2nde · Chapitre 7 · Géométrie

Géométrie repérée : droites et systèmes

30 exercices corrigés

1 Distances et milieux dans un repère orthonormé

À retenir

Pour $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ dans un repère orthonormé, $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \qquad \text{milieu de } [AB] : \left(\frac{x_A + x_B}{2} \,;\, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Méthode — nature d'un quadrilatère $ABCD$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (ou mêmes milieux pour les diagonales) : parallélogramme ;
parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux : losange ;
parallélogramme avec des diagonales de même longueur : rectangle ;
un triangle est rectangle si les longueurs vérifient l'égalité de Pythagore.

2 Équations cartésiennes de droites

Vecteur directeur

Un vecteur non nul $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $d$ s'il a la même direction que $d$ ($\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ pour deux points $A$, $B$ de $d$).

Propriété

Toute droite a une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$ (avec $a$ et $b$ non tous deux nuls), et $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ en est un vecteur directeur.

Méthode

Méthode — équation de la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ : $M(x ; y)$ est sur la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$. Exemple : $A(1 ; 2)$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 2 \end{pmatrix}$, et $(x - 1) \times 1 - 3(y - 2) = 0$, soit $x - 3y + 5 = 0$.

Lien avec l'équation réduite

Si $b \ne 0$, on peut isoler $y$ : $3x + 2y - 6 = 0$ donne $y = -1{,}5x + 3$.

Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

3 Systèmes et intersection de droites

À retenir

Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues revient à chercher le point commun à deux droites :

droites sécantes : une seule solution (le point d'intersection) ;
droites parallèles distinctes : aucune solution ;
droites confondues : une infinité de solutions.

Exemple

$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$. En additionnant : $3x = 6$, $x = 2$, puis $y = 1$. Les droites se coupent en $(2 ; 1)$.

4 Médiatrice d'un segment

Rappel

La médiatrice de $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ équidistants de $A$ et $B$. Comme des distances sont positives, $MA = MB$ équivaut à $MA^2 = MB^2$, ce qui donne une équation de droite. Exemple : $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 0)$ : $x^2 + y^2 = (x - 4)^2 + y^2$ donne $8x = 16$, soit $x = 2$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 1re, tu écriras les équations de cercles $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ et tu utiliseras le produit scalaire pour les droites perpendiculaires.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Distance	$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ (repère orthonormé)
Milieu	Moyenne des coordonnées
Équation cartésienne	$ax + by + c = 0$, vecteur directeur $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$
Point sur une droite	Ses coordonnées vérifient l'équation
Parallélisme	Vecteurs directeurs colinéaires
Système	Intersection de deux droites
Médiatrice	$MA^2 = MB^2$

Pièges à éviter

Une même droite a une infinité d'équations cartésiennes (multiplier par un nombre non nul).
$\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$, et non $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.
Interpréter graphiquement le nombre de solutions d'un système.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Distance et milieuNiveau 1

$A(3;-1)$ et $B(-1;7)$. Calcule $AB$ et le milieu $M$ de $[AB]$.

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Deux formules clés

distance $AB=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ et milieu = moyenne des coordonnées.

Étape 1 — Distance $AB$ avec $A(3;-1)$ et $B(-1;7)$ : $AB = \sqrt{(-1-3)^2 + (7-(-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16+64} = \sqrt{80}$

Étape 2 — Simplifier le radical $\sqrt{80} = \sqrt{16\times 5} = \boxed{4\sqrt{5}\ (\approx 8{,}94)}$

Étape 3 — Milieu $M$ $M\left(\dfrac{3+(-1)}{2}\,;\,\dfrac{-1+7}{2}\right) = \boxed{M(1\,;\,3)}$

Astuce

Toujours sortir le plus grand carré parfait du radical ($80=16\times5$) pour obtenir la forme exacte simplifiée.

Exercice 2—Équation cartésienneNiveau 1

Détermine une équation cartésienne de la droite passant par $A(1 ; 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

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$M(x ; y)$ est sur la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires : $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = (x - 1) \times 1 - 3 \times (y - 2) = 0$ $x - 1 - 3y + 6 = 0 \qquad \mathbf{x - 3y + 5 = 0}$

🔍 Vérification : $A$ : $1 - 6 + 5 = 0$ ✓ ; vecteur directeur $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ ✓

Exercice 3—Points sur une droiteNiveau 1

La droite $d$ a pour équation $2x - y + 3 = 0$. Les points $A(1 ; 5)$, $B(-2 ; 1)$ et $C(0 ; 3)$ sont-ils sur $d$ ?

