2nde · Chapitre 2 · Calcul littéral et équations

Équations, inéquations et systèmes

30 exercices corrigés

1 Inéquations du premier degré

Rappel

On ne change pas les solutions d'une inéquation en ajoutant un même nombre aux deux membres, ou en les multipliant par un même nombre strictement positif. Si on multiplie (ou divise) par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité.

Exemple

$-2x + 1 > 5$ donne $-2x > 4$, puis $x < -2$ (on a divisé par $-2$). L'ensemble des solutions est l'intervalle $S = \;]-\infty ; -2[$.

2 Équations du type $x^2 = a$ et équations produit

L'équation $x^2 = a$

Si $a > 0$, deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ; si $a = 0$, une seule solution $0$ ; si $a < 0$, aucune solution.

Équation produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. $A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$

Méthode — résoudre en factorisant

On regroupe tout dans un membre pour obtenir « $= 0$ », on factorise (facteur commun, identité remarquable), puis on applique la propriété du produit nul. $(2x + 1)^2 = 9$ s'écrit $(2x + 1)^2 - 3^2 = 0$, soit $(2x - 2)(2x + 4) = 0$ : solutions $1$ et $-2$.

3 Équations quotient

À retenir

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul. $\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \text{ et } B \ne 0$

Méthode

On cherche d'abord la (ou les) valeur(s) interdite(s) qui annulent le dénominateur. On résout, puis on vérifie que les solutions trouvées ne sont pas interdites. $\dfrac{x + 2}{x - 1} = 3$ : valeur interdite $1$. Pour $x \ne 1$, l'équation équivaut à $x + 2 = 3(x - 1)$, soit $x = \dfrac{5}{2}$, qui n'est pas interdite.

4 Tableaux de signes

Le signe de $ax + b$ (avec $a \ne 0$) change en $x = -\dfrac{b}{a}$ : il est du signe de $a$ à droite de cette valeur, et du signe contraire à gauche.

Méthode — inéquation produit ou quotient

On étudie le signe de chaque facteur, on les rassemble dans un tableau de signes, et on applique la règle des signes.

Exemple

Signe de $(x + 1)(x - 3)$.

$x$		$-1$		$3$
$x + 1$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 3$	$-$		$-$	$0$	$+$
produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Donc $(x + 1)(x - 3) \leqslant 0$ pour $x \in [-1 ; 3]$.

Attention

Dans un quotient, la valeur interdite est marquée d'une double barre dans le tableau ; elle n'est jamais solution.

5 Systèmes de deux équations linéaires

Un système de deux équations à deux inconnues se résout par substitution (on exprime une inconnue en fonction de l'autre) ou par combinaison (on additionne les équations après les avoir multipliées pour éliminer une inconnue).

Exemple

$\begin{cases} x + y = 25 \\ 9x + 6y = 192 \end{cases}$. La première donne $y = 25 - x$ ; on remplace : $9x + 6(25 - x) = 192$, soit $3x = 42$, $x = 14$, puis $y = 11$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 1re, tu apprendras à résoudre toutes les équations du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ grâce au discriminant.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Inéquation	Multiplier ou diviser par un négatif change le sens
$x^2 = a$	$a > 0$ : $\pm\sqrt{a}$ ; $a = 0$ : $0$ ; $a < 0$ : pas de solution
Produit nul	$AB = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$
Quotient nul	$\dfrac{A}{B} = 0 \iff A = 0$ et $B \ne 0$
Signe de $ax + b$	Signe de $a$ à droite de $-\dfrac{b}{a}$
Système	Substitution ou combinaison

Pièges à éviter

Ne jamais diviser par une expression qui peut être nulle (on perd des solutions).
Toujours chercher les valeurs interdites avant de résoudre une équation quotient.
Un tableau de signes se lit colonne par colonne.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Équations simplesNiveau 1

Résous :
a) $x^2 = 9$
b) $3x^2 = 48$
c) $x^2 + 5 = 0$
d) $(x-2)^2 = 16$

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Règle : $x^2 = a$ → $x = \pm\sqrt a$ si $a > 0$ ; une solution si $a = 0$ ; aucune si $a < 0$.

a) $x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt 9 = \mathbf{\pm 3}$

b) $3x^2 = 48$

$x^2 = \dfrac{48}{3} = 16 \quad\Rightarrow\quad x = \mathbf{\pm 4}$

c) $x^2 + 5 = 0$

$x^2 = -5 < 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{pas de solution réelle}}$

d) $(x - 2)^2 = 16$

$x - 2 = \pm 4 \quad\Rightarrow\quad x = 6 \;\text{ou}\; x = -2$

Piège

Toujours deux solutions pour $x^2 = a > 0$ (ne pas oublier la négative).

