Probabilités

a) Un as (4 as) \[P(\text{as}) = \dfrac{4}{52} = \boxed{\dfrac{1}{13}}\]

b) Un cœur (13 cœurs) \[P(\text{cœur}) = \dfrac{13}{52} = \boxed{\dfrac{1}{4}}\]

c) L'as de cœur (1 seule carte) \[P(\text{as de cœur}) = \boxed{\dfrac{1}{52}}\]

d) Un as OU un cœur (formule d'union)

L'as de cœur est compté dans les deux → on le retranche une fois : \[P(\text{as} \cup \text{cœur}) = \dfrac{4}{52} + \dfrac{13}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \boxed{\dfrac{4}{13}}\]

Étape 1 — Complémentaire \[P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = \boxed{0{,}7}\]

Étape 2 — \(A \cup \overline{A}\) : c'est l'univers entier (certain) \[P(A \cup \overline{A}) = P(\Omega) = \boxed{1}\]

Étape 3 — \(A \cap \overline{A}\) : un événement et son contraire sont incompatibles \[P(A \cap \overline{A}) = P(\varnothing) = \boxed{0}\]

a) Nombre pair \(\{2,4,6\}\) \[P = \dfrac{3}{6} = \boxed{\dfrac{1}{2}}\]

b) Supérieur à 4 \(\{5,6\}\) \[P = \dfrac{2}{6} = \boxed{\dfrac{1}{3}}\]

c) Pair OU supérieur à 4

Union \(\{2,4,6\}\cup\{5,6\} = \{2,4,5,6\}\) (le \(6\) est commun) : \[P = \dfrac{4}{6} = \boxed{\dfrac{2}{3}}\]

🔍 Vérification par la formule d'union : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3+2-1}{6} = \dfrac{4}{6}\) ✓ (le \(6\) est l'intersection, \(P=\frac16\)).

Étape 1 — Repérer la diagonale « somme \(=7\) »

Étape 2 — Compter les cas favorables

Six couples : \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\). \[P(\text{somme}=7) = \dfrac{6}{36} = \boxed{\dfrac{1}{6}}\]

a) \(A = \{2 ; 4 ; 6\}\) ; \(B = \{4 ; 5 ; 6\}\) ; \(A \cap B = \{4 ; 6\}\) ; \(A \cup B = \{2 ; 4 ; 5 ; 6\}\) ; \(\overline{A} = \{1 ; 3 ; 5\}\).

b) Situation équiprobable (\(6\) issues) : \(P(A) = P(B) = \dfrac{1}{2}\) ; \(P(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\) ; \(P(A \cup B) = \dfrac{4}{6} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\) ; \(P(\overline{A}) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\).

🔍 Vérification : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\) ✓

a) La somme des probabilités vaut \(1\) : \(P(6) = 1 - 5 \times 0{,}1 = \mathbf{0{,}5}\).

b) \(P(\text{pair}) = P(2) + P(4) + P(6) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}5 = \mathbf{0{,}7}\).

🎯 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

\(0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}1 = \mathbf{0{,}7}\).

\(P(\overline{A}) = \mathbf{0{,}7}\) ; \(P(\overline{B}) = \mathbf{0{,}5}\).

Les \(5\) autres faces se partagent \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\) : chacune a la probabilité \(\mathbf{0{,}14}\).

\(5\) n'est pas pair : \(A \cap B = \varnothing\), incompatibles. \(P(A \cup B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\).