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On remplace les coordonnées dans $2x - y + 3$ :

$A$ : $2 - 5 + 3 = 0$ : $A \in d$ ;
$B$ : $-4 - 1 + 3 = -2 \ne 0$ : $B \notin d$ ;
$C$ : $0 - 3 + 3 = 0$ : $C \in d$.

Exercice 4—D'une équation à l'autreNiveau 1

La droite $d$ a pour équation cartésienne $3x + 2y - 6 = 0$.
a) Donne un vecteur directeur de $d$.
b) Détermine son équation réduite, son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

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a) Avec $a = 3$ et $b = 2$ : $\vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

b) $2y = -3x + 6$, donc $\mathbf{y = -1{,}5x + 3}$ : coefficient directeur $-1{,}5$, ordonnée à l'origine $3$.

🔍 Cohérence : le vecteur $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ correspond à une pente $\dfrac{3}{-2} = -1{,}5$ ✓

Exercice 5—SymétrieNiveau 1

Donne l'image de $A(3;-2)$ par :
a) symétrie par rapport à l'origine
b) symétrie par rapport à l'axe des $x$
c) symétrie par rapport à $y = x$

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Mémo des symétries

(image de $A(x;y)$) :

origine → $(-x;-y)$
axe des $x$ → $(x;-y)$
droite $y=x$ → $(y;x)$

a) Symétrie centrale (origine) $A'(-3\,;\,2) \quad \boxed{A'(-3;2)}$

b) Symétrie / axe des $x$ (on change le signe de $y$) $\boxed{A'(3;2)}$

c) Symétrie / droite $y=x$ (on échange $x$ et $y$) $\boxed{A'(-2;3)}$

Visuel

La symétrie par rapport à $y=x$ « reflète » dans la diagonale → les coordonnées permutent.

Exercice 6—Médiatrice simpleNiveau 1

Trouve la médiatrice de $[AB]$ pour $A(0;0)$ et $B(4;0)$.

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Définition

la médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et lui est perpendiculaire.

Étape 1 — Milieu de $[AB]$

$A(0;0)$, $B(4;0)$ → $M\left(\dfrac{0+4}{2}\,;\,\dfrac{0+0}{2}\right) = M(2;0)$.

Étape 2 — Direction de $(AB)$

$(AB)$ est porté par l'axe des $x$ (pente $0$, horizontal).

Étape 3 — Médiatrice = perpendiculaire à une horizontale = verticale $\boxed{x = 2}$

🔍 Vérification : un point $(2;y)$ est bien équidistant : distance à $A$ $=\sqrt{4+y^2}$ = distance à $B$ $=\sqrt{4+y^2}$ ✓

Exercice 7—Distance et milieuNiveau 1

Soient $A(1 ; 2)$ et $B(7 ; 10)$ dans un repère orthonormé. Calcule $AB$ et les coordonnées du milieu de $[AB]$.

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$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = \mathbf{10}$ ; milieu $\mathbf{(4 ; 6)}$.

Exercice 8—Équation cartésienneNiveau 1

Détermine une équation cartésienne de la droite passant par $A(1 ; 3)$ et dirigée par $\vec{u}(2 ; 5)$.

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🎯 Une droite dirigée par $\vec{u}(-b ; a)$ a une équation $ax + by + c = 0$.

$\vec{u}(2 ; 5)$ donne $a = 5$, $b = -2$ : $5x - 2y + c = 0$. Avec $A$ : $5 - 6 + c = 0$, $c = 1$. $\mathbf{5x - 2y + 1 = 0}$.

Exercice 9—AppartenanceNiveau 1

Les points $M(3 ; 8)$ et $N(0 ; 1)$ appartiennent-ils à la droite $d : 5x - 2y + 1 = 0$ ?

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$M$ : $15 - 16 + 1 = 0$, oui. $N$ : $0 - 2 + 1 = -1 \ne 0$, non.

Exercice 10—Équation réduiteNiveau 1

Écris l'équation réduite de la droite $2x + 3y - 6 = 0$.

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$3y = -2x + 6$, donc $\mathbf{y = -\dfrac{2}{3}x + 2}$.

Exercice 11—Vecteur directeurNiveau 1

Donne un vecteur directeur de la droite $3x - y + 4 = 0$.

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$a = 3$, $b = -1$ : $\vec{u}(-b ; a) = \mathbf{(1 ; 3)}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Droites parallèles ?Niveau 2

On donne $d_1 : 2x - 4y + 1 = 0$, $d_2 : -x + 2y + 5 = 0$ et $d_3 : x + y = 0$. Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles ?