Exercice 2—Factorisation directeNiveau 1

Résous par factorisation :
a) $x^2 - 7x = 0$
b) $x^2 - 4 = 0$
c) $(x-3)(x+2) = 0$

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Règle (produit nul) : factoriser puis annuler chaque facteur.

a) $x^2 - 7x = 0$

Facteur commun $x$ : $x(x - 7) = 0$ → $\mathbf{x = 0 \;\text{ou}\; x = 7}$.

b) $x^2 - 4 = 0$

Différence de carrés : $(x-2)(x+2) = 0$ → $\mathbf{x = 2 \;\text{ou}\; x = -2}$.

c) $(x - 3)(x + 2) = 0$

Déjà factorisé → $\mathbf{x = 3 \;\text{ou}\; x = -2}$.

Réflexe

Avant de développer, vérifier si une factorisation simple (facteur commun, identité remarquable) est possible.

Exercice 3—Inéquations du premier degréNiveau 1

Résous et donne les solutions sous forme d'intervalle :
a) $3x - 5 \leqslant 7$ $\quad$
b) $-2x + 1 > 5$ $\quad$
c) $4 - x \geqslant 2x + 1$

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a) $3x \leqslant 12$, donc $x \leqslant 4$ : $S = \;]-\infty ; 4]$.

b) $-2x > 4$ ; on divise par $-2$ (négatif : le sens change) : $x < -2$, $S = \;]-\infty ; -2[$.

c) $4 - 1 \geqslant 2x + x$, soit $3 \geqslant 3x$, donc $x \leqslant 1$ : $S = \;]-\infty ; 1]$.

🔍 Vérification (b) avec $x = -3$ : $-2 \times (-3) + 1 = 7 > 5$ ✓

Exercice 4—Valeur absolue et distanceNiveau 1

En interprétant $|x - a|$ comme une distance, résous :
a) $|x - 3| = 5$ $\quad$
b) $|x + 1| \leqslant 4$ $\quad$
c) $|x - 2| > 1$

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Rappel

$|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$.

a) $x$ est à la distance $5$ de $3$ : $x = 3 + 5 = \mathbf{8}$ ou $x = 3 - 5 = \mathbf{-2}$.

b) $|x + 1| = |x - (-1)|$ : distance à $-1$ au plus $4$, donc $S = [-1 - 4 ; -1 + 4] = \mathbf{[-5 ; 3]}$.

c) Distance à $2$ strictement supérieure à $1$ : $x < 1$ ou $x > 3$, soit $S = \;\mathbf{]-\infty ; 1[ \cup ]3 ; +\infty[}$.

Exercice 5—Tableau de signesNiveau 1

Dresse le tableau de signes de $(x+1)(x-3)$ et résous $(x+1)(x-3) \leq 0$.

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Stratégie : tableau de signes du produit.

Étape 1 — Racines des facteurs

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ ; $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Étape 2 — Tableau de signes

$x$	$-\infty$	$-1$	$3$	$+\infty$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$0$	$+$
Produit	$+$	$0$	$-$	$0$

Étape 3 — Résoudre $(x+1)(x-3) \leq 0$

Produit négatif ou nul entre les racines : $\boxed{S = [-1\,;\,3]}$

Règle visuelle

Un trinôme à coefficient dominant positif est négatif entre ses racines.

Exercice 6—Inéquation de baseNiveau 1

Résous $x^2 - 9 > 0$.

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Stratégie : factoriser, puis tableau de signes (ou règle "extérieur des racines").

