Vecteurs

a) \(A(2;3)\), \(B(5;7)\) \[\overrightarrow{AB} = \binom{5-2}{7-3} = \boxed{\binom{3}{4}}\]

b) \(A(-1;4)\), \(B(3;-2)\) \[\overrightarrow{AB} = \binom{3-(-1)}{-2-4} = \boxed{\binom{4}{-6}}\]

c) \(A(0;0)\), \(B(a;b)\)

Le départ est l'origine, donc les coordonnées du vecteur sont celles du point d'arrivée : \[\overrightarrow{OB} = \binom{a-0}{b-0} = \boxed{\binom{a}{b}}\]

Étape 1 — Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

Avec \(A(1;1)\) et \(B(4;5)\) : \[\overrightarrow{AB} = \binom{4-1}{5-1} = \binom{3}{4}\]

Étape 2 — Application de la formule \[\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \boxed{5}\]

Étape 1 — Somme \(\vec{u}+\vec{v}\) \[\vec{u}+\vec{v} = \binom{3+(-2)}{-1+4} = \boxed{\binom{1}{3}}\]

Étape 2 — Différence \(\vec{u}-\vec{v}\) \[\vec{u}-\vec{v} = \binom{3-(-2)}{-1-4} = \boxed{\binom{5}{-5}}\]

Étape 3 — Combinaison \(2\vec{u}-3\vec{v}\)

On calcule d'abord chaque multiple, puis on soustrait : \[2\vec{u} = \binom{6}{-2}, \qquad 3\vec{v} = \binom{-6}{12}\] \[2\vec{u}-3\vec{v} = \binom{6-(-6)}{-2-12} = \boxed{\binom{12}{-14}}\]

a) Le point \(B\) se simplifie : \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \boxed{\overrightarrow{AC}}\]

b) On enchaîne Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), puis \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA}\) : \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \boxed{\vec{0}}\]

c) On factorise par le point de départ commun \(O\) : \[\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA} = \boxed{\overrightarrow{BA}}\]

Étape 1 — Application avec \(A(2;6)\) et \(B(-4;2)\) : \[M\left(\dfrac{2+(-4)}{2}\,;\,\dfrac{6+2}{2}\right) = \boxed{M(-1\,;\,4)}\]

🔍 Vérification : \(M\) doit être équidistant. \(\overrightarrow{AM}=\binom{-3}{-2}\) et \(\overrightarrow{MB}=\binom{-3}{-2}\) → \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\) ✓ (\(M\) est bien le milieu).

Étape 1 — Calculer le déplacement \(\overrightarrow{AB}\) \[\overrightarrow{AB} = \binom{4-1}{5-2} = \binom{3}{3}\]

Étape 2 — Reporter sur \(C\)

Comme \(\overrightarrow{CD}=\binom{3}{3}\), on a \(D = C + \overrightarrow{AB}\) : \[D = (0+3\,;\,-1+3) = \boxed{D(3\,;\,2)}\]

🔍 Vérification : \(\overrightarrow{CD}=\binom{3-0}{2-(-1)}=\binom{3}{3}=\overrightarrow{AB}\) ✓

\(\overrightarrow{AB}(4 - 1 ; -2 - 2) = \mathbf{(3 ; -4)}\) ; \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9 + 16} = \mathbf{5}\).

\(\vec{u} + \vec{v} = \mathbf{(-1 ; 3)}\) ; \(3\vec{u} = \mathbf{(6 ; -3)}\) ; \(\vec{u} - 2\vec{v} = (2 + 6 ; -1 - 8) = \mathbf{(8 ; -9)}\).

a) \(\mathbf{\overrightarrow{AC}}\).

b) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \mathbf{\overrightarrow{CB}}\).

c) \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MM} = \mathbf{\vec{0}}\).

\(\left(\dfrac{-2 + 4}{2} ; \dfrac{3 + 7}{2}\right) = \mathbf{(1 ; 5)}\).

🎯 \(\vec{u}(x ; y)\) et \(\vec{v}(x' ; y')\) sont colinéaires \(\iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' = 0\).

a) \(2 \times 6 - (-3) \times (-4) = 12 - 12 = 0\) : colinéaires (\(\vec{v} = -2\vec{u}\)).

b) \(3 \times 9 - 5 \times 6 = -3 \ne 0\) : non colinéaires.

