6e · Chapitre 9 · Algèbre

Pré-algèbre : égalités et motifs

30 exercices corrigés

1 Le signe « = » veut dire « vaut autant que »

Le signe $=$ ne veut pas seulement dire « le résultat est ». Il indique que ce qui est écrit à gauche vaut autant que ce qui est écrit à droite, comme une balance en équilibre.

$3 + 5 = 8 \qquad 8 = 3 + 5 \qquad 3 + 5 = 4 + 4 \qquad 2 \times 6 = 3 \times 4$

Toutes ces égalités sont vraies.

Attention

On n'écrit pas « $3 + 5 = 8 + 2 = 10$ » ! C'est faux, car $3 + 5$ ne vaut pas $10$. On écrit plutôt deux lignes : $3 + 5 = 8$, puis $8 + 2 = 10$.

2 Les égalités à trous

Dans une égalité à trous, il manque un nombre : $8 + \square = 15$. On cherche le nombre qui rend l'égalité vraie.

Méthode

On utilise l'opération inverse.

L'addition et la soustraction « se défont » l'une l'autre : $8 + \square = 15$, donc $\square = 15 - 8 = 7$.
La multiplication et la division « se défont » l'une l'autre : $6 \times \square = 42$, donc $\square = 42 \div 6 = 7$.

On vérifie toujours en remettant le nombre trouvé dans l'égalité : $8 + 7 = 15$ ✓.

Exemple

$\square - 9 = 21$. Le nombre de départ, auquel on a enlevé $9$, donne $21$ : on rajoute $9$. $\square = 21 + 9 = 30$. Vérification : $30 - 9 = 21$ ✓.

Astuce

Quand le trou est des deux côtés de l'égalité, on calcule d'abord le côté complet : $9 + 6 = \square + 10$ ; à gauche, $9 + 6 = 15$ ; donc $\square + 10 = 15$ et $\square = 5$.

3 Les schémas en barres

Pour résoudre un problème, on peut dessiner les quantités sous forme de barres. Le schéma montre ce qu'on connaît et ce qu'on cherche.

Partie et tout. Un sac contient $45$ billes : $28$ sont rouges, les autres sont bleues. Combien y a-t-il de billes bleues ?

Le tout (45) est formé de deux parties : 28 et la partie cherchée.

Comparaison. Léa a $3$ fois plus d'argent que Tom. Ensemble, ils ont $48$ €. Combien a chacun ?

Tom a 1 part, Léa a 3 parts identiques : 4 parts égales en tout.

Tom a $12$ € et Léa a $3 \times 12 = 36$ €. Vérification : $12 + 36 = 48$ ✓.

Méthode

Je lis l'énoncé et je repère les quantités.
Je dessine une barre par quantité, en respectant les tailles (« $3$ fois plus » → $3$ barres identiques).
J'indique ce que je connais et je mets un « ? » sur ce que je cherche.
Je calcule, puis je vérifie avec l'énoncé.

4 Les motifs qui évoluent

On construit des figures de plus en plus grandes en suivant une règle.

Des carrés alignés faits avec des allumettes : on ajoute 3 allumettes à chaque étape.

Étape	1	2	3	4	5
Allumettes	4	7	10	13	16

Pour l'étape $10$, on n'a pas besoin de tout dessiner : il y a une allumette au début, puis $3$ allumettes par carré. À l'étape $10$ : $1 + 3 \times 10 = 31$ allumettes.

À retenir

Pour un motif, on cherche ce qui reste pareil et ce qui change à chaque étape. On peut alors écrire une règle en mots : « nombre d'allumettes $= 3 \times$ numéro de l'étape $+ 1$ ».

5 Les programmes de calcul

Un programme de calcul est une suite d'instructions à appliquer à un nombre de départ.

Exemple

« Choisis un nombre. Ajoute $4$. Multiplie le résultat par $3$. » Avec $5$ : $5 + 4 = 9$, puis $9 \times 3 = 27$.

Pour retrouver le nombre de départ à partir du résultat, on remonte le programme en utilisant les opérations inverses, dans l'ordre inverse : si on obtient $30$, on divise par $3$ ($10$), puis on enlève $4$ : le nombre de départ était $6$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 5e, le « $\square$ » des égalités à trous sera remplacé par une lettre, par exemple $x$. Tu écriras $8 + x = 15$ : c'est une équation !