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Vecteurs directeurs $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ : $\vec{u_1}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{u_2}\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{u_3}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}) = 4 \times (-1) - (-2) \times 2 = 0$ : $d_1 \parallel d_2$.
$\det(\vec{u_1}, \vec{u_3}) = 4 \times 1 - (-1) \times 2 = 6 \ne 0$ : $d_3$ est sécante à $d_1$ (et donc à $d_2$).

Exercice 13—Système et intersectionNiveau 2

a) Résous le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
b) Interprète le résultat graphiquement.

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a) En additionnant les deux équations : $3x = 6$, donc $x = 2$. Puis $y = x - 1 = 1$. $S = \{(\mathbf{2 ; 1})\}$.

b) Les droites d'équations $2x + y = 5$ et $x - y = 1$ sont sécantes au point $\mathbf{(2 ; 1)}$.

🔍 Vérification : $4 + 1 = 5$ ✓ et $2 - 1 = 1$ ✓

Exercice 14—Zéro ou une infinité de solutionsNiveau 2

a) Résous $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 1 \end{cases}$.
b) Résous $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 6 \end{cases}$.
c) Interprète graphiquement.

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a) En multipliant la première équation par $2$ : $2x + 4y = 6$. Or la seconde impose $2x + 4y = 1$ : c'est impossible. Aucune solution.

b) La seconde équation est la première multipliée par $2$ : les deux équations sont équivalentes. Infinité de solutions : tous les couples $(3 - 2y \,;\, y)$.

c) En a), les droites sont parallèles et distinctes ; en b), elles sont confondues.

Exercice 15—MédiatriceNiveau 2

Trouve la médiatrice de $[AB]$ pour $A(1;3)$ et $B(5;-1)$.

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Méthode

$M(x ; y)$ est sur la médiatrice si et seulement si $MA^2 = MB^2$. $\[(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 5)^2 + (y + 1)^2\]$ $\[x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 2y + 1\]$ Les carrés se simplifient : $8x - 8y - 16 = 0$, soit $\mathbf{x - y - 2 = 0}$ (ou $y = x - 2$).

🔍 Vérification : le milieu $(3 ; 1)$ de $[AB]$ vérifie $3 - 1 - 2 = 0$ ✓

Exercice 16—Nature d'un quadrilatèreNiveau 2

On donne $A(1 ; 1)$, $B(5 ; 2)$, $C(6 ; 6)$ et $D(2 ; 5)$ dans un repère orthonormé.
a) Montre que $ABCD$ est un parallélogramme.
b) Calcule $AB$ et $AD$. Que peux-tu en déduire ?
c) $ABCD$ est-il un carré ?

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a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, donc parallélogramme.

b) $AB = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ et $AD = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$ : deux côtés consécutifs égaux, c'est un losange.

c) Diagonales : $AC = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$ et $BD = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$. Elles n'ont pas la même longueur : ce n'est pas un rectangle, donc pas un carré.

Exercice 17—TranslationNiveau 2

La droite $y = 2x - 1$ est translatée de vecteur $\binom{3}{1}$. Quelle est la nouvelle équation ?

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Idée

une translation conserve la pente ; seule l'ordonnée à l'origine change. Il suffit de translater un point.

Étape 1 — Translater un point de la droite

Sur $y=2x-1$, le point $(0;-1)$. Après translation de $\binom{3}{1}$ : $(0+3\,;\,-1+1) = (3\,;\,0)$

Étape 2 — Nouvelle équation : même pente $a=2$ $y = 2x + b \ \text{ passant par } (3;0) : \quad 0 = 2(3)+b \Rightarrow b=-6$

$\boxed{y = 2x - 6}$

🔍 Vérification : $(3;0)$ : $2(3)-6 = 0$ ✓

Exercice 18—Lieu géométriqueNiveau 2

L'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $MA = MB$ avec $A(1;0)$ et $B(5;4)$ : quel est ce lieu ?

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« $MA = MB$ » définit la médiatrice de $[AB]$. Avec $MA^2 = MB^2$ : $\[(x - 1)^2 + y^2 = (x - 5)^2 + (y - 4)^2\]$ $\[-2x + 1 = -10x + 25 - 8y + 16\]$ $8x + 8y - 40 = 0 \qquad \mathbf{x + y - 5 = 0}$

C'est une droite : la médiatrice de $[AB]$.

🔍 Vérification : le milieu $(3 ; 2)$ vérifie $3 + 2 - 5 = 0$ ✓

Exercice 19—Triangle équilatéralNiveau 2

Trouve le troisième sommet d'un triangle équilatéral de côté $2$ dont la base est $A(0;0)$ et $B(2;0)$.