Étape 1 — Factoriser

$\[x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\]$

Étape 2 — Résoudre $> 0$

Le produit de deux facteurs est positif à l'extérieur des racines $-3$ et $3$ : $\boxed{S = ]-\infty\,;\,-3[ \cup ]3\,;\,+\infty[}$

🔍 Vérification : $x = 0$ : $0 - 9 = -9 < 0$ → exclu ✓ ; $x = 4$ : $16 - 9 = 7 > 0$ → inclus ✓

Exercice 7—Produit nulNiveau 1

Résous : $(x - 4)(3x + 6) = 0$.

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$x - 4 = 0$ ou $3x + 6 = 0$ : $\mathcal{S} = \mathbf{\{-2 ; 4\}}$.

Exercice 8—Inéquation du premier degréNiveau 1

Résous : $-2x + 7 \geqslant 3x - 8$. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

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$-5x \geqslant -15$ ; on divise par $-5 < 0$, le sens change : $x \leqslant 3$. $\mathcal{S} = \mathbf{]-\infty ; 3]}$.

Exercice 9—Équations avec un carréNiveau 1

Résous :
a) $x^2 = 16$ $\quad$
b) $(x - 1)^2 = 9$

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a) $\mathcal{S} = \mathbf{\{-4 ; 4\}}$.

b) $x - 1 = 3$ ou $x - 1 = -3$ : $\mathcal{S} = \mathbf{\{-2 ; 4\}}$.

Exercice 10—Signe d'une expression affineNiveau 1

Dresse le tableau de signes de $2x - 6$.

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$2x - 6 = 0$ pour $x = 3$ ; $a = 2 > 0$ : négatif avant $3$, positif après.

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$2x - 6$		$-$	$0$	$+$

Exercice 11—Équation quotientNiveau 1

Résous : $\dfrac{x + 1}{x - 2} = 0$.

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Valeur interdite : $x = 2$. Un quotient est nul quand son numérateur l'est : $x = -1$. $\mathcal{S} = \mathbf{\{-1\}}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Équations quotientNiveau 2

Résous, après avoir donné la valeur interdite :
a) $\dfrac{2x - 1}{x + 3} = 0$ $\quad$
b) $\dfrac{x + 2}{x - 1} = 3$

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a) Valeur interdite : $-3$. Le quotient est nul si le numérateur est nul : $2x - 1 = 0$, soit $x = \dfrac{1}{2}$, qui n'est pas interdite. $S = \left\{\mathbf{\dfrac{1}{2}}\right\}$.

b) Valeur interdite : $1$. Pour $x \ne 1$, on multiplie par $x - 1$ : $x + 2 = 3(x - 1) \qquad x + 2 = 3x - 3 \qquad 5 = 2x \qquad x = \frac{5}{2}$ $\dfrac{5}{2} \ne 1$ : $S = \left\{\mathbf{\dfrac{5}{2}}\right\}$.

🔍 Vérification (b) : $\dfrac{2{,}5 + 2}{2{,}5 - 1} = \dfrac{4{,}5}{1{,}5} = 3$ ✓

Exercice 13—Se ramener à $X^2 = a$Niveau 2

a) Montre que l'équation $\dfrac{x^2 - 3}{2} = x - 1$ équivaut à $(x - 1)^2 = 2$.
b) Résous-la.

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a) On multiplie par $2$ : $x^2 - 3 = 2x - 2$, soit $x^2 - 2x - 1 = 0$. Or $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$, donc $x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$. L'équation s'écrit $(x - 1)^2 - 2 = 0$, c'est-à-dire $(x - 1)^2 = 2$.

b) $x - 1 = \sqrt{2}$ ou $x - 1 = -\sqrt{2}$, donc $S = \left\{\mathbf{1 - \sqrt{2} \,;\, 1 + \sqrt{2}}\right\}$.

Exercice 14—Inéquation produitNiveau 2

Dresse le tableau de signes de $(2x - 4)(x + 1)$, puis résous $(2x - 4)(x + 1) > 0$.

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$2x - 4 = 0$ pour $x = 2$ ; $a = 2 > 0$ : négatif avant $2$, positif après.
$x + 1 = 0$ pour $x = -1$ : négatif avant $-1$, positif après.

$x$		$-1$		$2$
$2x - 4$	$-$		$-$	$0$	$+$
$x + 1$	$-$	$0$	$+$		$+$
produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Le produit est strictement positif pour $x \in \;\mathbf{]-\infty ; -1[ \cup ]2 ; +\infty[}$.

