Nombres entiers et décimaux

Étape 1 — Repérer les groupes

a) « Quatre-vingt-cinq mille » → \(85\) milliers ; « trois cent douze » → \(312\) unités.
b) « Deux millions » → \(2\) millions ; « sept cent mille » → \(700\) milliers ; « soixante » → \(060\) unités.
c) « Neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille » → \(999\) milliers ; « neuf cent quatre-vingt-dix-neuf » → \(999\) unités.

Étape 2 — Assembler avec les zéros nécessaires

a) \(\mathbf{85\,312}\)
b) \(\mathbf{2\,700\,060}\)
c) \(\mathbf{999\,999}\)

Étape 1 — Décomposer le nombre rang par rang

Étape 2 — Lire chaque question

a) Chiffre des centaines : on regarde la 3ᵉ colonne en partant de la droite → \(\mathbf{6}\).

b) Chiffre des dizaines de milliers : 5ᵉ colonne depuis la droite → \(\mathbf{8}\).

c) Valeur du chiffre \(8\) : il est à la position des dizaines de milliers, donc sa valeur est \(8 \times 10\,000 = \mathbf{80\,000}\).

Étape 1 — Localiser le 4

Dans \(7{,}\underline{4}28\), le 4 est juste après la virgule → position des dixièmes. \[\text{Valeur} = \dfrac{4}{10} = \mathbf{0{,}4}\]

Étape 2 — Localiser le 8

Dans \(7{,}42\underline{8}\), le 8 est le troisième chiffre après la virgule → position des millièmes. \[\text{Valeur} = \dfrac{8}{1\,000} = \mathbf{0{,}008}\]

a) \(3{,}7\) et \(3{,}71\)

• On écrit \(3{,}70\) et \(3{,}71\).
• Parties entières égales (\(3 = 3\)). Dixièmes égaux (\(7 = 7\)). Centièmes : \(0 < 1\).
• \(\mathbf{3{,}7 < 3{,}71}\)

b) \(12{,}09\) et \(12{,}9\)

• On écrit \(12{,}09\) et \(12{,}90\).
• Parties entières égales. Dixièmes : \(0 < 9\).
• \(\mathbf{12{,}09 < 12{,}9}\)

c) \(0{,}45\) et \(0{,}450\)

• Un zéro ajouté à droite ne change pas la valeur d'un décimal.
• \(\mathbf{0{,}45 = 0{,}450}\)

d) \(5{,}099\) et \(5{,}1\)

• On écrit \(5{,}099\) et \(5{,}100\). Dixièmes : \(0 < 1\).
• \(\mathbf{5{,}099 < 5{,}1}\)

Étape 1 — Mettre tous les nombres au même nombre de décimales

On complète avec des zéros à droite (la valeur ne change pas) : \[8{,}300\,;\,8{,}030\,;\,8{,}330\,;\,8{,}003\,;\,8{,}303\]

Étape 2 — Comparer rang par rang

Toutes les parties entières valent \(8\). On compare les dixièmes :

• \(0\) pour \(8{,}03\) et \(8{,}003\)
• \(3\) pour \(8{,}3\), \(8{,}33\), \(8{,}303\)

Entre \(8{,}030\) et \(8{,}003\) : centièmes \(3 > 0\) donc \(8{,}003 < 8{,}03\). Entre \(8{,}300\), \(8{,}330\), \(8{,}303\) : centièmes \(0\), \(3\), \(0\) ; pour les deux qui ont \(0\), on compare les millièmes : \(0 < 3\), donc \(8{,}300 < 8{,}303\).

Conclusion : \[\mathbf{8{,}003 < 8{,}03 < 8{,}3 < 8{,}303 < 8{,}33}\]

a) \(6{,}472\) à l'unité

• Chiffre suivant l'unité = dixièmes = \(4 < 5\) → par défaut. \(\approx 6\)

b) \(14{,}836\) au dixième

• Chiffre suivant le dixième = centièmes = \(3 < 5\) → par défaut. \(\approx 14{,}8\)

c) \(0{,}2749\) au centième

• Chiffre suivant le centième = millièmes = \(4 < 5\) → par défaut. \(\approx 0{,}27\)

d) \(1\,234{,}567\) au dixième

• Chiffre suivant le dixième = centièmes = \(6 \geq 5\) → par excès. \(\approx 1\,234{,}6\)

a) \(3\,405{,}27 = 3 \times 1\,000 + 4 \times 100 + 0 \times 10 + 5 \times 1 + 2 \times 0{,}1 + 7 \times 0{,}01\).

b) « trois mille quatre cent cinq virgule vingt-sept » (ou « trois mille quatre cent cinq unités et vingt-sept centièmes »).

a) \(0{,}7 = \mathbf{\dfrac{7}{10}}\) (7 dixièmes) ; \(2{,}35 = \mathbf{\dfrac{235}{100}}\) (235 centièmes).

b) \(\dfrac{43}{100} = \mathbf{0{,}43}\) ; \(\dfrac{5}{1\,000} = \mathbf{0{,}005}\) (5 millièmes).

