Si une sous-population \(A\) d'effectif \(n_A\) est incluse dans une population \(E\) d'effectif \(n_E\), la proportion de \(A\) dans \(E\) est \[p = \frac{n_A}{n_E}\] C'est un nombre entre \(0\) et \(1\), souvent écrit en pourcentage (\(p = 0{,}4 = 40\,\%\)).
(à partir de \(n_A = p \times n_E\)) :
Si \(A\) représente une proportion \(p\) de \(B\), et \(B\) une proportion \(p'\) de \(E\), alors \(A\) représente une proportion \(p \times p'\) de \(E\). Exemple : \(60\,\%\) des élèves sont des filles et \(25\,\%\) des filles font du sport : les filles sportives représentent \(0{,}6 \times 0{,}25 = 0{,}15 = 15\,\%\) des élèves.
Une quantité passe d'une valeur de départ \(V_D\) à une valeur d'arrivée \(V_A\).
Une hausse de \(12\,\%\) correspond à \(CM = 1{,}12\) ; une baisse de \(8\,\%\) à \(CM = 0{,}92\). Inversement, \(CM = 0{,}6\) correspond à une baisse de \(40\,\%\).
Si un taux passe de \(8\,\%\) à \(10\,\%\), il augmente de \(2\) points, mais de \(25\,\%\) en valeur relative (\(\dfrac{10 - 8}{8} = 0{,}25\)).
Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients. Une hausse de \(20\,\%\) puis une baisse de \(20\,\%\) : \(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\), soit une baisse de \(4\,\%\).
L'évolution qui ramène à la valeur de départ a pour coefficient \(\dfrac{1}{CM}\). Après une baisse de \(20\,\%\) (\(CM = 0{,}8\)), il faut une hausse de coefficient \(\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25\), soit \(+25\,\%\), pour revenir au prix initial.
Les taux ne s'additionnent pas ! Trois hausses de \(10\,\%\) donnent \(1{,}1^3 = 1{,}331\), soit \(+33{,}1\,\%\).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Formule |
|---|---|
| Proportion | \(p = \dfrac{n_A}{n_E}\) |
| Proportion de proportion | \(p \times p'\) |
| Taux d'évolution | \(t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}\) |
| Coefficient multiplicateur | \(CM = \dfrac{V_A}{V_D} = 1 + t\) |
| Évolutions successives | \(CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \ldots\) |
| Évolution réciproque | \(CM' = \dfrac{1}{CM}\) |
a) Dans une classe de \(30\) élèves, \(12\) sont externes. Quelle est la proportion d'externes ?
b) \(45\,\%\) des \(220\) élèves d'un niveau ont choisi l'option sport. Combien sont-ils ?
c) \(18\) élèves représentent \(15\,\%\) d'un groupe. Quel est l'effectif du groupe ?
a) \(p = \dfrac{12}{30} = \mathbf{0{,}4}\), soit \(40\,\%\).
b) \(0{,}45 \times 220 = \mathbf{99}\) élèves.
c) \(n_E = \dfrac{18}{0{,}15} = \mathbf{120}\) élèves.
Dans un lycée, \(60\,\%\) des élèves sont des filles, et \(25\,\%\) des filles font partie de l'association sportive. Quelle proportion des élèves du lycée représentent les filles de l'association sportive ?
Proportion de proportion : \(0{,}6 \times 0{,}25 = \mathbf{0{,}15}\), soit \(15\,\%\) des élèves du lycée.
a) Donne le coefficient multiplicateur associé à une hausse de \(12\,\%\), puis à une baisse de \(8\,\%\).
b) Quelle évolution correspond au coefficient \(1{,}035\) ? au coefficient \(0{,}6\) ?
a) Hausse de \(12\,\%\) : \(CM = \mathbf{1{,}12}\) ; baisse de \(8\,\%\) : \(CM = 1 - 0{,}08 = \mathbf{0{,}92}\).
b) \(1{,}035 = 1 + 0{,}035\) : hausse de \(3{,}5\,\%\). \(0{,}6 = 1 - 0{,}4\) : baisse de \(40\,\%\).
Calcule le taux d'évolution (en %) :
a) d'un prix qui passe de \(250\) € à \(300\) € ;
b) d'un effectif qui passe de \(80\) à \(68\).
a) \(t = \dfrac{300 - 250}{250} = \dfrac{50}{250} = 0{,}2\) : \(+20\,\%\).
b) \(t = \dfrac{68 - 80}{80} = -\dfrac{12}{80} = -0{,}15\) : \(-15\,\%\).
Après une hausse de \(25\,\%\), un article coûte \(150\) €. Quel était son prix avant la hausse ?
\(V_D \times 1{,}25 = 150\), donc \(V_D = \dfrac{150}{1{,}25} = \mathbf{120}\) €.