Exercice 15—Factoriser pour résoudreNiveau 2

a) Vérifie que $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.
b) Résous l'inéquation $x^2 - x - 6 < 0$.

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a) $(x - 3)(x + 2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$ ✓

b) On étudie le signe de $(x - 3)(x + 2)$ : les facteurs s'annulent en $3$ et $-2$.

$x$		$-2$		$3$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 3$	$-$		$-$	$0$	$+$
produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$S = \;\mathbf{]-2 ; 3[}$.

Exercice 16—Système par substitutionNiveau 2

Résous le système : $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 5 \end{cases}$

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Étape 1 — La seconde équation donne $y = 4x - 5$.

Étape 2 — On remplace dans la première : $2x + 3(4x - 5) = 7 \qquad 14x - 15 = 7 \qquad x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7}$

Étape 3 — $y = 4 \times \dfrac{11}{7} - 5 = \dfrac{44 - 35}{7} = \dfrac{9}{7}$.

$S = \left\{\mathbf{\left(\dfrac{11}{7} ; \dfrac{9}{7}\right)}\right\}$.

🔍 Vérification : $2 \times \dfrac{11}{7} + 3 \times \dfrac{9}{7} = \dfrac{49}{7} = 7$ ✓ et $\dfrac{44}{7} - \dfrac{9}{7} = 5$ ✓

Exercice 17—Mise en systèmeNiveau 2

Au cinéma, une place adulte coûte $9$ € et une place enfant $6$ €. Un groupe a acheté $25$ places pour $192$ €. Combien d'adultes et d'enfants compte le groupe ?

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Inconnues : $x$ adultes, $y$ enfants. $\begin{cases} x + y = 25 \\ 9x + 6y = 192 \end{cases}$

Substitution : $y = 25 - x$, donc $9x + 6(25 - x) = 192$, soit $3x + 150 = 192$, $x = 14$, puis $y = 11$.

Le groupe compte $14$ adultes et $11$ enfants.

🔍 Vérification : $14 \times 9 + 11 \times 6 = 126 + 66 = 192$ ✓

Exercice 18—Le rectangleNiveau 2

Les deux dimensions d'un rectangle diffèrent de $3$ cm et son aire est de $18$ cm². On note $x$ la plus petite dimension.
a) Montre que $x^2 + 3x - 18 = 0$.
b) Vérifie que $x^2 + 3x - 18 = (x + 6)(x - 3)$, puis donne les dimensions du rectangle.

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a) Les dimensions sont $x$ et $x + 3$ : $x(x + 3) = 18$, soit $x^2 + 3x - 18 = 0$.

b) $(x + 6)(x - 3) = x^2 - 3x + 6x - 18 = x^2 + 3x - 18$ ✓ Produit nul : $x = -6$ (impossible pour une longueur) ou $x = 3$. Le rectangle mesure $3$ cm sur $6$ cm.

🔍 Vérification : $3 \times 6 = 18$ et $6 - 3 = 3$ ✓

Exercice 19—Identité remarquable et produit nulNiveau 2

Résous l'équation $(2x + 1)^2 = (x - 3)^2$.

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On écrit $(2x + 1)^2 - (x - 3)^2 = 0$ et on factorise avec $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ : $\big[(2x + 1) - (x - 3)\big]\big[(2x + 1) + (x - 3)\big] = 0 \qquad (x + 4)(3x - 2) = 0$ Solutions : $x = \mathbf{-4}$ ou $x = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$.

🔍 Vérification pour $x = -4$ : $(-7)^2 = 49$ et $(-7)^2 = 49$ ✓

Attention

Écrire « $2x + 1 = x - 3$ » ferait oublier la solution $\dfrac{2}{3}$ (pour laquelle $2x + 1 = -(x - 3)$).

Exercice 20—Inéquation produitNiveau 2

Résous : $(x - 1)(x + 3) \leqslant 0$ à l'aide d'un tableau de signes.

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$x - 1$ s'annule en $1$, $x + 3$ en $-3$. Le produit est négatif entre les racines : $\mathcal{S} = \mathbf{[-3 ; 1]}$.

