Exercices supplémentaires

Partie a) — \(\dfrac{3x - 1}{4} = \dfrac{x + 3}{2}\)

Étape 1 — Éliminer les fractions en multipliant par 4 (PPCM de 4 et 2) : \[3x - 1 = 2(x + 3)\] \[3x - 1 = 2x + 6\]

Étape 2 — Résoudre \[3x - 2x = 6 + 1\] \[x = 7\]

Vérification : \(\frac{3(7)-1}{4} = \frac{20}{4} = 5\) et \(\frac{7+3}{2} = \frac{10}{2} = 5\) ✓

Partie b) — \(\sqrt{x} = 5\)

Pour résoudre, on élève les deux membres au carré (valide car les deux membres sont positifs) : \[(\sqrt{x})^2 = 5^2\] \[x = 25\]

Vérification : \(\sqrt{25} = 5\) ✓

Partie a) — \(4x - 3 > 2x + 7\)

Étape 1 — Regrouper les \(x\) d'un côté : \[4x - 2x > 7 + 3\] \[2x > 10\]

Étape 2 — Diviser par 2 (positif, le sens ne change pas) : \[x > 5\]

Solution : \(]5\,;\, +\infty[\)

Partie b) — \(-2x + 5 \leq 3x - 10\)

Étape 1 — Regrouper : \[5 + 10 \leq 3x + 2x\] \[15 \leq 5x\]

Étape 2 — Diviser par 5 (positif) : \[3 \leq x \quad \text{soit} \quad x \geq 3\]

Solution : \([3\,;\, +\infty[\)

Étape 1 — Factoriser On vérifie en développant que \((x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10\). Donc : \[x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)\]

Étape 2 — Tableau de signes

Les racines sont \(x = -2\) et \(x = 5\).

Étape 3 — Conclure Le produit est négatif ou nul pour \(x \in [-2\,;\,5]\).

Étape 1 — Mise en équation Soit \(x\) la longueur du côté perpendiculaire au mur. Il y a deux côtés de longueur \(x\) et un côté parallèle au mur de longueur \(y\) : \[2x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - 2x\]

Étape 2 — Exprimer l'aire \[A(x) = x \times y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2\]

Étape 3 — Condition de sens physique Il faut \(x > 0\) et \(y = 120 - 2x > 0 \Rightarrow x < 60\). Donc \(x \in ]0\,;\,60[\).

Étape 4 — Trouver le maximum On vérifie en développant que \(A(x) = 1\,800 - 2(x - 30)^2\) : \[1\,800 - 2(x^2 - 60x + 900) = 1\,800 - 2x^2 + 120x - 1\,800 = 120x - 2x^2\] ✓

Comme \((x - 30)^2 \geq 0\), on a \(A(x) \leq 1\,800\), avec égalité pour \(x = 30\).

\[y = 120 - 2 \times 30 = 60 \text{ m}\]

Les dimensions optimales sont 30 m × 60 m pour une aire maximale de 1 800 m².

Étape 1 — Choisir la méthode de combinaison On veut éliminer \(y\). On multiplie la 1ère équation par 3 et la 2ème par 2 pour que les coefficients de \(y\) soient 6 et 6 : \[\begin{cases} 9x + 6y = 33 \quad (\times 3) \\ 10x - 6y = -2 \quad (\times 2) \end{cases}\]

Étape 2 — Additionner les équations \[(9x + 10x) + (6y - 6y) = 33 - 2\] \[19x = 31\] \[x = \frac{31}{19}\]

Étape 3 — Trouver \(y\) On substitue dans la 1ère équation : \[3 \times \frac{31}{19} + 2y = 11\] \[\frac{93}{19} + 2y = 11\] \[2y = 11 - \frac{93}{19} = \frac{209 - 93}{19} = \frac{116}{19}\] \[y = \frac{58}{19}\]

Vérification dans la 2ème : \(5 \times \frac{31}{19} - 3 \times \frac{58}{19} = \frac{155 - 174}{19} = \frac{-19}{19} = -1\) ✓

Calcul des images

On évalue la fonction en remplaçant \(x\) par chaque valeur :

• \(f(0) = 0 - 0 + 3 = 3\)
• \(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\)
• \(f(3) = 9 - 12 + 3 = 0\)
• \(f(-1) = 1 + 4 + 3 = 8\)

Résoudre \(f(x) = 0\)

On remarque que \(f(1) = 0\) et \(f(3) = 0\) : les solutions semblent être 1 et 3. On factorise pour confirmer : \[f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\]

Les solutions de \(f(x) = 0\) sont \(x = 1\) et \(x = 3\).

