Statistiques

Étape 1 — Sommer les 6 notes \[8+12+14+10+16+11 = 71\]

Étape 2 — Diviser par l'effectif \[\bar{x} = \dfrac{71}{6} \approx \boxed{11{,}83}\]

Étape 1 — Trier la série \[2,\ 3,\ 4,\ \mathbf{7},\ 9,\ 11,\ 15\]

Étape 2 — Repérer le centre

\(n=7\) (impair) → la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{7+1}{2}=4\). \[\boxed{M_e = 7}\]

Médiane : \(N\) pair, moyenne des 4e et 5e valeurs : \(M_e = \dfrac{8 + 10}{2} = \mathbf{9}\).

\(Q_1\) : \(\dfrac{N}{4} = 2\) : c'est la 2e valeur, \(Q_1 = \mathbf{4}\) (au moins 25 % des valeurs, soit \(2\) valeurs, sont inférieures ou égales à \(4\)).

\(Q_3\) : \(\dfrac{3N}{4} = 6\) : c'est la 6e valeur, \(Q_3 = \mathbf{12}\).

Étape 1 — Étendue \[e = x_{\max} - x_{\min} = 16 - 2 = \boxed{14}\]

Étape 2 — Écart interquartile (avec \(Q_1 = 4\), \(Q_3 = 12\))

\[Q_3 - Q_1 = 12 - 4 = \boxed{8}\]

Étape 1 — Calculer chaque fréquence

🔍 Vérification : \(0{,}08+0{,}35+0{,}42+0{,}15 = 1{,}00\) ✓ (la somme des fréquences fait toujours \(1\)).

Étape 1 — Repérer le plus grand effectif

Les effectifs sont \(8,\ 35,\ \mathbf{42},\ 15\). Le maximum est \(42\).

\[\boxed{\text{Classe modale} = [10;15[}\]

\(\dfrac{35}{5} = \mathbf{7}\).

\(n = 8\). Médiane : \(\dfrac{7 + 8}{2} = \mathbf{7{,}5}\). \(Q_1\) : \(\dfrac{8}{4} = 2\), la \(2^\text{e}\) valeur : \(\mathbf{4}\). \(Q_3\) : \(\dfrac{3 \times 8}{4} = 6\), la \(6^\text{e}\) valeur : \(\mathbf{10}\).

Étendue : \(15 - 2 = \mathbf{13}\). Écart interquartile : \(10 - 4 = \mathbf{6}\).

\(\dfrac{0 \times 5 + 1 \times 8 + 2 \times 4 + 3 \times 3}{20} = \dfrac{25}{20} = \mathbf{1{,}25}\).

\(\dfrac{8}{20} = \mathbf{0{,}4}\), soit \(40\,\%\).

a) Moyenne \[\bar{x} = \dfrac{4+6+8+10+12}{5} = \dfrac{40}{5} = 8\]

b) Variance

\[V = \dfrac{360}{5} - 8^2 = 72 - 64 = 8\]

c) Écart type \[\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx \boxed{2{,}83}\]

Étape 1 — Milieux de classe

Étape 2 — Moyenne pondérée \[\bar{x} = \dfrac{20 + 262{,}5 + 525 + 262{,}5}{100} = \dfrac{1070}{100} = \boxed{10{,}7}\]

Étape 1 — a) Moyennes \[\bar{x}_A = \dfrac{50}{5} = 10, \qquad \bar{x}_B = \dfrac{5+8+10+12+15}{5} = \dfrac{50}{5} = 10\] Les deux séries ont la même moyenne \(10\).