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Stratégie

le 3ᵉ sommet est sur la médiatrice de $[AB]$ (par symétrie), à une hauteur $h$ donnée par $h=\frac{c\sqrt3}{2}$ pour un triangle équilatéral de côté $c$.

Étape 1 — Abscisse du sommet

Par symétrie, $C$ a la même abscisse que le milieu de $[AB]$ : $x_C = \dfrac{0+2}{2} = 1$.

Étape 2 — Hauteur du triangle équilatéral de côté $2$ $h = \dfrac{2\sqrt3}{2} = \sqrt3$

Étape 3 — Deux solutions (au-dessus / en dessous) $\boxed{C(1\,;\,\sqrt3) \quad \text{ou} \quad C(1\,;\,-\sqrt3)}$

🔍 Vérification : $AC=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2 = AB$ ✓

Exercice 20—Parallèles ?Niveau 2

Les droites $d_1 : 2x - 4y + 1 = 0$ et $d_2 : -x + 2y + 5 = 0$ sont-elles parallèles ?

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Vecteurs directeurs $(4 ; 2)$ et $(-2 ; -1)$ : $\det = 4 \times (-1) - 2 \times (-2) = 0$. Parallèles (et non confondues : $\left(0 ; \dfrac{1}{4}\right) \in d_1$ mais pas à $d_2$).

Exercice 21—IntersectionNiveau 2

Détermine le point d'intersection des droites $x + y = 5$ et $2x - y = 1$.

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En additionnant : $3x = 6$, $x = 2$, puis $y = 3$. Point $\mathbf{(2 ; 3)}$.

Exercice 22—Nature d'un triangleNiveau 2

Soient $A(1 ; 1)$, $B(5 ; 1)$ et $C(3 ; 4)$ dans un repère orthonormé. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

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$AB = 4$ ; $AC = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ ; $BC = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$. $CA = CB$ : $ABC$ est isocèle en $C$ (et non rectangle : $13 + 13 \ne 16$).

Exercice 23—Sur le cercle ?Niveau 2

Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $\Omega(2 ; -1)$ et pour rayon $5$. Le point $M(5 ; 3)$ est-il sur $\mathcal{C}$ ?

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$\Omega M = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ : oui, $M \in \mathcal{C}$.

Exercice 24—Compléter un parallélogrammeNiveau 2

Soient $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; -1)$ et $C(3 ; 2)$. Détermine $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, en utilisant les milieux des diagonales.

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$ABCD$ est un parallélogramme $\iff$ $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. Milieu de $[AC]$ : $(0{,}5 ; 1{,}5)$. Donc $\dfrac{1 + x_D}{2} = 0{,}5$ et $\dfrac{-1 + y_D}{2} = 1{,}5$ : $\mathbf{D(0 ; 4)}$.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Équation et intersectionNiveau 3

a) Détermine une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(-1 ; 2)$ et $B(3 ; 4)$.
b) Détermine les coordonnées du point d'intersection de $(AB)$ et de la droite $d : 3x + y - 6 = 0$.

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a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$. $\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = (x + 1) \times 2 - 4(y - 2) = 0$, soit $2x - 4y + 10 = 0$, ou encore $\mathbf{x - 2y + 5 = 0}$.

b) On résout $\begin{cases} x - 2y + 5 = 0 \\ 3x + y - 6 = 0 \end{cases}$. La première donne $x = 2y - 5$ ; dans la seconde : $6y - 15 + y - 6 = 0$, donc $y = 3$ et $x = 1$. Point d'intersection : $\mathbf{(1 ; 3)}$.

🔍 Vérification : $1 - 6 + 5 = 0$ ✓ ; $3 + 3 - 6 = 0$ ✓

Exercice 26—Un triangle particulierNiveau 3

On donne $A(1 ; 1)$, $B(5 ; 3)$ et $C(3 ; 7)$ dans un repère orthonormé.
a) Calcule $AB^2$, $BC^2$ et $AC^2$.
b) Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
c) Calcule son aire.

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a) $AB^2 = 4^2 + 2^2 = 20$ ; $BC^2 = (-2)^2 + 4^2 = 20$ ; $AC^2 = 2^2 + 6^2 = 40$.

b) $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en $B$. De plus $AB = BC$ : il est rectangle isocèle en $B$.

c) $\mathcal{A} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{\sqrt{20} \times \sqrt{20}}{2} = \mathbf{10}$.

Exercice 27—Droites parallèles avec paramètreNiveau 3

Pour quelles valeurs de $m$ les droites $d_1 : mx + 2y - 1 = 0$ et $d_2 : 3x + (m + 1)y + 2 = 0$ sont-elles parallèles ? (On pourra vérifier que $m^2 + m - 6 = (m + 3)(m - 2)$.)