Étape 1 — Domaine de définition La racine carrée n'est définie que pour les valeurs positives ou nulles : \[2x + 6 \geq 0\] \[2x \geq -6\] \[x \geq -3\]

Domaine : \(D_g = [-3\,;\,+\infty[\)

Étape 2 — Calcul des images

• \(g(0) = \sqrt{2(0) + 6} = \sqrt{6} \approx 2{,}449\)
• \(g(5) = \sqrt{2(5) + 6} = \sqrt{16} = 4\)
• \(g(-2) = \sqrt{2(-2) + 6} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\) (défini car \(-2 \geq -3\))

Antécédents de 2

Les antécédents de 2 sont les valeurs de \(x\) telles que \(h(x) = 2\). En regardant le tableau de valeurs et en estimant la courbe entre les points donnés :

• Entre \(x = -4\) et \(x = -2\) : \(h\) passe de \(-1\) à \(3\), donc elle vaut 2 entre ces deux points. Par interpolation linéaire : \(\frac{2 - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{3}{4}\) du chemin, soit environ \(x \approx -4 + \frac{3}{4} \times 2 = -2{,}5\).
• Entre \(x = 0\) et \(x = 2\) : \(h\) passe de \(1\) à \(4\), donc elle vaut 2 entre ces points, vers \(x \approx 0{,}67\).
• Entre \(x = 2\) et \(x = 4\) : \(h\) passe de \(4\) à \(0\), donc elle vaut 2 entre ces points, vers \(x \approx 3\).

Intervalles de croissance

En observant les variations :

• De \(-4\) à \(-2\) : la fonction monte de \(-1\) à \(3\) → croissante
• De \(-2\) à \(0\) : la fonction descend de \(3\) à \(1\) → décroissante
• De \(0\) à \(2\) : la fonction monte de \(1\) à \(4\) → croissante
• De \(2\) à \(4\) : la fonction descend de \(4\) à \(0\) → décroissante

\(h\) est croissante sur \([-4\,;\,-2]\) et sur \([0\,;\,2]\).

Étape 1 — Factoriser le numérateur On reconnaît une différence de carrés : \[x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\]

Étape 2 — Simplifier Pour \(x \neq -1\), on peut diviser par \((x+1)\) : \[f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x - 1\]

Étape 3 — Valeurs proches de \(-1\) \(f(-1)\) n'est pas définie (division par \(0\)). Mais pour \(x \neq -1\), \(f(x) = x - 1\) : \[f(-0{,}99) = -1{,}99 \qquad f(-1{,}01) = -2{,}01\]

La courbe de \(f\) est la droite \(y = x - 1\) privée du point \((-1\,;\,-2)\).

Étape 1 — Une autre écriture de \(P(t)\) On vérifie en développant que \(P(t) = 825 - (t - 25)^2\) : \[825 - (t^2 - 50t + 625) = -t^2 + 50t + 200\] ✓

Étape 2 — Le maximum Comme \((t - 25)^2 \geq 0\), on a \(P(t) \leq 825\), avec égalité pour \(t = 25\).

La population est maximale en 2045 (25 ans après 2020) avec 825 individus.

Étape 3 — L'annulation \[P(t) = 0 \iff (t - 25)^2 = 825 \iff t - 25 = \sqrt{825} \text{ ou } t - 25 = -\sqrt{825}\]

\(\sqrt{825} \approx 28{,}7\) : \(t \approx 53{,}7\) ou \(t \approx -3{,}7\) (dans le passé, non retenu).

La population s'annulerait vers l'an 2074.

Lecture des paramètres La fonction est de la forme \(f(x) = mx + p\) :

• Pente : \(m = 2\) (la droite monte de 2 unités pour chaque unité avancée vers la droite)
• Ordonnée à l'origine : \(p = -3\) (la droite coupe l'axe des ordonnées en \(y = -3\))

Points pour tracer la droite

• \(f(0) = -3\) → point (0 ; −3)
• \(f(2) = 1\) → point (2 ; 1)

Résolution de \(f(x) = 1\) \[2x - 3 = 1\] \[2x = 4\] \[x = 2\]

Étape 1 — Poser l'égalité des ordonnées Au point d'intersection, les deux droites ont la même valeur de \(y\) : \[3x + 1 = -x + 5\]

Étape 2 — Résoudre en \(x\) \[3x + x = 5 - 1\] \[4x = 4\] \[x = 1\]

Étape 3 — Trouver l'ordonnée \[y = 3(1) + 1 = 4\]

Vérification sur \(d_2\) : \(-1 + 5 = 4\) ✓

Le point d'intersection est \((1\,;\,4)\).