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Signe $=$	« vaut autant que » : les deux côtés ont la même valeur
Égalité à trous	On trouve le nombre manquant avec l'opération inverse
Opérations inverses	$+$ et $-$ ; $\times$ et $\div$
Vérifier	On remplace le trou par le nombre trouvé
Schéma en barres	Une barre par quantité ; « $3$ fois plus » = $3$ barres identiques
Motif évolutif	Chercher ce qui ne change pas et ce qu'on ajoute à chaque étape
Programme de calcul	Pour remonter : opérations inverses, dans l'ordre inverse

Pièges à éviter

Ne pas enchaîner des « $=$ » qui ne sont pas vrais ($3 + 5 = 8 + 2$ est faux).
« $17$ de plus » : on ajoute ; « $3$ fois plus » : on multiplie.
Pour remonter un programme de calcul, on commence par la dernière opération.
Toujours vérifier la réponse dans l'énoncé.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Vrai ou faux ?Niveau 1

Ces égalités sont-elles vraies ou fausses ?
a) $7 + 5 = 12$
b) $12 = 7 + 5$
c) $4 \times 5 = 2 \times 10$
d) $15 - 6 = 6 - 15$
e) $3 + 4 = 7 + 2$

Voir la correction›

Méthode

on calcule chaque côté de l'égalité séparément, puis on compare.

a) Gauche : $12$ ; droite : $12$ → vraie.

b) Gauche : $12$ ; droite : $7 + 5 = 12$ → vraie (le résultat peut être écrit à gauche).

c) Gauche : $20$ ; droite : $20$ → vraie.

d) Gauche : $15 - 6 = 9$ ; à droite, on ne peut pas enlever $15$ à $6$ (le résultat n'est pas $9$) → fausse. On ne peut pas inverser l'ordre dans une soustraction.

e) Gauche : $7$ ; droite : $9$ → fausse.

Exercice 2—Égalités à trous (addition et soustraction)Niveau 1

Trouve le nombre manquant :
a) $8 + \square = 15$
b) $\square + 26 = 40$
c) $50 - \square = 32$
d) $\square - 9 = 21$

Voir la correction›

Méthode

l'addition et la soustraction sont des opérations inverses.

a) $\square = 15 - 8 = \mathbf{7}$. Vérification : $8 + 7 = 15$ ✓.

b) $\square = 40 - 26 = \mathbf{14}$. Vérification : $14 + 26 = 40$ ✓.

c) On enlève $\square$ à $50$ et il reste $32$ : on a enlevé $50 - 32 = \mathbf{18}$. Vérification : $50 - 18 = 32$ ✓.

d) Un nombre auquel on enlève $9$ donne $21$ : $\square = 21 + 9 = \mathbf{30}$. Vérification : $30 - 9 = 21$ ✓.

Exercice 3—Égalités à trous (multiplication et division)Niveau 1

Trouve le nombre manquant :
a) $6 \times \square = 42$
b) $\square \times 8 = 72$
c) $45 \div \square = 9$
d) $\square \div 4 = 12$

Voir la correction›

Méthode

la multiplication et la division sont des opérations inverses.

a) $\square = 42 \div 6 = \mathbf{7}$. Vérification : $6 \times 7 = 42$ ✓.

b) $\square = 72 \div 8 = \mathbf{9}$. Vérification : $9 \times 8 = 72$ ✓.

c) On cherche par quoi diviser $45$ pour obtenir $9$ : $45 \div 9 = \mathbf{5}$. Vérification : $45 \div 5 = 9$ ✓.

d) Un nombre divisé par $4$ donne $12$ : $\square = 12 \times 4 = \mathbf{48}$. Vérification : $48 \div 4 = 12$ ✓.