Le prix de l'article A passe de \(50\) € à \(60\) €, celui de l'article B de \(200\) € à \(215\) €.
a) Calcule la variation absolue de chaque prix.
b) Calcule le taux d'évolution de chaque prix.
c) Quel prix a le plus augmenté ? Discute.
a) A : \(+10\) € ; B : \(+15\) €.
b) A : \(\dfrac{10}{50} = 20\,\%\) ; B : \(\dfrac{15}{200} = 7{,}5\,\%\).
c) En valeur absolue, B a le plus augmenté ; en valeur relative, c'est A (\(20\,\%\) contre \(7{,}5\,\%\)). Pour comparer des évolutions de quantités différentes, on utilise le taux d'évolution.
Dans une classe de \(24\) élèves, \(18\) ont un téléphone. Quelle est la proportion d'élèves équipés, en pourcentage ?
\(\dfrac{18}{24} = 0{,}75\), soit \(\mathbf{75\,\%}\).
\(40\,\%\) des élèves d'un lycée sont demi-pensionnaires, et \(30\,\%\) d'entre eux prennent un dessert. Quelle proportion des élèves du lycée cela représente-t-il ?
🎯 Une proportion d'une proportion se calcule par un produit.
\(0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12\), soit \(\mathbf{12\,\%}\).
Donne le coefficient multiplicateur associé à :
a) une hausse de \(4\,\%\) \(\quad\)
b) une baisse de \(35\,\%\)
a) \(\mathbf{1{,}04}\) ; b) \(\mathbf{0{,}65}\).
Un loyer passe de \(1\,250\) € à \(1\,400\) €. Calcule le taux d'évolution.
\(\dfrac{1\,400 - 1\,250}{1\,250} = \dfrac{150}{1\,250} = 0{,}12\) : \(\mathbf{+12\,\%}\).
Après une baisse de \(15\,\%\), un article coûte \(68\) €. Quel était son prix initial ?
\(\dfrac{68}{0{,}85} = \mathbf{80}\) €.
Un prix augmente de \(20\,\%\) puis baisse de \(20\,\%\). Quelle est l'évolution globale ?
\(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96 = 1 - 0{,}04\) : baisse de \(4\,\%\).
Un loyer augmente de \(10\,\%\) trois années de suite. De quel pourcentage a-t-il augmenté au total ?
\(1{,}1^3 = 1{,}331\) : hausse de \(33{,}1\,\%\) (et non \(30\,\%\)).
a) Un prix baisse de \(20\,\%\). De quel pourcentage doit-il augmenter pour revenir à sa valeur initiale ?
b) Même question après une hausse de \(60\,\%\).
a) \(CM' = \dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25\) : hausse de \(25\,\%\).
b) \(CM' = \dfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625\) : baisse de \(37{,}5\,\%\).
Sur les livres, la TVA est de \(5{,}5\,\%\) : le prix TTC s'obtient en augmentant le prix HT de \(5{,}5\,\%\).
a) Un livre coûte \(40\) € HT. Quel est son prix TTC ?
b) Un autre livre coûte \(63{,}30\) € TTC. Quel est son prix HT ?
a) \(40 \times 1{,}055 = \mathbf{42{,}20}\) €.
b) \(\dfrac{63{,}30}{1{,}055} = \mathbf{60}\) € HT.
Une ville de \(10\,000\) habitants voit sa population augmenter de \(2\,\%\) par an pendant \(3\) ans.
a) Quelle est sa population au bout de \(3\) ans ?
b) Quel est le taux d'évolution global ?
a) \(10\,000 \times 1{,}02^3 = 10\,612{,}08\), soit environ \(10\,612\) habitants.
b) \(1{,}02^3 = 1{,}061208\) : hausse globale d'environ \(6{,}12\,\%\) (un peu plus que \(3 \times 2\,\% = 6\,\%\)).
Un lycée compte \(1\,200\) élèves, dont \(35\,\%\) en seconde. Parmi les élèves de seconde, \(40\,\%\) sont demi-pensionnaires.
a) Combien d'élèves de seconde sont demi-pensionnaires ?
b) Quelle proportion des élèves du lycée cela représente-t-il ?
a) Élèves de seconde : \(0{,}35 \times 1\,200 = 420\) ; demi-pensionnaires : \(0{,}4 \times 420 = \mathbf{168}\).
b) \(0{,}35 \times 0{,}4 = \mathbf{0{,}14}\), soit \(14\,\%\) des élèves du lycée (vérification : \(\dfrac{168}{1\,200} = 0{,}14\) ✓).
Le taux de chômage d'une région passe de \(8\,\%\) à \(10\,\%\).
a) De combien de points a-t-il augmenté ?
b) De quel pourcentage a-t-il augmenté ?
a) \(10 - 8 = \mathbf{2}\) points de pourcentage.
b) \(\dfrac{10 - 8}{8} = 0{,}25\) : le taux a augmenté de \(25\,\%\).
Un article est soldé à \(-30\,\%\), puis on applique une deuxième démarque de \(-20\,\%\) sur le prix soldé. Un client affirme que la réduction totale est de \(50\,\%\). A-t-il raison ?