🎯 Le nombre de chiffres après la virgule correspond au nombre de zéros du dénominateur.

🎯 Multiplier par \(10\), \(100\), \(1\,000\) : chaque chiffre prend une valeur \(10\), \(100\), \(1\,000\) fois plus grande (on « décale » la virgule vers la droite). Diviser : vers la gauche.

a) \(\mathbf{456}\) \(\quad\) b) \(\mathbf{3{,}7}\) \(\quad\) c) \(\mathbf{800}\) \(\quad\) d) \(\mathbf{0{,}523}\)

a) Chaque graduation vaut \(0{,}1\) : \(A\) a pour abscisse \(2 + 4 \times 0{,}1 = \mathbf{2{,}4}\) et \(B\) a pour abscisse \(\mathbf{2{,}7}\).

b) \(2{,}5 < 2{,}55 < 2{,}6\) : le point se place au milieu entre la 5e et la 6e graduation.

a) \(\mathbf{100}\) \(\quad\) b) \(0{,}5 \times 8\) est la moitié de \(8\) : \(\mathbf{4}\) \(\quad\) c) \(\mathbf{20}\) \(\quad\) d) \(\mathbf{6{,}4}\)

a) \(14{,}7 + 3{,}85 + 0{,}009\)

\[\begin{array}{r} 14{,}700 \\ 3{,}850 \\ + \quad 0{,}009 \\ \hline \mathbf{18{,}559} \end{array}\]

b) \(100 - 27{,}43\)

On écrit \(100\) comme \(100{,}00\) pour aligner : \[\begin{array}{r} 100{,}00 \\ - \quad 27{,}43 \\ \hline \mathbf{72{,}57} \end{array}\]

c) \(3{,}2 + 41{,}75 - 12{,}9\)

Calcul à gauche d'abord : \(3{,}2 + 41{,}75 = 44{,}95\). Puis \(44{,}95 - 12{,}9 = \mathbf{32{,}05}\).

a) \(3{,}2 \times 4\)

• \(32 \times 4 = 128\) ; total de 1 décimale (1 dans \(3{,}2\) + 0 dans \(4\)).
• \(\mathbf{12{,}8}\)

b) \(0{,}7 \times 0{,}9\)

• \(7 \times 9 = 63\) ; 1 + 1 = 2 décimales.
• \(\mathbf{0{,}63}\)

c) \(1{,}25 \times 3{,}6\)

• \(125 \times 36 = 4\,500\) ; 2 + 1 = 3 décimales.
• \(4\,500 \div 1\,000 = \mathbf{4{,}5}\)

d) \(2{,}4 \times 10{,}5\)

• \(24 \times 105 = 2\,520\) ; 1 + 1 = 2 décimales.
• \(\mathbf{25{,}20 = 25{,}2}\)

a) \(8{,}4 \div 2\) : \(8 \div 2 = 4\), on écrit la virgule, puis \(4\) dixièmes \(\div 2 = 2\) dixièmes. \[8{,}4 \div 2 = \mathbf{4{,}2}\] Vérification : \(2 \times 4{,}2 = 8{,}4\) ✓

b) \(15 \div 4\) : en \(15\), il y a \(3\) fois \(4\), reste \(3\). On écrit la virgule : \(3\) unités \(= 30\) dixièmes ; en \(30\), \(7\) fois \(4\), reste \(2\). Puis \(2\) dixièmes \(= 20\) centièmes ; en \(20\), \(5\) fois \(4\), reste \(0\). \[15 \div 4 = \mathbf{3{,}75}\] Vérification : \(4 \times 3{,}75 = 15\) ✓

c) \(7{,}2 \div 6\) : en \(7\), \(1\) fois \(6\), reste \(1\). On écrit la virgule : \(1\) unité et \(2\) dixièmes \(= 12\) dixièmes ; en \(12\), \(2\) fois \(6\), reste \(0\). \[7{,}2 \div 6 = \mathbf{1{,}2}\] Vérification : \(6 \times 1{,}2 = 7{,}2\) ✓

a) \(7{,}43\) à l'unité : on tronque → \(7\) ; on ajoute 1 → \(8\). \[\mathbf{7 < 7{,}43 < 8}\]

b) \(2{,}678\) au dixième : on tronque → \(2{,}6\) ; on ajoute 1 au dixième → \(2{,}7\). \[\mathbf{2{,}6 < 2{,}678 < 2{,}7}\]

c) \(45{,}923\) au centième : tronqué → \(45{,}92\) ; ajout 1 → \(45{,}93\). \[\mathbf{45{,}92 < 45{,}923 < 45{,}93}\]

