 0 \qquad \mathbf{2x + y - 7 = 0}\]
On donne \(A(1 ; 3)\) et \(B(5 ; -1)\). Détermine une équation de la médiatrice de \([AB]\) en utilisant un vecteur normal.
Milieu \(I(3 ; 1)\) ; vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) : \[4(x - 3) - 4(y - 1) = 0 \qquad \mathbf{x - y - 2 = 0}\] (On retrouve le résultat obtenu en 2de avec \(MA^2 = MB^2\).)
On considère la droite \(d : y = x + 1\) et le cercle \(\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 5\).
a) Montre que les abscisses des points communs vérifient \(x^2 + x - 2 = 0\).
b) Déduis-en les points d'intersection.
a) \(x^2 + (x + 1)^2 = 5\), soit \(2x^2 + 2x - 4 = 0\), puis \(x^2 + x - 2 = 0\).
b) \(\Delta = 1 + 8 = 9\) : \(x = 1\) ou \(x = -2\). Points d'intersection : \(\mathbf{(1 ; 2)}\) et \(\mathbf{(-2 ; -1)}\) (la droite est sécante au cercle).
Soient \(A(1 ; 2)\) et \(B(5 ; 6)\). Détermine une équation du cercle de diamètre \([AB]\).
Centre : milieu \((3 ; 4)\) ; rayon : \(\dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{16 + 16}}{2} = 2\sqrt{2}\), donc \(r^2 = 8\). \(\mathbf{(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 8}\).
Le cercle \(\mathcal{C}\) a pour centre \(\Omega(1 ; 2)\) et passe par \(A(4 ; 6)\). Détermine une équation de la tangente à \(\mathcal{C}\) en \(A\).
La tangente en \(A\) est perpendiculaire au rayon : \(\overrightarrow{\Omega A}(3 ; 4)\) est normal. \(3x + 4y + c = 0\) ; avec \(A\) : \(12 + 24 + c = 0\), \(c = -36\). \(\mathbf{3x + 4y - 36 = 0}\).
Les droites \(2x + 3y - 1 = 0\) et \(3x - 2y + 5 = 0\) sont-elles perpendiculaires ?
Vecteurs normaux \((2 ; 3)\) et \((3 ; -2)\) : \(6 - 6 = 0\). Oui, perpendiculaires.
Détermine le projeté orthogonal \(H\) du point \(M(4 ; 0)\) sur la droite \(d : x - y = 0\).
\(d\) est dirigée par \(\vec{u}(1 ; 1)\). \(H(t ; t)\) avec \(\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0\) : \((t - 4) + t = 0\), \(t = 2\). \(\mathbf{H(2 ; 2)}\).
Détermine les points d'intersection du cercle \(x^2 + y^2 = 25\) et de la droite \(y = x + 1\).
\(x^2 + (x + 1)^2 = 25 \iff 2x^2 + 2x - 24 = 0 \iff x^2 + x - 12 = 0 \iff (x - 3)(x + 4) = 0\). Points : \(\mathbf{(3 ; 4)}\) et \(\mathbf{(-4 ; -3)}\). 🔍 \(9 + 16 = 25\) ✓
Détermine les coordonnées des points d'intersection de la droite \(y = x - 1\) et du cercle d'équation \((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 8\).
On remplace \(y\) par \(x - 1\) : \((x - 1)^2 + x^2 = 8\), soit \(2x^2 - 2x - 7 = 0\). \(\Delta = 4 + 56 = 60\) : \(x = \dfrac{2 \pm \sqrt{60}}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{15}}{2}\). Points : \(\mathbf{\left(\dfrac{1 + \sqrt{15}}{2} ; \dfrac{-1 + \sqrt{15}}{2}\right)}\) et \(\mathbf{\left(\dfrac{1 - \sqrt{15}}{2} ; \dfrac{-1 - \sqrt{15}}{2}\right)}\), soit environ \((2{,}44 ; 1{,}44)\) et \((-1{,}44 ; -2{,}44)\).
On cherche les tangentes au cercle \(\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 4\) passant par \(P(4 ; 0)\).
a) Le point de contact \(T\) vérifie \(\overrightarrow{OT} \cdot \overrightarrow{PT} = 0\). Justifie.
b) Montre que \(T\) est sur le cercle de diamètre \([OP]\), d'équation \((x - 2)^2 + y^2 = 4\).
c) Déduis-en les coordonnées des points de contact, puis les équations des tangentes.
a) La tangente en \(T\) est perpendiculaire au rayon \([OT]\) et passe par \(P\) : \(\overrightarrow{OT} \perp \overrightarrow{PT}\).