Tableau de valeurs

Variations

En observant le tableau, la fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : plus \(x\) augmente, plus \(\sqrt{x}\) augmente.

Cependant, la croissance ralentit au fur et à mesure : les valeurs augmentent de moins en moins vite. Entre 0 et 1, la racine passe de 0 à 1 (gain de 1). Entre 9 et 16, elle passe de 3 à 4 (gain de 1 pour 7 unités de \(x\)).

Étape 1 — Conditions de validité Pour que l'équation ait un sens :

• Le radicande doit être positif : \(2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}\)
• Le membre de droite doit être positif (car \(\sqrt{...} \geq 0\)) : \(x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\)

On doit donc chercher les solutions avec \(x \geq 1\).

Étape 2 — Élever au carré (valide car les deux membres sont positifs) \[(\sqrt{2x + 1})^2 = (x - 1)^2\] \[2x + 1 = x^2 - 2x + 1\] \[0 = x^2 - 4x\] \[0 = x(x - 4)\]

Étape 3 — Solutions candidates : \(x = 0\) ou \(x = 4\).

Étape 4 — Vérifier les conditions

• \(x = 0\) : n'est pas \(\geq 1\), donc rejeté.
• \(x = 4\) : vérifie \(x \geq 1\). On vérifie : \(\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3\) et \(4 - 1 = 3\). ✓

L'unique solution est \(x = 4\).

Étape 1 — Écrire les fonctions coût Soit \(n\) le nombre d'appels par mois :

• Abonnement A : \(C_A(n) = 15 + 0{,}5n\)
• Abonnement B : \(C_B(n) = 30\)

Étape 2 — Trouver le point d'égalité \[15 + 0{,}5n = 30\] \[0{,}5n = 15\] \[n = 30 \text{ appels}\]

Étape 3 — Analyser selon l'usage

• Pour \(n < 30\) appels : \(C_A(n) < 30 = C_B(n)\) → l'abonnement A est moins cher.
• Pour \(n = 30\) appels : les deux coûtent le même prix (30 €).
• Pour \(n > 30\) appels : \(C_A(n) > 30 = C_B(n)\) → l'abonnement B est moins cher.

Conseil : choisir B si on passe plus de 30 appels par mois.

Partie a) — Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, on soustrait les coordonnées du point de départ de celles du point d'arrivée : \[\overrightarrow{AB} = \binom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \binom{4 - 1}{6 - 2} = \binom{3}{4}\]

Partie b) — Norme de \(\overrightarrow{AB}\)

La norme est la longueur du vecteur, calculée par la formule de la distance : \[\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Addition \(\vec{u} + \vec{v}\)

On additionne composante par composante : \[\vec{u} + \vec{v} = \binom{3 + (-2)}{-1 + 4} = \binom{1}{3}\]

Soustraction \(\vec{u} - \vec{v}\)

\[\vec{u} - \vec{v} = \binom{3 - (-2)}{-1 - 4} = \binom{5}{-5}\]

Combinaison linéaire \(2\vec{u} + 3\vec{v}\)

On multiplie d'abord chaque vecteur par son scalaire, puis on additionne : \[2\vec{u} = \binom{6}{-2} \quad \text{et} \quad 3\vec{v} = \binom{-6}{12}\] \[2\vec{u} + 3\vec{v} = \binom{6 + (-6)}{-2 + 12} = \binom{0}{10}\]

Méthode — Utiliser la colinéarité des vecteurs

Deux points et l'origine forment une droite si les vecteurs sont colinéaires. Trois points A, B, C sont alignés si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Étape 1 — Calculer les vecteurs \[\overrightarrow{AB} = \binom{5-2}{3-1} = \binom{3}{2}\] \[\overrightarrow{AC} = \binom{11-2}{7-1} = \binom{9}{6}\]

Étape 2 — Vérifier la colinéarité Deux vecteurs \(\binom{a}{b}\) et \(\binom{c}{d}\) sont colinéaires si \(ad - bc = 0\).

Ici : \(3 \times 6 - 2 \times 9 = 18 - 18 = 0\) ✓

Donc A, B, C sont alignés.

On observe aussi que \(\overrightarrow{AC} = 3 \times \overrightarrow{AB}\), ce qui confirme la colinéarité.