\(12\) issues équiprobables, une seule favorable : \(\mathbf{\dfrac{1}{12}}\).

a) Arbre (urne : 3R + 2B = 5 boules)

                    2/4
              3/5  R ───── R   → RR
             /     └─ 3/4 ─ B   → RB
   départ ──<
             \     ┌─ 3/4 ─ R   → BR
              2/5  B ───── B   → BB
                    1/4

b) Probabilités des branches (on multiplie le long du chemin)

c) Même couleur = \(RR\) ou \(BB\) (incompatibles → on additionne) \[P(\text{même couleur}) = \dfrac{6}{20} + \dfrac{2}{20} = \dfrac{8}{20} = \boxed{\dfrac{2}{5}}\]

🔍 Vérification : la somme des 4 branches vaut \(\frac{6+6+6+2}{20}=\frac{20}{20}=1\) ✓

a) \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = \mathbf{0{,}5}\).

b) \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = \mathbf{0{,}4}\).

c) \(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = \mathbf{0{,}7}\).

a) \(P(F) = 0{,}6\), \(P(\overline{F}) = 0{,}4\) ; \(P_F(T) = 0{,}7\), \(P_{\overline{F}}(T) = 0{,}8\). \[P(T) = 0{,}6 \times 0{,}7 + 0{,}4 \times 0{,}8 = 0{,}42 + 0{,}32 = \mathbf{0{,}74}\]

b) \(P(F \cap T) = 0{,}42\) et, par définition : \[P_T(F) = \frac{P(F \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}42}{0{,}74} \approx \mathbf{0{,}568}\] Parmi les élèves qui ont un téléphone, environ \(56{,}8\,\%\) sont des filles.

• \(P(F) = \dfrac{100}{200} = \mathbf{0{,}5}\) ; \(P(I) = \dfrac{80}{200} = \mathbf{0{,}4}\) ; \(P(F \cap I) = \dfrac{30}{200} = \mathbf{0{,}15}\).
• \(P_F(I) = \dfrac{P(F \cap I)}{P(F)} = \dfrac{0{,}15}{0{,}5} = \mathbf{0{,}3}\) (ligne des filles : \(\dfrac{30}{100}\)).
• \(P_I(F) = \dfrac{P(F \cap I)}{P(I)} = \dfrac{0{,}15}{0{,}4} = \mathbf{0{,}375}\) (colonne des internes : \(\dfrac{30}{80}\)).

a) Voir l'arbre du cours : \(P(B) = 0{,}7\), \(P(V) = 0{,}3\) ; \(P_B(R) = 0{,}1\), \(P_B(\overline{R}) = 0{,}9\) ; \(P_V(R) = 0{,}05\), \(P_V(\overline{R}) = 0{,}95\).

b) \(P(B \cap R) = 0{,}7 \times 0{,}1 = \mathbf{0{,}07}\).

c) Deux chemins mènent à \(R\) : \(P(R) = 0{,}7 \times 0{,}1 + 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}07 + 0{,}015 = \mathbf{0{,}085}\).

a) Arbre de probabilités

              0,95  Test+   (malade et +)
       Malade ─
      / 0,02   0,05  Test−
départ
      \ 0,98   0,05  Test+   (sain mais +)
        Sain  ─
              0,95  Test−

b) Probabilité totale d'un test positif

On somme les deux chemins menant à « Test+ » : \[P(\text{Test+}) = \underbrace{0{,}02\times0{,}95}_{\text{vrais positifs}} + \underbrace{0{,}98\times0{,}05}_{\text{faux positifs}} = 0{,}019 + 0{,}049 = \boxed{0{,}068}\]

a) \(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1 = \mathbf{0{,}7}\).

b) « Ni \(A\) ni \(B\) » est le contraire de \(A \cup B\) : \(1 - 0{,}7 = \mathbf{0{,}3}\).

c) Non : \(P(A \cap B) = 0{,}1 \ne 0\), les deux événements peuvent se produire en même temps.

a) Deux as (le 2ᵉ tirage se fait parmi 31 cartes, 3 as restants) \[P(\text{2 as}) = \dfrac{4}{32}\times\dfrac{3}{31} = \dfrac{12}{992} = \boxed{\dfrac{3}{248}}\]

b) Au moins un as (complémentaire « aucun as » : 28 non-as) \[P(\ge 1\ \text{as}) = 1 - \dfrac{28}{32}\times\dfrac{27}{31} = 1 - \dfrac{756}{992} = \dfrac{236}{992} = \boxed{\dfrac{59}{248}}\]

🔍 Vérification : \(\dfrac{59}{248}\approx 0{,}238\), plausible (un peu moins d'une chance sur 4 de voir un as).