Exercice 4—Équilibrer les deux côtésNiveau 1

Complète pour que l'égalité soit vraie :
a) $9 + 6 = \square + 10$
b) $25 + \square = 20 + 13$
c) $3 \times 8 = 6 \times \square$
d) $100 - 40 = \square - 50$

Voir la correction›

Méthode

on calcule le côté complet, puis on résout l'égalité à trous.

a) Gauche : $9 + 6 = 15$. Donc $\square + 10 = 15$ et $\square = \mathbf{5}$.

b) Droite : $20 + 13 = 33$. Donc $25 + \square = 33$ et $\square = \mathbf{8}$.

c) Gauche : $3 \times 8 = 24$. Donc $6 \times \square = 24$ et $\square = \mathbf{4}$.

d) Gauche : $100 - 40 = 60$. Donc $\square - 50 = 60$ et $\square = 60 + 50 = \mathbf{110}$.

Exercice 5—Filles et garçonsNiveau 1

Dans une classe de $27$ élèves, il y a $15$ filles.
a) Dessine un schéma en barres.
b) Combien y a-t-il de garçons ?

Voir la correction›

a) Une grande barre représente les $27$ élèves ; elle est coupée en deux morceaux : « $15$ filles » et « ? garçons ».

b) $15 + \square = 27$, donc $\square = 27 - 15 = \mathbf{12}$ garçons.

🔍 Vérification : $15 + 12 = 27$ ✓.

Exercice 6—Les jetonsNiveau 1

On construit des figures avec des jetons : $2$ jetons à l'étape 1, $4$ jetons à l'étape 2, $6$ jetons à l'étape 3…
a) Combien de jetons à l'étape 4 ? À l'étape 5 ?
b) Combien de jetons à l'étape 10 ?
c) Écris en mots la règle qui donne le nombre de jetons.

Voir la correction›

Méthode

on regarde ce qui change d'une étape à la suivante : on ajoute $2$ jetons à chaque fois.

a) Étape 4 : $6 + 2 = \mathbf{8}$ jetons. Étape 5 : $8 + 2 = \mathbf{10}$ jetons.

b) On remarque que le nombre de jetons est toujours le double du numéro de l'étape : étape 10 → $2 \times 10 = \mathbf{20}$ jetons.

c) Nombre de jetons $= 2 \times$ numéro de l'étape.

Exercice 7—Égalités à trousNiveau 1

Trouve le nombre manquant :
a) $17 + \ldots = 42$ $\quad$
b) $\ldots \times 6 = 54$ $\quad$
c) $50 - \ldots = 18$ $\quad$
d) $\ldots \div 4 = 7$

Voir la correction›

a) $42 - 17 = \mathbf{25}$ ; b) $54 \div 6 = \mathbf{9}$ ; c) $50 - 18 = \mathbf{32}$ ; d) $7 \times 4 = \mathbf{28}$.

🎯 On utilise l'opération « inverse » : addition ↔ soustraction, multiplication ↔ division.

Exercice 8—Vrai ou faux ?Niveau 1

a) $3 \times 4 + 2 = 14$ $\quad$
b) $20 - 5 = 5 \times 3$ $\quad$
c) $10 + 10 = 10 \times 10$

Voir la correction›

a) $12 + 2 = 14$ : vrai. b) $15 = 15$ : vrai. c) $20 \ne 100$ : faux.

Exercice 9—Programme de calculNiveau 1

« Choisis un nombre. Multiplie-le par $2$. Ajoute $5$. » Applique ce programme à $4$, puis à $10$, puis à $0{,}5$.

Voir la correction›

$4$ : $4 \times 2 = 8$, puis $8 + 5 = \mathbf{13}$ ;
$10$ : $20 + 5 = \mathbf{25}$ ;
$0{,}5$ : $1 + 5 = \mathbf{6}$.

Exercice 10—Schéma en barresNiveau 1

Léa et Tom ont $36$ billes en tout. Léa en a deux fois plus que Tom.
a) Dessine un schéma en barres.
b) Combien chacun a-t-il de billes ?

Voir la correction›

a) Tom : une barre ; Léa : deux barres de la même taille. En tout : $3$ barres.

b) Une barre vaut $36 \div 3 = 12$. Tom a $12$ billes et Léa $24$ billes. 🔍 $12 + 24 = 36$ ✓

Exercice 11—Les carrés d'allumettesNiveau 1

Avec des allumettes, on construit une rangée de carrés collés : $1$ carré utilise $4$ allumettes, $2$ carrés en utilisent $7$, $3$ carrés en utilisent $10$.
a) Combien faut-il d'allumettes pour $4$ carrés ? pour $10$ carrés ?
b) Explique ta méthode.