Étape 2 — b) Variances

Série A : toutes les valeurs valent \(10\) → aucune dispersion : \[V_A = 0 \quad\Rightarrow\quad \sigma_A = 0\]

Série B : écarts à la moyenne \(-5,-2,0,2,5\) : \[V_B = \dfrac{25+4+0+4+25}{5} = \dfrac{58}{5} = 11{,}6 \quad\Rightarrow\quad \sigma_B = \sqrt{11{,}6} \approx 3{,}41\]

Étape 3 — Conclusion \[\boxed{\text{La série B est plus dispersée} \ (\sigma_B \approx 3{,}41 > \sigma_A = 0)}\]

a) Fréquence marginale : \(\dfrac{80}{200} = \mathbf{0{,}4}\), soit \(40\,\%\).

b) Parmi les filles (ligne « Fille ») : \(\dfrac{30}{100} = \mathbf{30\,\%}\). Parmi les garçons : \(\dfrac{50}{100} = \mathbf{50\,\%}\).

c) Parmi les internes (colonne « Interne ») : \(\dfrac{30}{80} = \mathbf{37{,}5\,\%}\).

• ajout d'une constante \(k\) : \(\bar{x}\to\bar{x}+k\), mais \(\sigma\) inchangé (on translate sans étirer) ;
• multiplication par \(k\) : \(\bar{x}\to k\bar{x}\) et \(\sigma\to|k|\sigma\).

a) Ajout de \(5\) \[\bar{x}' = 15 + 5 = 20, \qquad \boxed{\sigma' = 3 \ (\text{inchangé})}\]

b) Multiplication par \(2\) \[\bar{x}'' = 2\times 15 = 30, \qquad \sigma'' = 2\times 3 = \boxed{6}\]

Étape 1 — Poser l'équation (5 valeurs, moyenne \(10\)) \[\dfrac{8+12+9+11+x}{5} = 10\]

Étape 2 — Résoudre \[40 + x = 50 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x = 10}\]

🔍 Vérification : \(\dfrac{8+12+9+11+10}{5} = \dfrac{50}{5} = 10\) ✓

a) Moins de \(30\) ans pratiquants : \(0{,}6 \times 200 = 120\). Pratiquants de \(30\) ans et plus : \(270 - 120 = 150\).

b) \(\dfrac{150}{300} = \mathbf{50\,\%}\).

c) \(\dfrac{120}{270} \approx \mathbf{44\,\%}\).

Étape 1 — Pour la régularité → on veut le plus petit \(\sigma\) \[\sigma_B = 2 < \sigma_A = 10 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{Équipe B (plus régulière)}}\]

Étape 2 — Pour la performance maximale → on veut la plus grande moyenne \[\bar{x}_A = 45 > \bar{x}_B = 42 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{Équipe A (meilleur potentiel)}}\]

a) \(12 + 2 = \mathbf{14}\). b) \(12 \times 1{,}5 = \mathbf{18}\).

Moyenne : \(\bar{x} = 5\). Variance : \(V = \dfrac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5\). Écart type : \(\sigma = \sqrt{5} \approx \mathbf{2{,}24}\).

Centres : \(5\), \(15\), \(25\). \(\dfrac{5 \times 4 + 15 \times 10 + 25 \times 6}{20} = \dfrac{320}{20} = \mathbf{16}\) min.

\(\dfrac{15 \times 160 + 25 \times 168}{40} = \dfrac{6\,600}{40} = \mathbf{165}\) cm.

Moyennes égales : \(\mathbf{10}\). Écarts types : \(\sigma_A = \mathbf{0}\) et \(\sigma_B = \mathbf{5}\). L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne : B est beaucoup plus dispersée.

a) Les deux moyennes valent \(\dfrac{30}{3} = \mathbf{10}\).

b)

• A : écarts à la moyenne \(-2\), \(0\), \(2\) ; \(V_A = \dfrac{4 + 0 + 4}{3} = \dfrac{8}{3}\), \(\sigma_A = \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx \mathbf{1{,}63}\).
• B : écarts \(-6\), \(0\), \(6\) ; \(V_B = \dfrac{36 + 0 + 36}{3} = 24\), \(\sigma_B = \sqrt{24} \approx \mathbf{4{,}90}\).

c) Même moyenne, mais la série B est beaucoup plus dispersée autour de sa moyenne (écart type trois fois plus grand).