Étape 1 — Calculer le déterminant

Avec \(\vec{u}=\binom{2}{-3}\) et \(\vec{v}=\binom{4}{-6}\) : \[\det(\vec{u},\vec{v}) = 2\times(-6) - (-3)\times 4 = -12 + 12 = 0\]

Étape 2 — Conclusion \[\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires}}\]

Étape 1 — Construire les deux vecteurs depuis \(A\) \[\overrightarrow{AB} = \binom{3-1}{6-2} = \binom{2}{4}, \qquad \overrightarrow{AC} = \binom{5-1}{10-2} = \binom{4}{8}\]

Étape 2 — Test du déterminant \[\det = 2\times 8 - 4\times 4 = 16 - 16 = 0\]

Étape 3 — Conclusion

Déterminant nul → vecteurs colinéaires → \(\boxed{A, B, C \text{ sont alignés}}\).

⚠️ Piège fréquent : c'est \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) (et non \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)) ! L'ordre \(A\to B\to C\to D\) doit « tourner » autour de la figure.

Étape 1 — Calculer \(\overrightarrow{AB}\) \[\overrightarrow{AB} = \binom{4-1}{1-0} = \binom{3}{1}\]

Étape 2 — Déduire \(D\) à partir de \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{DC} = C - D = \binom{3}{1}\), donc \(D = C - \overrightarrow{AB}\) : \[D = (5-3\,;\,3-1) = \boxed{D(2\,;\,2)}\]

🔍 Vérification : \(\overrightarrow{DC}=\binom{5-2}{3-2}=\binom{3}{1}=\overrightarrow{AB}\) ✓

Étape 1 — Application avec \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(3;9)\) : \[G\left(\dfrac{0+6+3}{3}\,;\,\dfrac{0+0+9}{3}\right) = \boxed{G(3\,;\,3)}\]

🔍 Vérification : on doit avoir \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\). \(\overrightarrow{GA}=\binom{-3}{-3}\), \(\overrightarrow{GB}=\binom{3}{-3}\), \(\overrightarrow{GC}=\binom{0}{6}\). Somme \(=\binom{0}{0}=\vec{0}\) ✓

a) \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0\) : colinéaires (en effet \(\vec{v} = -2\vec{u}\)).

b) \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \times 5 - 3 \times 2 = -1 \ne 0\) : non colinéaires.

a) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\).

b) \(\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}\), donc \(x_E = 1 + 4 = 5\) et \(y_E = 1 + 5 = 6\) : \(\mathbf{E(5 ; 6)}\).

c) D'après la règle du parallélogramme, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE}\) signifie que \(ABEC\) est un parallélogramme. 🔍 Vérification : \(\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AC}\) ✓

Étape 1 — a) \(M\) milieu de \([AB]\) \[\boxed{\overrightarrow{OM} = \dfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}}\]

Étape 2 — b) \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)

On part de Chasles puis on remplace \(\overrightarrow{AB}\) : \[\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\big(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\big)\]

Étape 3 — Regrouper les coefficients \[\overrightarrow{OM} = \left(1-\dfrac{2}{3}\right)\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \boxed{\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}}\]

Étape 1 — Application avec \(A(4;1)\) et \(\vec{u}=\binom{-2}{3}\) : \[A' = (4+(-2)\,;\,1+3) = \boxed{A'(2\,;\,4)}\]

🔍 Vérification : \(\overrightarrow{AA'} = \binom{2-4}{4-1} = \binom{-2}{3} = \vec{u}\) ✓

\(ABCD\) parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). \(\overrightarrow{AB}(3 ; 1)\) et \(\overrightarrow{DC}(5 - x ; 5 - y)\). Donc \(x = 2\), \(y = 4\) : \(\mathbf{D(2 ; 4)}\).

\(\overrightarrow{AB}(2 ; 4)\), \(\overrightarrow{AC}(-2 ; -4)\) : \(\det = 2 \times (-4) - 4 \times (-2) = 0\). Colinéaires avec un point commun : alignés.