Voir la correction›

a) On ajoute $3$ allumettes à chaque nouveau carré : $4$ carrés → $\mathbf{13}$ ; $10$ carrés → $4 + 9 \times 3 = \mathbf{31}$.

b) Le premier carré demande $4$ allumettes, et chaque carré suivant n'en demande que $3$ (il partage un côté avec le précédent).

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Égalités à trous avec des décimauxNiveau 2

Trouve le nombre manquant :
a) $3{,}5 + \square = 10$
b) $\square - 2{,}4 = 5{,}6$
c) $4 \times \square = 10$
d) $\square \times 10 = 37$

Voir la correction›

a) $\square = 10 - 3{,}5 = \mathbf{6{,}5}$. Vérification : $3{,}5 + 6{,}5 = 10$ ✓.

b) $\square = 5{,}6 + 2{,}4 = \mathbf{8}$. Vérification : $8 - 2{,}4 = 5{,}6$ ✓.

c) $\square = 10 \div 4 = \mathbf{2{,}5}$. Vérification : $4 \times 2{,}5 = 10$ ✓.

d) $\square = 37 \div 10 = \mathbf{3{,}7}$. Vérification : $3{,}7 \times 10 = 37$ ✓.

Exercice 13—Les cartesNiveau 2

Tom a $38$ cartes. Léa en a $17$ de plus que Tom.
a) Dessine un schéma en barres.
b) Combien Léa a-t-elle de cartes ?
c) Combien en ont-ils ensemble ?

Voir la correction›

a) La barre de Tom représente $38$. La barre de Léa est formée d'une barre identique à celle de Tom ($38$), plus un morceau de $17$.

b) $38 + 17 = \mathbf{55}$ cartes.

c) $38 + 55 = \mathbf{93}$ cartes.

Piège

« $17$ de plus » ne veut pas dire « $17$ fois plus » : on ajoute $17$.

Exercice 14—Quatre fois plusNiveau 2

Ensemble, Tom et Léa ont $60$ €. Léa a $4$ fois plus d'argent que Tom.
a) Dessine un schéma en barres.
b) Combien chacun a-t-il ?

Voir la correction›

a) Tom : $1$ part. Léa : $4$ parts identiques à celle de Tom. En tout : $1 + 4 = 5$ parts égales, qui valent $60$ €.

b) Une part : $60 \div 5 = 12$ €.

Tom : $\mathbf{12}$ €.
Léa : $4 \times 12 = \mathbf{48}$ €.

🔍 Vérification : $12 + 48 = 60$ ✓ et $48 = 4 \times 12$ ✓.

Exercice 15—Les allumettesNiveau 2

On reprend le motif du cours : des carrés alignés faits avec des allumettes ($4$ allumettes à l'étape 1, $7$ à l'étape 2, $10$ à l'étape 3).
a) Complète le tableau pour les étapes 1 à 5.
b) Combien faut-il d'allumettes à l'étape 10 ?
c) Avec $61$ allumettes, quelle étape peut-on construire exactement ?

Voir la correction›

a) On ajoute $3$ allumettes à chaque étape :

Étape	1	2	3	4	5
Allumettes	4	7	10	13	16

b) Il y a $1$ allumette au départ, puis $3$ par carré : $1 + 3 \times 10 = \mathbf{31}$ allumettes.

c) On enlève l'allumette de départ : $61 - 1 = 60$. Chaque carré utilise $3$ allumettes : $60 \div 3 = 20$. On peut construire exactement l'étape 20.

🔍 Vérification : $1 + 3 \times 20 = 61$ ✓.

Exercice 16—Programme de calculNiveau 2

« Choisis un nombre. Ajoute $4$. Multiplie le résultat par $3$. »
a) Applique ce programme à $5$.
b) Applique-le à $0$.
c) Applique-le à $2{,}5$.
d) Léo a obtenu $30$. Quel nombre avait-il choisi ?