Étape 1 — Forme de l'équation Une droite de vecteur directeur \(\binom{-b}{a}\) a une équation de la forme \(ax + by + c = 0\). Ici \(-b = 3\) et \(a = -2\), donc \(b = -3\) : l'équation est \(-2x - 3y + c = 0\).

Étape 2 — Trouver \(c\) avec le point P \[-2 \times 1 - 3 \times (-2) + c = 0 \iff 4 + c = 0 \iff c = -4\]

Résultat : \(-2x - 3y - 4 = 0\), soit en multipliant par \(-1\) : \(2x + 3y + 4 = 0\).

Vérification : \(2(1) + 3(-2) + 4 = 0\) ✓

Étape 1 — Équations réduites des deux droites \(d_1\) passe par l'origine avec la pente \(\dfrac{4}{3}\) : \(y = \dfrac{4}{3}x\). \(d_2\) a pour pente \(\dfrac{2}{-1} = -2\) et passe par B(12 ; 0) : \(y = -2(x - 12) = -2x + 24\).

Étape 2 — Résoudre \[\frac{4}{3}x = -2x + 24 \iff 4x = -6x + 72 \iff 10x = 72 \iff x = 7{,}2\] \[y = \frac{4}{3} \times 7{,}2 = 9{,}6\]

Résultat : \(C(7{,}2\,;\,9{,}6)\).

Vérification sur \(d_2\) : \(-2 \times 7{,}2 + 24 = 9{,}6\) ✓

Étape 1 — Trier les données par ordre croissant \[6,\; 7,\; 8,\; 9,\; 10,\; 11,\; 12,\; 13,\; 14,\; 15\]

Il y a \(n = 10\) valeurs.

Étape 2 — Calculer la médiane La médiane sépare la série en deux moitiés égales. Pour 10 valeurs, elle est la moyenne des 5ème et 6ème valeurs : \[\text{Médiane} = \frac{10 + 11}{2} = 10{,}5\]

Étape 3 — Calculer Q1 \(Q_1\) est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart des données lui soient inférieures ou égales : \(\dfrac{10}{4} = 2{,}5\), on prend la 3e valeur : \(Q_1 = 8\).

Étape 4 — Calculer Q3 \(\dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5\), on prend la 8e valeur : \(Q_3 = 13\).

Résumé des cinq nombres : Min = 6, Q1 = 8, Médiane = 10,5, Q3 = 13, Max = 15.

Étape 1 — Calculer les indicateurs de dispersion

Étendue (Max − Min) :

• Groupe A : \(25 - 5 = 20\)
• Groupe B : \(22 - 8 = 14\)

Écart interquartile (Q3 − Q1) :

• Groupe A : \(18 - 10 = 8\)
• Groupe B : \(19 - 12 = 7\)

Étape 2 — Comparer les médianes Les médianes sont proches (14 vs 15), les niveaux moyens sont similaires.

Étape 3 — Comparer la dispersion Le groupe B a une étendue plus petite (14 vs 20) et un écart interquartile légèrement plus petit (7 vs 8). Le groupe B est légèrement plus homogène (moins dispersé).

Le groupe A a des valeurs extrêmes plus éloignées (de 5 à 25), ce qui peut indiquer une plus grande variabilité dans les performances.

Étape 1 — Trier les données \[15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 38, 42, 45, 55\]

Partie a)

Moyenne : \[\bar{x} = \frac{15+18+20+22+25+28+30+35+38+42+45+55}{12} = \frac{373}{12} \approx 31{,}1 \text{ min}\]

Médiane (moyenne des 6ème et 7ème valeurs) : \[\text{Med} = \frac{28 + 30}{2} = 29 \text{ min}\]

Partie b)

On calcule les quartiles :

• \(Q_1\) : \(\dfrac{12}{4} = 3\), c'est la 3e valeur : \(Q_1 = 20\) min
• \(Q_3\) : \(\dfrac{3 \times 12}{4} = 9\), c'est la 9e valeur : \(Q_3 = 38\) min

Résumé : 15 | 20 | 29 | 38 | 55

La boîte à moustaches se trace sur un axe horizontal : une boîte de \(Q_1 = 20\) à \(Q_3 = 38\), avec un trait à la médiane \(29\) ; les moustaches vont de \(15\) à \(20\) et de \(38\) à \(55\).

Étape 1 — Comparer les tendances centrales Les médianes sont très proches : 13 (classe 1) vs 14 (classe 2). La classe 2 a une médiane légèrement supérieure, mais la différence est faible (1 point).