\(0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56 = 1 - 0{,}44\) : la réduction totale est de \(44\,\%\). Le client a tort : la seconde démarque s'applique au prix déjà soldé.
Un prix augmente de \(20\,\%\), puis baisse de \(25\,\%\). Quelle est l'évolution globale ?
\(1{,}2 \times 0{,}75 = 0{,}9\) : baisse de \(10\,\%\).
Les pourcentages successifs ne s'additionnent pas : \(+20 - 25\) donnerait \(-5\,\%\), ce qui est faux.
Un prix a augmenté de \(25\,\%\). Quelle baisse permet de revenir au prix initial ?
\(\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8\) : baisse de \(20\,\%\).
Un taux de chômage passe de \(8\,\%\) à \(7\,\%\).
a) De combien de points a-t-il baissé ?
b) De quel pourcentage a-t-il baissé ?
a) \(8 - 7 = \mathbf{1}\) point. b) \(\dfrac{7 - 8}{8} = -0{,}125\) : baisse de \(12{,}5\,\%\).
Un prix a augmenté de \(21\,\%\) en deux ans. Quel taux annuel identique, appliqué deux fois, donne la même hausse ?
On cherche \(c\) tel que \(c^2 = 1{,}21\) : \(c = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\), soit \(\mathbf{+10\,\%}\) par an.
Un lycée compte \(1\,500\) élèves ; \(40\,\%\) sont internes et \(55\,\%\) des internes sont des filles.
a) Quelle proportion des élèves du lycée sont des filles internes ?
b) Combien sont-elles ?
a) \(0{,}4 \times 0{,}55 = 0{,}22\), soit \(\mathbf{22\,\%}\). b) \(0{,}22 \times 1\,500 = \mathbf{330}\) filles internes.
Un prix subit deux hausses successives de même taux \(t\). Au total, il est multiplié par \(1{,}21\). Détermine \(t\).
\((1 + t)^2 = 1{,}21\) et \(1 + t > 0\), donc \(1 + t = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\) : \(t = 0{,}1\), soit \(+10\,\%\) à chaque fois.
Le chiffre d'affaires d'une entreprise augmente de \(10\,\%\) en 2023, puis évolue d'un taux inconnu en 2024. Sur les deux ans, il a augmenté de \(1{,}2\,\%\). Quelle a été l'évolution en 2024 ?
On note \(CM\) le coefficient de 2024 : \(1{,}1 \times CM = 1{,}012\), donc \(CM = \dfrac{1{,}012}{1{,}1} = 0{,}92\). En 2024, le chiffre d'affaires a baissé de \(8\,\%\).
Le magasin A fait \(-30\,\%\) sur un article. Le magasin B fait \(-20\,\%\), puis \(-15\,\%\) supplémentaires en caisse. Quelle offre est la plus avantageuse ?
L'offre B est (légèrement) plus avantageuse.
Dans la classe A (\(25\) élèves), \(60\,\%\) des élèves ont réussi un test ; dans la classe B (\(35\) élèves), \(80\,\%\).
a) Quel est le taux de réussite sur l'ensemble des deux classes (au dixième de %) ?
b) Pourquoi n'est-il pas égal à \(70\,\%\) ?
a) Réussites : \(0{,}6 \times 25 = 15\) en A et \(0{,}8 \times 35 = 28\) en B, soit \(43\) sur \(60\) élèves. Taux global : \(\dfrac{43}{60} \approx \mathbf{71{,}7\,\%}\).
b) Les deux classes n'ont pas le même effectif : la classe B, plus nombreuse, « pèse » davantage. On ne peut pas faire la moyenne simple des deux taux.
Une action perd \(25\,\%\) de sa valeur. De quel pourcentage (au dixième) doit-elle remonter pour retrouver sa valeur initiale ?
\(CM' = \dfrac{1}{0{,}75} \approx 1{,}3333\) : l'action doit remonter d'environ \(33{,}3\,\%\).
Un salaire de \(2\,000\) € augmente de \(3\,\%\) par an pendant \(2\) ans, puis baisse de \(5\,\%\) la troisième année.
a) Calcule le salaire au bout des trois ans (au centime).
b) Quel est le taux d'évolution global sur les trois ans (au centième de %) ?
c) De quel pourcentage (au dixième) devrait-il augmenter la quatrième année pour atteindre une hausse globale de \(10\,\%\) par rapport au salaire initial ?
a) \(2\,000 \times 1{,}03^2 \times 0{,}95 = 2\,000 \times 1{,}0609 \times 0{,}95 = \mathbf{2\,015{,}71}\) €.
b) \(CM_{\text{global}} = 1{,}03^2 \times 0{,}95 = 1{,}007855\) : hausse d'environ \(0{,}79\,\%\).
c) On veut \(2\,000 \times 1{,}10 = 2\,200\) €. Coefficient nécessaire : \(\dfrac{2\,200}{2\,015{,}71} \approx 1{,}0914\), soit une hausse d'environ \(9{,}1\,\%\).