Voir la correction›

a) $5 + 4 = 9$, puis $9 \times 3 = \mathbf{27}$.

b) $0 + 4 = 4$, puis $4 \times 3 = \mathbf{12}$.

c) $2{,}5 + 4 = 6{,}5$, puis $6{,}5 \times 3 = \mathbf{19{,}5}$.

d) 🎯 On remonte le programme avec les opérations inverses, en commençant par la fin :

la dernière étape était « $\times 3$ » : on fait $30 \div 3 = 10$ ;
l'étape d'avant était « $+ 4$ » : on fait $10 - 4 = 6$.

Léo avait choisi $\mathbf{6}$. Vérification : $6 + 4 = 10$ et $10 \times 3 = 30$ ✓.

Exercice 17—Les cahiersNiveau 2

J'ai acheté $3$ cahiers identiques et une gomme à $1{,}50$ €. J'ai payé $9$ € en tout. Quel est le prix d'un cahier ?

Voir la correction›

Méthode

schéma en barres : $3$ parts identiques (les cahiers) et un morceau de $1{,}50$ € (la gomme) font $9$ €.

Étape 1 — Enlever la gomme

$9 - 1{,}50 = 7{,}50$ € pour les $3$ cahiers.

Étape 2 — Prix d'un cahier

$7{,}50 \div 3 = \mathbf{2{,}50 \text{ €}}$.

🔍 Vérification : $3 \times 2{,}50 + 1{,}50 = 7{,}50 + 1{,}50 = 9$ € ✓.

Exercice 18—La balanceNiveau 2

Une balance est en équilibre. Sur le plateau de gauche : $4$ boîtes identiques et une masse de $200$ g. Sur le plateau de droite : une masse de $1$ kg. Quelle est la masse d'une boîte ?

Voir la correction›

Méthode

la balance est en équilibre, donc les deux plateaux ont la même masse. On travaille en grammes : $1$ kg $= 1\,000$ g.

Étape 1 — On enlève $200$ g des deux côtés (l'équilibre est conservé) : les $4$ boîtes pèsent $1\,000 - 200 = 800$ g.

Étape 2 — Une boîte : $800 \div 4 = \mathbf{200 \text{ g}}$.

🔍 Vérification : $4 \times 200 + 200 = 1\,000$ g $= 1$ kg ✓.

Exercice 19—Nombres mystèresNiveau 2

Trouve le nombre mystère :
a) Le double de ce nombre, augmenté de $5$, vaut $17$.
b) $(\square + 3) \times 4 = 36$
c) $(\square - 4) \div 2 = 8$

Voir la correction›

Méthode

on remonte les calculs avec les opérations inverses, en partant de la fin.

a) Le double du nombre, plus $5$, donne $17$. On enlève $5$ : $17 - 5 = 12$ ; c'est le double du nombre, donc le nombre vaut $12 \div 2 = \mathbf{6}$. Vérification : $2 \times 6 + 5 = 17$ ✓.

b) $(\square + 3) \times 4 = 36$. Ce qui est entre parenthèses vaut $36 \div 4 = 9$. Donc $\square + 3 = 9$ et $\square = \mathbf{6}$. Vérification : $(6 + 3) \times 4 = 9 \times 4 = 36$ ✓.

c) $(\square - 4) \div 2 = 8$. Ce qui est entre parenthèses vaut $8 \times 2 = 16$. Donc $\square - 4 = 16$ et $\square = \mathbf{20}$. Vérification : $(20 - 4) \div 2 = 16 \div 2 = 8$ ✓.

Exercice 20—La balanceNiveau 2

Sur une balance équilibrée, il y a d'un côté $3$ boîtes identiques et une masse de $4$ kg, de l'autre côté une masse de $19$ kg. Combien pèse une boîte ?

Voir la correction›

Les $3$ boîtes pèsent $19 - 4 = 15$ kg, donc une boîte pèse $15 \div 3 = \mathbf{5}$ kg.

Exercice 21—Remonter un programmeNiveau 2

« Choisis un nombre. Multiplie-le par $3$. Enlève $1$. » Zoé obtient $20$. Quel nombre a-t-elle choisi ?

Voir la correction›

🎯 On remonte le programme en faisant les opérations inverses, dans l'ordre inverse. $20 + 1 = 21$, puis $21 \div 3 = \mathbf{7}$. 🔍 $7 \times 3 - 1 = 20$ ✓

Exercice 22—Les âgesNiveau 2

Deux frères ont $40$ ans à eux deux. L'aîné a $6$ ans de plus que le cadet. Quel âge a chacun ? (Tu peux t'aider d'un schéma en barres.)