\(\overrightarrow{AB}(2 ; 1)\), donc \(\overrightarrow{AM}(4 ; 2)\) et \(M(1 + 4 ; 0 + 2) = \mathbf{M(5 ; 2)}\).

\(3 \times (-4) - y \times 6 = 0 \iff -12 = 6y \iff \mathbf{y = -2}\).

Méthode 1 : \(\overrightarrow{AB}(3 ; 1)\) et \(\overrightarrow{DC}(4 - 1 ; 5 - 4) = (3 ; 1)\). \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) : parallélogramme.

Méthode 2 : milieu de \([AC]\) : \((1{,}5 ; 2{,}5)\) ; milieu de \([BD]\) : \((1{,}5 ; 2{,}5)\). Les diagonales ont le même milieu : \(ABCD\) est un parallélogramme. \(\square\)

Étape 1 — Calculer \(\overrightarrow{AB}\)

Avec \(A(1;0)\) et \(B(5;4)\) : \[\overrightarrow{AB} = \binom{5-1}{4-0} = \binom{4}{4}\]

Étape 2 — En déduire \(\overrightarrow{AM}\) \[\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{4}\binom{4}{4} = \binom{3}{3}\]

Étape 3 — Position de \(M\) \[M = A + \overrightarrow{AM} = (1+3\,;\,0+3) = \boxed{M(4\,;\,3)}\]

🔍 Vérification : \(AM=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2\) et \(AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\) ; rapport \(\frac{3\sqrt2}{4\sqrt2}=\frac34\) ✓

Étape 1 — Exprimer les vecteurs \[\overrightarrow{AB} = \binom{3-1}{a-1} = \binom{2}{a-1}, \qquad \overrightarrow{AC} = \binom{5-1}{7-1} = \binom{4}{6}\]

Étape 2 — Annuler le déterminant \[2\times 6 - (a-1)\times 4 = 0\] \[12 - 4a + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 16 - 4a = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{a = 4}\]

🔍 Vérification : pour \(a=4\), \(B(3;4)\). Les points \(A(1;1)\), \(B(3;4)\), \(C(5;7)\) ont pour pente commune \(\frac{4-1}{3-1}=\frac32\) et \(\frac{7-4}{5-3}=\frac32\) ✓

a) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 0\) : les vecteurs sont colinéaires, donc \(\mathbf{(AB) \parallel (CD)}\).

b) \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) ; \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 3 \times (-3) - (-1) \times 6 = -9 + 6 = -3 \ne 0\) : non alignés. Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont donc parallèles et distinctes.

Étape 1 — Calculer les deux vecteurs opposés \[\overrightarrow{AB} = \binom{3-0}{1-0} = \binom{3}{1}\] \[\overrightarrow{DC} = \binom{4-1}{3-2} = \binom{3}{1}\]

Étape 2 — Comparer \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad\Rightarrow\quad \boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme}}\]

a) \(\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} 1 - x \\ 3 - y \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix} 4 - x \\ -y \end{pmatrix}\). L'égalité donne : \[\begin{cases} (1 - x) + 2(4 - x) = 0 \\ (3 - y) + 2(-y) = 0 \end{cases}\]

b) \(9 - 3x = 0\) donne \(x = 3\) ; \(3 - 3y = 0\) donne \(y = 1\) : \(\mathbf{M(3 ; 1)}\).

c) \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) : \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\). \(M\) est sur \([AB]\), aux deux tiers en partant de \(A\).

Étape 1 — Écrire les quatre milieux \[M = \dfrac{A+B}{2}, \quad N = \dfrac{B+C}{2}, \quad P = \dfrac{C+D}{2}, \quad Q = \dfrac{D+A}{2}\]

Étape 2 — Calculer \(\overrightarrow{MN}\) \[\overrightarrow{MN} = N - M = \dfrac{B+C}{2} - \dfrac{A+B}{2} = \dfrac{C-A}{2}\]

Étape 3 — Calculer \(\overrightarrow{QP}\) \[\overrightarrow{QP} = P - Q = \dfrac{C+D}{2} - \dfrac{D+A}{2} = \dfrac{C-A}{2}\]

Étape 4 — Conclure \[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \quad\Rightarrow\quad \boxed{MNPQ \text{ est un parallélogramme}}\]