Étape 1 — Total des achats

\[1{,}20 + 0{,}95 + 0{,}45 + 2{,}30 = 4{,}90 \text{ €}\]

Étape 2 — Monnaie rendue

\[10{,}00 - 4{,}90 = \mathbf{5{,}10 \text{ €}}\]

Étape 1 — Formule

Aire d'un rectangle = longueur × largeur.

Étape 2 — Application

\[\mathcal{A} = 12{,}5 \times 8{,}4\]

\(125 \times 84 = 10\,500\). Total de \(1 + 1 = 2\) décimales.

\[\mathcal{A} = 105{,}00 = \mathbf{105 \text{ m}^2}\]

a) On cherche deux entiers qui se suivent, l'un juste avant \(7{,}3\) et l'autre juste après : \(7 < 7{,}3 < 8\). Donc \(n = \mathbf{7}\).

b) On écrit \(7{,}3 = 7{,}30\) et \(7{,}4 = 7{,}40\). Tous les nombres de \(7{,}31\) à \(7{,}39\) conviennent, par exemple : \[7{,}3 < \mathbf{7{,}35} < 7{,}4\]

c) On écrit \(7{,}3 = 7{,}300\) et \(7{,}31 = 7{,}310\). Tous les nombres de \(7{,}301\) à \(7{,}309\) conviennent, par exemple : \[7{,}3 < \mathbf{7{,}305} < 7{,}31\]

a) Au km : chiffre des dixièmes = \(4 < 5\) → par défaut. \(\mathbf{\approx 392}\) km.

b) À la dizaine de km : chiffre des unités = \(2 < 5\) → par défaut. \(\mathbf{\approx 390}\) km.

c) À la centaine de km : chiffre des dizaines = \(9 \geq 5\) → par excès. \(\mathbf{\approx 400}\) km.

🎯 On écrit \(4{,}5 = 4{,}50\) et \(4{,}6 = 4{,}60\) : tous les nombres \(4{,}51\), \(4{,}52\), …, \(4{,}59\) conviennent.

Par exemple : \(\mathbf{4{,}51 < 4{,}55 < 4{,}58}\).

a) On calcule \(234 \times 15 = 3\,510\). Il y a \(1 + 1 = 2\) chiffres après la virgule dans les facteurs : \(23{,}4 \times 1{,}5 = \mathbf{35{,}1}\) (\(35{,}10\)).

b) \(25 \times 12 = 300\), avec \(2\) chiffres après la virgule : \(0{,}25 \times 12 = \mathbf{3}\).

🔍 Ordre de grandeur (a) : \(23 \times 1{,}5 \approx 35\) ✓

a) \(9{,}6 \div 4 = \mathbf{2{,}4}\) (on place la virgule au quotient quand on abaisse le chiffre des dixièmes).

b) \(7 \div 8\) : \(7{,}000 \div 8\) ; on obtient \(\mathbf{0{,}875}\) (reste nul).

🔍 Vérification : \(2{,}4 \times 4 = 9{,}6\) ✓ et \(0{,}875 \times 8 = 7\) ✓

a) Cahiers : \(3 \times 1{,}85 = 5{,}55\) € ; stylos : \(2 \times 0{,}90 = 1{,}80\) €. Total : \(5{,}55 + 1{,}80 = \mathbf{7{,}35}\) €.

b) \(20 - 7{,}35 = \mathbf{12{,}65}\) €.

a) \(49{,}8 \approx 50\) et \(3{,}1 \approx 3\) : ordre de grandeur \(50 \times 3 = 150\). Résultat exact : \(\mathbf{154{,}38}\).

b) \(798 \approx 800\) et \(19{,}9 \approx 20\) : ordre de grandeur \(800 \div 20 = \mathbf{40}\).

c) Il permet de détecter une erreur (virgule mal placée, faute de frappe) : si la calculatrice affiche \(1\,543{,}8\) pour le a), on sait immédiatement qu'il y a un problème.