Le contraire est « FFF », de probabilité \(\dfrac{1}{8}\). Donc \(P = 1 - \dfrac{1}{8} = \mathbf{\dfrac{7}{8}}\).

\(P(T) = \dfrac{50}{200} = \mathbf{0{,}25}\) ; \(P(F \cap T) = \dfrac{30}{200} = \mathbf{0{,}15}\). \(P(F \cup T) = 0{,}6 + 0{,}25 - 0{,}15 = \mathbf{0{,}7}\) (filles + garçons faisant du théâtre : \(\dfrac{140}{200}\)).

\(P(RR) + P(BB) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = \mathbf{\dfrac{13}{25}}\).

Sommes \(2\), \(3\), \(4\) : \(1 + 2 + 3 = 6\) issues sur \(36\). \(P = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).

\(P(C) = \dfrac{8}{32}\) ; \(P(F) = \dfrac{12}{32}\) ; \(P(C \cap F) = \dfrac{3}{32}\) (roi, dame, valet de cœur). \(P(C \cup F) = \dfrac{8 + 12 - 3}{32} = \mathbf{\dfrac{17}{32}}\).

a) \(200\) malades, dont \(0{,}95 \times 200 = 190\) positifs ; \(9\,800\) sains, dont \(0{,}05 \times 9\,800 = 490\) positifs.

b) Parmi les \(680\) positifs, \(190\) sont malades : \(\dfrac{190}{680} \approx \mathbf{0{,}28}\). Seulement \(28\,\%\) des tests positifs correspondent à des malades : comme la maladie est rare, la plupart des positifs sont des « faux positifs ». Un test positif doit être confirmé.

a) \(P(S \cup M) = 0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}2 = \mathbf{0{,}7}\).

b) \(1 - 0{,}7 = \mathbf{0{,}3}\).

c) \(P_S(M) = \dfrac{P(S \cap M)}{P(S)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\) : un sportif sur trois fait aussi de la musique.

a) \(2 \times 6 = \mathbf{12}\) issues équiprobables : (P ; 1), …, (F ; 6).

b) Une seule issue : \(P = \mathbf{\dfrac{1}{12}}\).

c) \(P(F \cup 6) = P(F) + P(6) - P(F \cap 6) = \dfrac{6}{12} + \dfrac{2}{12} - \dfrac{1}{12} = \mathbf{\dfrac{7}{12}}\).

a) \(P(A) = P(B) = \dfrac{1}{2}\) ; \(P_A(R) = \dfrac{2}{5}\) et \(P_B(R) = \dfrac{4}{5}\). \[P(R) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \mathbf{\frac{3}{5}}\]

b) \(P(A \cap R) = \dfrac{1}{5}\), donc \(P_R(A) = \dfrac{1/5}{3/5} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\).

a) \(P(M_1) = 0{,}6\) et \(P(M_2) = 0{,}4\) ; \(P_{M_1}(D) = 0{,}03\) et \(P_{M_2}(D) = 0{,}05\).

b) \(P(D) = 0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}02 = \mathbf{0{,}038}\).

c) Environ \(5\,000 \times 0{,}038 = \mathbf{190}\) pièces.

a) \(36\) issues équiprobables. Somme \(7\) : \(6\) issues, \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\). Somme \(11\) : \((5 ; 6)\) et \((6 ; 5)\), \(P = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}\).

b) Les deux événements sont incompatibles : \(P = \dfrac{6}{36} + \dfrac{2}{36} = \dfrac{8}{36} = \mathbf{\dfrac{2}{9}}\).

c) \(6\) doubles : \(P = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).

d) Environ \(90 \times \dfrac{2}{9} = \mathbf{20}\) victoires. Comme \(\dfrac{2}{9} \approx 0{,}22 > \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17\), la règle 1 est plus favorable.