b) \(\overrightarrow{TO} \cdot \overrightarrow{TP} = 0\) : \(T\) est sur le cercle de diamètre \([OP]\), de centre \((2 ; 0)\) et de rayon \(2\), d'équation \((x - 2)^2 + y^2 = 4\).
c) On soustrait les équations \(x^2 + y^2 = 4\) et \(x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4\) : \(4x - 4 = 0\), \(x = 1\), puis \(y^2 = 3\). Points de contact : \(T_1(1 ; \sqrt{3})\) et \(T_2(1 ; -\sqrt{3})\). Tangentes \((PT_1)\) : pente \(\dfrac{\sqrt{3}}{1 - 4} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), donc \(\mathbf{y = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x - 4)}\) ; et par symétrie \(\mathbf{y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x - 4)}\).
On donne \(A(a ; 0)\) et \(B(-a ; 0)\) avec \(a > 0\), et un réel \(k\). Détermine l'ensemble des points \(M(x ; y)\) tels que \(MA^2 + MB^2 = k\), selon les valeurs de \(k\).
\(MA^2 + MB^2 = (x - a)^2 + y^2 + (x + a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2\). La condition s'écrit \(x^2 + y^2 = \dfrac{k - 2a^2}{2}\).
Détermine les points communs aux cercles \(\mathcal{C}_1 : x^2 + y^2 = 25\) et \(\mathcal{C}_2 : (x - 3)^2 + y^2 = 16\).
En soustrayant : \(x^2 - (x - 3)^2 = 25 - 16\), soit \(6x - 9 = 9\), donc \(x = 3\). Puis \(9 + y^2 = 25\), \(y = \pm 4\). Points communs : \(\mathbf{(3 ; 4)}\) et \(\mathbf{(3 ; -4)}\).
On donne \(A(0 ; 0)\), \(B(4 ; 0)\) et \(C(5 ; 3)\). On cherche le centre \(\Omega(\alpha ; \beta)\) du cercle passant par \(A\), \(B\) et \(C\).
a) En écrivant \(\Omega A^2 = \Omega B^2\), montre que \(\alpha = 2\).
b) En écrivant \(\Omega A^2 = \Omega C^2\), détermine \(\beta\).
c) Donne une équation du cercle.
a) \(\alpha^2 + \beta^2 = (4 - \alpha)^2 + \beta^2\) donne \(0 = 16 - 8\alpha\), soit \(\alpha = 2\) ✓
b) \(4 + \beta^2 = (5 - 2)^2 + (3 - \beta)^2 = 9 + 9 - 6\beta + \beta^2\), soit \(6\beta = 14\), \(\beta = \mathbf{\dfrac{7}{3}}\).
c) \(r^2 = \Omega A^2 = 4 + \dfrac{49}{9} = \dfrac{85}{9}\) : \(\mathbf{(x - 2)^2 + \left(y - \dfrac{7}{3}\right)^2 = \dfrac{85}{9}}\). Vérification avec \(C\) : \(9 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{85}{9}\) ✓
On donne \(A(-1 ; 1)\), \(B(3 ; -1)\) et \(C(2 ; 2)\).
a) Montre que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).
b) Détermine une équation de son cercle circonscrit.
c) Détermine une équation de la tangente à ce cercle en \(C\).
d) Détermine une équation de \((AB)\), puis le projeté orthogonal \(H\) de \(C\) sur \((AB)\). Calcule l'aire du triangle de deux façons.
a) \(\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) : \(-3 + 3 = 0\), rectangle en \(C\) ✓
b) L'hypoténuse \([AB]\) est un diamètre : centre \(I(1 ; 0)\), rayon \(\dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}\). Équation : \(\mathbf{(x - 1)^2 + y^2 = 5}\) (et \(C\) : \(1 + 4 = 5\) ✓).
c) Vecteur normal \(\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) : \((x - 2) + 2(y - 2) = 0\), soit \(\mathbf{x + 2y - 6 = 0}\).
d) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) est directeur, donc \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) est normal : \((x + 1) + 2(y - 1) = 0\), soit \(x + 2y - 1 = 0\). \(H = C - t\,\vec{n} = (2 - t ; 2 - 2t)\) doit vérifier \((2 - t) + 2(2 - 2t) - 1 = 0\), soit \(5 - 5t = 0\), \(t = 1\) : \(\mathbf{H(1 ; 0)}\) (c'est \(I\) : le triangle est isocèle en \(C\)). Aire : \(\dfrac{AB \times CH}{2} = \dfrac{\sqrt{20} \times \sqrt{5}}{2} = \dfrac{10}{2} = \mathbf{5}\), et aussi \(\dfrac{CA \times CB}{2} = \dfrac{\sqrt{10} \times \sqrt{10}}{2} = 5\) ✓