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Vecteurs directeurs : $\vec{u_1}\begin{pmatrix} -2 \\ m \end{pmatrix}$ et $\vec{u_2}\begin{pmatrix} -(m + 1) \\ 3 \end{pmatrix}$. $\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}) = -2 \times 3 - \big(-(m + 1)\big) \times m = -6 + m^2 + m$ Les droites sont parallèles si $m^2 + m - 6 = 0$, soit $(m + 3)(m - 2) = 0$ : $\mathbf{m = -3}$ ou $\mathbf{m = 2}$.

🔍 Vérification pour $m = 2$ : $2x + 2y - 1 = 0$ et $3x + 3y + 2 = 0$ ont des vecteurs directeurs $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}$, colinéaires ✓

Exercice 28—Compléter un parallélogrammeNiveau 3

On donne $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 1)$ et $D(1 ; 3)$.
a) Détermine les coordonnées du point $C$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
b) Détermine les coordonnées de son centre.

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a) $ABCD$ est un parallélogramme si $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $x_C = 1 + 4 = 5$, $y_C = 3 + 1 = 4$, donc $\mathbf{C(5 ; 4)}$.

b) Le centre est le milieu de la diagonale $[AC]$ : $\left(\dfrac{5}{2} ; 2\right)$, soit $\mathbf{(2{,}5 ; 2)}$. 🔍 Vérification : milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{4 + 1}{2} ; \dfrac{1 + 3}{2}\right) = (2{,}5 ; 2)$ ✓

Exercice 29—Propriété de la médiatriceNiveau 3

$A(0;0)$, $B(6;4)$. La médiatrice de $[AB]$ coupe l'axe des $x$ en $P$.
a) Donne l'équation de la médiatrice.
b) Trouve les coordonnées de $P$.

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a) $MA^2 = MB^2$ : $x^2 + y^2 = (x - 6)^2 + (y - 4)^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 8y + 16$, donc $12x + 8y - 52 = 0$, soit $\mathbf{3x + 2y - 13 = 0}$.

b) Sur l'axe des abscisses, $y = 0$ : $3x = 13$, donc $\mathbf{P\left(\dfrac{13}{3} ; 0\right)}$.

🔍 Vérification : $PA^2 = \dfrac{169}{9}$ et $PB^2 = \left(-\dfrac{5}{3}\right)^2 + 16 = \dfrac{25}{9} + \dfrac{144}{9} = \dfrac{169}{9}$ ✓

Exercice 30—Synthèse : quadrilatèreNiveau 3

Les points $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 0)$, $C(5 ; 3)$ et $D(1 ; 3)$ sont donnés dans un repère orthonormé.
a) Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
b) Calcule son périmètre.
c) Calcule son aire.
d) Détermine les coordonnées de son centre de symétrie.

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Plan d'attaque

étudier les côtés (vecteurs, longueurs), puis le périmètre, l'aire et le centre.

a) Nature du quadrilatère

Côté	Vecteur	Longueur
$\overrightarrow{AB}$	$\binom{4}{0}$	$4$
$\overrightarrow{DC}$	$\binom{4}{0}$	$4$
$\overrightarrow{AD}$	$\binom{1}{3}$	$\sqrt{10}$
$\overrightarrow{BC}$	$\binom{1}{3}$	$\sqrt{10}$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ → c'est un parallélogramme. $AB = 4 \ne AD = \sqrt{10}$ : ce n'est pas un losange. Les diagonales $AC = \sqrt{34}$ et $BD = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$ n'ont pas la même longueur : ce n'est pas un rectangle. $\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme}}$

b) Périmètre $P = 2(AB + AD) = 2(4 + \sqrt{10}) = \boxed{8 + 2\sqrt{10} \approx 14{,}32}$

c) Aire (base $AB=4$ sur l'axe des $x$, hauteur $=$ ordonnée de $D$ et $C$, soit $3$) $\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} = 4 \times 3 = \boxed{12}$

d) Centre de symétrie

C'est le milieu des diagonales, par exemple de $[AC]$ : $\left(\dfrac{0 + 5}{2} ; \dfrac{0 + 3}{2}\right) = \mathbf{(2{,}5 ; 1{,}5)}$.

Côté	Vecteur	Longueur
\(\overrightarrow{AB}\)	\(\binom{4}{0}\)	\(4\)
\(\overrightarrow{DC}\)	\(\binom{4}{0}\)	\(4\)
\(\overrightarrow{AD}\)	\(\binom{1}{3}\)	\(\sqrt{10}\)
\(\overrightarrow{BC}\)	\(\binom{1}{3}\)	\(\sqrt{10}\)