a) La vraie somme des notes est \(12 \times 11 = 132\). Avec l'erreur, la somme vaut \(132 - 18 + 81 = 195\), et la moyenne affichée \(\dfrac{195}{12} = \mathbf{16{,}25}\).

b) La note \(18\) et la note \(81\) sont toutes les deux au-dessus de la médiane (\(11{,}5\)) : l'ordre des \(6\) plus petites valeurs ne change pas. La médiane affichée était correcte.

c) La médiane : elle ne dépend pas des valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.

a)

b) Le traitement 1 est meilleur dans chaque groupe, mais le traitement 2 est meilleur au total !

c) Le traitement 1 a été donné surtout à des cas graves (\(263\) sur \(350\)), qui guérissent moins souvent ; le traitement 2 surtout à des cas légers (\(270\) sur \(350\)). Le mélange des groupes fausse la comparaison globale : il faut comparer les fréquences conditionnelles.

Étape 1 — Moyenne \[\bar{x} = \dfrac{0+0+1+1+1+2+2+2+2+3+3+3+4+4+5+5+6+7+8+10}{20} = \dfrac{69}{20} = 3{,}45\]

Étape 2 — Médiane et quartiles (\(N = 20\))

• Médiane : moyenne des 10e et 11e valeurs : \(\dfrac{3 + 3}{2} = \mathbf{3}\).
• \(Q_1\) : \(\dfrac{20}{4} = 5\), c'est la 5e valeur : \(Q_1 = \mathbf{1}\).
• \(Q_3\) : \(\dfrac{3 \times 20}{4} = 15\), c'est la 15e valeur : \(Q_3 = \mathbf{5}\).

Écart interquartile : \(5 - 1 = 4\).

Étape 3 — Écart type (à la calculatrice, ou avec la formule \(V = \dfrac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2\)) \[\sum x_i^2 = 0+0+1+1+1+4+4+4+4+9+9+9+16+16+25+25+36+49+64+100 = 377\] \[V = \dfrac{377}{20} - 3{,}45^2 = 18{,}85 - 11{,}9025 = 6{,}9475\] \[\sigma = \sqrt{6{,}9475} \approx \boxed{2{,}64}\]

Étape 4 — Diagramme en boîte : min \(0\), \(Q_1 = 1\), médiane \(3\), \(Q_3 = 5\), max \(10\). La boîte va de \(1\) à \(5\), la moustache de droite (jusqu'à \(10\)) est bien plus longue que celle de gauche.

a) Moyenne théorique d'un dé équilibré \[\mu = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5\]

b) Écart observé \[3{,}7 - 3{,}5 = 0{,}2 \quad (\text{soit } \approx 6\%)\]

Sur seulement \(100\) lancers, une fluctuation de cet ordre est normale : ce n'est pas surprenant.

c) Avec 10 000 lancers

Oui : d'après la loi des grands nombres, plus l'échantillon est grand, plus la moyenne expérimentale se rapproche de \(3{,}5\). \[\boxed{\text{Avec } 10\,000 \text{ lancers, } \bar{x} \text{ sera très proche de } 3{,}5}\]

a) A : moyenne \(\dfrac{114}{10} = \mathbf{11{,}4}\), médiane \(\dfrac{11 + 12}{2} = \mathbf{11{,}5}\). B : moyenne \(\dfrac{112}{10} = \mathbf{11{,}2}\), médiane \(\dfrac{11 + 11}{2} = \mathbf{11}\).

b) \(N = 10\) : \(\dfrac{10}{4} = 2{,}5\), donc \(Q_1\) est la 3e valeur ; \(\dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5\), donc \(Q_3\) est la 8e valeur.

• A : \(Q_1 = 9\), \(Q_3 = 13\), écart interquartile \(\mathbf{4}\).
• B : \(Q_1 = 10\), \(Q_3 = 12\), écart interquartile \(\mathbf{2}\).

c) Les deux groupes ont des niveaux moyens proches, mais le groupe B est plus homogène (écart interquartile et étendue plus faibles : \(4\) contre \(12\)).