Voir la correction›

Si on enlève les $6$ ans d'écart, il reste $40 - 6 = 34$ ans, soit deux parts égales de $17$ ans. Le cadet a $17$ ans et l'aîné $23$ ans. 🔍 $17 + 23 = 40$ ✓

Exercice 23—Avec des décimauxNiveau 2

Trouve le nombre manquant :
a) $2{,}5 + \ldots = 7{,}1$ $\quad$
b) $\ldots \div 4 = 2{,}5$ $\quad$
c) $\ldots \times 10 = 3{,}7$

Voir la correction›

a) $7{,}1 - 2{,}5 = \mathbf{4{,}6}$ ; b) $2{,}5 \times 4 = \mathbf{10}$ ; c) $3{,}7 \div 10 = \mathbf{0{,}37}$.

Exercice 24—Une formule pour un motifNiveau 2

Pour le motif de l'exercice sur les carrés d'allumettes, le nombre d'allumettes pour $n$ carrés est « $3 \times n + 1$ ».
a) Vérifie cette formule pour $1$, $2$ et $3$ carrés.
b) Combien de carrés peut-on construire avec $61$ allumettes ?

Voir la correction›

a) $3 \times 1 + 1 = 4$ ✓ ; $3 \times 2 + 1 = 7$ ✓ ; $3 \times 3 + 1 = 10$ ✓

b) $3 \times n + 1 = 61$, donc $3 \times n = 60$ et $n = \mathbf{20}$ carrés.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—La bordure de carrelageNiveau 3

On entoure un carré de carreaux blancs par une bordure de carreaux gris :

étape 1 : $1$ carreau blanc entouré de $8$ carreaux gris ;
étape 2 : un carré de $2 \times 2$ carreaux blancs entouré de $12$ carreaux gris ;
étape 3 : un carré de $3 \times 3$ carreaux blancs entouré de $16$ carreaux gris.

a) Combien de carreaux gris à l'étape 4 ? À l'étape 10 ?
b) Écris en mots une règle qui donne le nombre de carreaux gris.
c) À quelle étape la bordure compte-t-elle $100$ carreaux gris ?

Voir la correction›

Méthode

on regarde comment évolue le nombre de carreaux gris : $8$, $12$, $16$… on ajoute $4$ à chaque étape.

a) Étape 4 : $16 + 4 = \mathbf{20}$ carreaux gris. On remarque : $8 = 4 \times 1 + 4$ ; $12 = 4 \times 2 + 4$ ; $16 = 4 \times 3 + 4$. À l'étape 10 : $4 \times 10 + 4 = \mathbf{44}$ carreaux gris.

b) Nombre de carreaux gris $= 4 \times$ numéro de l'étape $+ 4$. (Il y a une rangée de carreaux gris le long de chacun des $4$ côtés du carré blanc, plus les $4$ coins.)

c) On remonte : $100 - 4 = 96$, puis $96 \div 4 = 24$. C'est l'étape 24. Vérification : $4 \times 24 + 4 = 96 + 4 = 100$ ✓.

Exercice 26—Les âgesNiveau 3

Un père a $30$ ans de plus que son fils. Ensemble, ils ont $46$ ans. Quel âge a chacun ?

Voir la correction›

Méthode

schéma en barres. Le fils : $1$ barre. Le père : $1$ barre identique, plus $30$ ans.

Étape 1 — Ensemble : $2$ barres identiques $+ 30 = 46$. On enlève les $30$ ans : $2$ barres $= 46 - 30 = 16$.

Étape 2 — Une barre : $16 \div 2 = 8$.

Le fils a $\mathbf{8}$ ans.
Le père a $8 + 30 = \mathbf{38}$ ans.

🔍 Vérification : $8 + 38 = 46$ ✓ et $38 - 8 = 30$ ✓.

Exercice 27—Le partage des billesNiveau 3

Trois amis se partagent $90$ billes. Ali a $2$ fois plus de billes que Ben, et Cléo a $10$ billes de plus que Ben. Combien de billes a chacun ?