$x$		$-3$		$1$
$x + 3$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 1$	$-$		$-$	$0$	$+$
produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Exercice 21—Factoriser pour résoudreNiveau 2

Résous : $x^2 - 4x = 0$.

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$x(x - 4) = 0$ : $\mathcal{S} = \mathbf{\{0 ; 4\}}$.

Attention

Ne pas diviser par $x$ : on perdrait la solution $0$.

Exercice 22—SystèmeNiveau 2

Résous le système $\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$

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En additionnant : $2x = 14$, $x = 7$ ; puis $y = 3$. Solution : $\mathbf{(7 ; 3)}$.

Exercice 23—Inéquation quotientNiveau 2

Résous : $\dfrac{2x - 1}{x + 3} \geqslant 0$.

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Valeur interdite $-3$ ; $2x - 1$ s'annule en $\dfrac{1}{2}$. Le quotient est positif à l'extérieur des valeurs, nul en $\dfrac{1}{2}$ : $\mathcal{S} = \mathbf{]-\infty ; -3[ \cup \left[\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[}$.

Exercice 24—Au cinémaNiveau 2

$3$ places adulte et $2$ places enfant coûtent $41$ € ; $2$ places adulte et $3$ places enfant coûtent $39$ €. Quel est le prix de chaque place ?

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$\begin{cases} 3a + 2e = 41 \\ 2a + 3e = 39 \end{cases}$. En additionnant : $5a + 5e = 80$, donc $a + e = 16$. En soustrayant : $a - e = 2$. Donc $a = 9$ et $e = 7$ : adulte $9$ €, enfant $7$ €. 🔍 $27 + 14 = 41$ ✓

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Inéquation quotientNiveau 3

Résous $\dfrac{3 - x}{2x + 4} \leqslant 0$.

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Valeur interdite : $2x + 4 = 0$ pour $x = -2$.

$3 - x$ s'annule en $3$ ; $a = -1 < 0$ : positif avant $3$, négatif après.
$2x + 4$ s'annule en $-2$ : négatif avant, positif après.

$x$		$-2$		$3$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$2x + 4$	$-$	$0$	$+$		$+$
quotient	$-$	‖	$+$	$0$	$-$

$S = \;\mathbf{]-\infty ; -2[ \cup [3 ; +\infty[}$ ($-2$ est exclu car interdit, $3$ est inclus car le quotient y est nul).

🔍 Vérification : $x = -3$ donne $\dfrac{6}{-2} = -3 \leqslant 0$ ✓ ; $x = 0$ donne $\dfrac{3}{4} > 0$ (non solution) ✓

Exercice 26—Trois facteursNiveau 3

a) Factorise $x^3 - 4x$.
b) Résous $x^3 \geqslant 4x$.

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a) $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = \mathbf{x(x - 2)(x + 2)}$.

b) $x^3 \geqslant 4x \iff x(x - 2)(x + 2) \geqslant 0$.

$x$		$-2$		$0$		$2$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
$x$	$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 2$	$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
produit	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$S = \mathbf{[-2 ; 0] \cup [2 ; +\infty[}$.

Attention

Diviser par $x$ des deux côtés serait une erreur : on ne connaît pas son signe.

Exercice 27—L'allée autour du jardinNiveau 3

Un jardin rectangulaire de $10$ m sur $6$ m est entouré d'une allée de largeur constante $x$ m. L'aire totale (jardin + allée) est de $96$ m².
a) Montre que $x$ vérifie $x^2 + 8x - 9 = 0$.
b) Vérifie que $x^2 + 8x - 9 = (x + 9)(x - 1)$ et déduis-en la largeur de l'allée.

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a) Le grand rectangle mesure $10 + 2x$ sur $6 + 2x$ : $(10 + 2x)(6 + 2x) = 96 \qquad 60 + 32x + 4x^2 = 96 \qquad 4x^2 + 32x - 36 = 0$ En divisant par $4$ : $x^2 + 8x - 9 = 0$.

b) $(x + 9)(x - 1) = x^2 - x + 9x - 9 = x^2 + 8x - 9$ ✓ Produit nul : $x = -9$ ou $x = 1$. Une largeur est positive : l'allée mesure $1$ m.