Étape 2 — Comparer la dispersion

Étendues :

• Classe 1 : \(20 - 4 = 16\)
• Classe 2 : \(19 - 7 = 12\)

Écarts interquartiles :

• Classe 1 : \(16 - 10 = 6\)
• Classe 2 : \(17 - 11 = 6\)

Étape 3 — Conclure Les deux classes ont des résultats globalement similaires (médianes proches, mêmes écarts interquartiles). Cependant, la classe 1 a des valeurs extrêmes plus éloignées (minimum de 4 contre 7) : elle est moins régulière dans ses résultats les plus faibles. La classe 2 est légèrement plus homogène et a une médiane un peu plus élevée.

Première affirmation — 75 % des jours sous 29°C

Q3 = 29°C signifie que 75 % des données (les trois quarts) sont inférieures ou égales à Q3.

Par définition du troisième quartile, au moins 75 % des jours ont eu une température ≤ 29 °C : \(0{,}75 \times 30 = 22{,}5\), donc au moins 23 jours.

L'affirmation est correcte. ✓

Deuxième question — jours au-dessus de la médiane

La médiane partage la série en deux groupes de même effectif : avec \(30\) valeurs, c'est la moyenne de la 15e et de la 16e valeur. Au plus la moitié des jours, soit au plus 15 jours, ont eu une température strictement supérieure à 25 °C (exactement 15 si aucune valeur n'est égale à 25).

Un jeu de 52 cartes contient 4 couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) de 13 cartes chacune, dont 4 as (un par couleur).

Partie a) — Probabilité d'un as Il y a 4 as dans le jeu : \[P(\text{as}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 7{,}7\%\]

Partie b) — Probabilité d'un cœur Il y a 13 cœurs dans le jeu : \[P(\text{cœur}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 25\%\]

Partie c) — Probabilité de l'as de cœur Il y a exactement 1 as de cœur : \[P(\text{as de cœur}) = \frac{1}{52} \approx 1{,}9\%\]

Étape 1 — Espace des résultats Chaque lancer donne un résultat de 1 à 6. Il y a donc \(6 \times 6 = 36\) couples possibles, tous équiprobables.

Étape 2 — Lister les cas favorables On cherche les couples \((d_1, d_2)\) tels que \(d_1 + d_2 = 7\) :

• (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

Il y a 6 cas favorables.

Étape 3 — Calculer la probabilité \[P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%\]

Étape 1 — Appliquer la formule d'inclusion-exclusion

Pour éviter de compter deux fois les élèves qui font les deux activités : \[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\] \[|\text{Musique} \cup \text{Sport}| = 18 + 12 - 5 = 25\]

Étape 2 — Calculer la probabilité \[P(\text{au moins une activité}) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \approx 83{,}3\%\]

Vérification : Il reste \(30 - 25 = 5\) élèves qui ne font aucune des deux activités. \(P(\text{aucune}) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%\). La somme des deux probabilités vaut \(\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1\) ✓

Étape 1 — Construire l'arbre

Premier tirage :

• \(P(\text{rouge}) = \frac{4}{7}\), il reste 6 boules dont 3 rouges et 3 vertes
• \(P(\text{verte}) = \frac{3}{7}\), il reste 6 boules dont 4 rouges et 2 vertes

Deuxième tirage :

• Si rouge au 1er : \(P(\text{rouge au 2ème}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
• Si verte au 1er : \(P(\text{verte au 2ème}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Étape 2 — Calculer les probabilités

\(P(\text{deux rouges}) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\)

\(P(\text{deux vertes}) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{3}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}\)

Étape 3 — Additionner (événements incompatibles) \[P(\text{même couleur}) = \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7} \approx 42{,}9\%\]

Étape 1 — Nombre espéré d'accidents

Le nombre moyen attendu est le produit du nombre de conducteurs par la probabilité : \[E = 400 \times 0{,}05 = 20 \text{ conducteurs}\]

On peut espérer que 20 conducteurs sur 400 auront un accident.

Étape 2 — Probabilité qu'aucun des 3 n'ait d'accident

La probabilité qu'un conducteur n'ait pas d'accident est : \[P(\text{pas d'accident}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\]

Les événements sont supposés indépendants : sur l'arbre, on multiplie les probabilités le long du chemin « pas d'accident » trois fois : \[P(\text{aucun des 3}) = 0{,}95^3 = 0{,}857 \approx 85{,}7\%\]

Il y a donc environ 85,7 % de chances qu'aucun des 3 conducteurs de la famille n'ait d'accident cette année.