a) On cherche le plus grand nombre de fois que \(57\) rentre dans \(1\,250\) :

• \(57 \times 20 = 1\,140\) (il reste \(110\), on peut encore en mettre) ;
• \(57 \times 21 = 1\,197\) (il reste \(53\), et \(53 < 57\) : on s'arrête).

\[1\,250 = 57 \times 21 + 53\] Le quotient est \(\mathbf{21}\) et le reste est \(\mathbf{53}\).

b) \(21\) cars transportent \(1\,197\) personnes : il reste \(53\) personnes sans place. Il faut donc un car de plus : \[21 + 1 = \mathbf{22 \text{ cars}}\]

c) \(22\) cars offrent \(57 \times 22 = 1\,254\) places. Places libres : \[1\,254 - 1\,250 = \mathbf{4 \text{ places}}\]

Étape 1 — Essence consommée pour 300 km

\[6{,}5 \times 3 = \mathbf{19{,}5 \text{ L}}\]

Étape 2 — Prix de cette essence

\[19{,}5 \times 1{,}87\]

On calcule sans les virgules : \(195 \times 187 = 36\,465\). Il y a \(1 + 2 = 3\) chiffres après la virgule : \(19{,}5 \times 1{,}87 = 36{,}465\).

Arrondi au centime (au centième) : le chiffre des millièmes est \(5\), on ajoute \(1\) au chiffre des centièmes. \[\text{Prix} \approx \mathbf{36{,}47 \text{ €}}\]

Étape 1 — Comparaison \(0{,}8\) et \(0{,}79\)

On aligne : \(0{,}80\) et \(0{,}79\). Parties entières égales (\(0=0\)), puis dixièmes : \(8 > 7\). Donc \(\mathbf{0{,}8 > 0{,}79}\) ✓.

Étape 2 — Test de "deux fois plus grand"

"Deux fois plus grand que \(X\)" signifie « égal à \(2X\) ». Donc \(0{,}8\) devrait égaler \(2 \times 0{,}395 = 0{,}79\). Or \(0{,}8 \neq 0{,}79\).

Paul a tort : "plus grand" ne veut pas dire "deux fois plus grand".

Étape 3 — Calcul exact de \(0{,}8 \div 2\)

\[0{,}8 \div 2 = \mathbf{0{,}4}\]

(et non pas \(0{,}395\), qui aurait correspondu à \(0{,}79 \div 2\)).

Étape 1 — Nombre maximum de cahiers

On cherche combien de cahiers à \(2{,}35\) € on peut payer avec \(50\) €. On essaie des multiplications :

• \(2{,}35 \times 20 = 47\) € : c'est possible, il reste de l'argent ;
• \(2{,}35 \times 21 = 47 + 2{,}35 = 49{,}35\) € : c'est encore possible (\(49{,}35 \leq 50\)) ;
• \(2{,}35 \times 22 = 49{,}35 + 2{,}35 = 51{,}70\) € : c'est trop (\(51{,}70 > 50\)).

On peut donc acheter au maximum 21 cahiers.

Étape 2 — Somme restante

\[50 - 49{,}35 = \mathbf{0{,}65 \text{ €}}\]

Étape 3 — Achat du stylo

Stylo = \(1{,}50\) € ; reste = \(0{,}65\) €. Comme \(0{,}65 < 1{,}50\), la somme est insuffisante.

a) Trois tours de \(400{,}52\) m : \[3 \times 400{,}52 = \mathbf{1\,201{,}56 \text{ m}}\]

b) \(1\) km \(= 1\,000\) m, donc on divise par \(1\,000\) (les chiffres reculent de \(3\) rangs) : \[1\,201{,}56 \text{ m} = \mathbf{1{,}201\,56 \text{ km}}\]

c) Au dixième de km : le chiffre des dixièmes est \(2\), le chiffre suivant (centièmes) est \(0\), donc on garde \(2\) : \[1{,}201\,56 \approx \mathbf{1{,}2 \text{ km}}\]

d) \(5\) km \(= 5\,000\) m. On cherche combien de tours il faut pour atteindre \(5\,000\) m :

• \(12\) tours : \(400{,}52 \times 12 = 4\,806{,}24\) m : pas assez (\(4\,806{,}24 < 5\,000\)) ;
• \(13\) tours : \(4\,806{,}24 + 400{,}52 = 5\,206{,}76\) m : c'est suffisant.

Il doit faire au minimum 13 tours.