🔍 Vérification : $12 \times 8 = 96$ ✓

Exercice 28—Inégalité stricteNiveau 3

Résous : $\frac{x-1}{x+2} \geq 0$ (Tableau de signes en tenant compte de $x \neq -2$)

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Stratégie : tableau de signes du quotient, en excluant la valeur interdite.

Étape 1 — Valeur interdite et racine

Dénominateur : $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (interdit). Numérateur : $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Étape 2 — Tableau de signes

$x$	$-\infty$	$-2$	$1$	$+\infty$
$x - 1$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x + 2$	$-$	$\\|\\|$	$+$	$+$
Quotient	$+$	$\\|\\|$	$-$	$0$

(« $\|\|$ » = valeur interdite)

Étape 3 — Résoudre $\geq 0$

Quotient positif ou nul, en excluant $x = -2$ : $\boxed{S = ]-\infty\,;\,-2[ \cup [1\,;\,+\infty[}$

Piège

$x = -2$ est exclu (crochet ouvert) car il annule le dénominateur ; $x = 1$ est inclus (le quotient vaut 0, ce qui vérifie « $\geq 0$ »).

Exercice 29—Égalité de deux quotientsNiveau 3

Résous $\dfrac{x + 1}{x - 2} = \dfrac{x - 3}{x + 4}$.

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Valeurs interdites : $2$ et $-4$.

Pour $x \ne 2$ et $x \ne -4$, on fait le produit en croix : $(x + 1)(x + 4) = (x - 3)(x - 2) \qquad x^2 + 5x + 4 = x^2 - 5x + 6$ Les $x^2$ se simplifient : $10x = 2$, donc $x = \dfrac{1}{5}$, qui n'est pas interdite.

$S = \left\{\mathbf{\dfrac{1}{5}}\right\}$.

🔍 Vérification : $\dfrac{1{,}2}{-1{,}8} = -\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{-2{,}8}{4{,}2} = -\dfrac{2}{3}$ ✓

Exercice 30—L'enclosNiveau 3

Un agriculteur dispose de $100$ m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d'un côté (en m).
a) Montre que l'aire de l'enclos est $A(x) = x(50 - x)$.
b) Vérifie que $A(x) = 625 - (x - 25)^2$. Déduis-en l'aire maximale et la valeur de $x$ correspondante.
c) Montre que $A(x) \geqslant 600$ équivaut à $|x - 25| \leqslant 5$, puis résous.

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a) Le périmètre vaut $100$ : deux côtés consécutifs mesurent au total $50$ m, donc l'autre côté vaut $50 - x$ et $A(x) = x(50 - x)$.

b) $625 - (x - 25)^2 = 625 - (x^2 - 50x + 625) = 50x - x^2 = x(50 - x)$ ✓ Comme $(x - 25)^2 \geqslant 0$, on a $A(x) \leqslant 625$, avec égalité pour $x = 25$. L'aire maximale est $625$ m², obtenue pour un carré de $25$ m de côté.

c) $A(x) \geqslant 600 \iff 625 - (x - 25)^2 \geqslant 600 \iff (x - 25)^2 \leqslant 25 \iff |x - 25| \leqslant 5$ (une racine carrée de $(x - 25)^2$ est $|x - 25|$). Donc $x \in \mathbf{[20 ; 30]}$.

🔍 Vérification : $A(20) = 20 \times 30 = 600$ ✓

\(x\)		\(-1\)		\(3\)
\(x + 1\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(x - 3\)	\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
produit	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

\(x\)	\(-\infty\)	\(-1\)	\(3\)	\(+\infty\)
\(x+1\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)
\(x-3\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
Produit	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)

\(x\)		\(-1\)		\(2\)
\(2x - 4\)	\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(x + 1\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
produit	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

\(x\)		\(-2\)		\(3\)
\(x + 2\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(x - 3\)	\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
produit	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

\(x\)		\(-3\)		\(1\)
\(x + 3\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(x - 1\)	\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
produit	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

1 Inéquations du premier degré

2 Équations du type \(x^2 = a\) et équations produit

3 Équations quotient

4 Tableaux de signes

5 Systèmes de deux équations linéaires

L'essentiel

Pièges à éviter

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)