Voir la correction›

Méthode

on choisit Ben comme « $1$ part », car les deux autres sont comparés à lui.

Ben : $1$ part ;
Ali : $2$ parts ;
Cléo : $1$ part $+ 10$ billes.

Étape 1 — En tout : $4$ parts $+ 10 = 90$, donc $4$ parts $= 90 - 10 = 80$.

Étape 2 — Une part : $80 \div 4 = 20$.

Ben : $\mathbf{20}$ billes ;
Ali : $2 \times 20 = \mathbf{40}$ billes ;
Cléo : $20 + 10 = \mathbf{30}$ billes.

🔍 Vérification : $20 + 40 + 30 = 90$ ✓.

Exercice 28—Remonter un programmeNiveau 3

« Choisis un nombre. Multiplie-le par $5$. Soustrais $7$. »
a) Applique ce programme à $4$.
b) On a obtenu $38$. Quel nombre avait-on choisi ?
c) Peut-on obtenir $0$ en choisissant un nombre entier ? Explique.

Voir la correction›

a) $4 \times 5 = 20$, puis $20 - 7 = \mathbf{13}$.

b) On remonte depuis la fin : « $- 7$ » se défait par « $+ 7$ » : $38 + 7 = 45$ ; « $\times 5$ » se défait par « $\div 5$ » : $45 \div 5 = 9$. On avait choisi $\mathbf{9}$. Vérification : $9 \times 5 - 7 = 45 - 7 = 38$ ✓.

c) On remonte depuis $0$ : $0 + 7 = 7$, puis $7 \div 5 = 1{,}4$. Le nombre de départ devrait être $1{,}4$, qui n'est pas un nombre entier : non, on ne peut pas obtenir $0$ en partant d'un nombre entier (mais on l'obtient avec $1{,}4$).

Exercice 29—Les triangles d'allumettesNiveau 3

On aligne des triangles faits avec des allumettes, chaque nouveau triangle partageant un côté avec le précédent : $1$ triangle utilise $3$ allumettes, $2$ triangles en utilisent $5$, $3$ triangles en utilisent $7$.
a) Combien faut-il d'allumettes pour $10$ triangles ?
b) Combien de triangles peut-on faire avec exactement $101$ allumettes ?
c) Peut-on utiliser exactement $50$ allumettes ? Explique.

Voir la correction›

Méthode

le premier triangle utilise $3$ allumettes ; chaque triangle suivant n'en ajoute que $2$ (il partage un côté avec le précédent).

On peut aussi voir la règle ainsi : $1$ allumette au départ, puis $2$ allumettes par triangle : $3 = 1 + 2 \times 1$ ; $5 = 1 + 2 \times 2$ ; $7 = 1 + 2 \times 3$.

a) $10$ triangles : $1 + 2 \times 10 = \mathbf{21}$ allumettes.

b) On remonte : $101 - 1 = 100$, puis $100 \div 2 = 50$ : $50$ triangles.

c) Le nombre d'allumettes est toujours « un nombre pair $+ 1$ » ($2 \times \ldots + 1$) : c'est toujours un nombre impair. Or $50$ est pair : impossible d'utiliser exactement $50$ allumettes.

Exercice 30—Synthèse : au cinémaNiveau 3

Au cinéma, une place adulte coûte $4$ € de plus qu'une place enfant. Une famille de $2$ adultes et $3$ enfants paie $43$ € en tout.
a) Dessine un schéma en barres.
b) Quel est le prix d'une place enfant ? D'une place adulte ?
c) Vérifie ta réponse.

Voir la correction›

a) Chaque place enfant est une barre. Chaque place adulte est une barre identique plus $4$ €. La famille achète $3$ places enfant et $2$ places adulte : $5$ barres identiques et $2$ morceaux de $4$ €, pour $43$ €.

b) Étape 1 — On enlève les suppléments : $43 - 2 \times 4 = 43 - 8 = 35$ € pour $5$ barres. Étape 2 — Une barre : $35 \div 5 = 7$ €.

Place enfant : $\mathbf{7}$ €.
Place adulte : $7 + 4 = \mathbf{11}$ €.

c) $2 \times 11 + 3 \times 7 = 22 + 21 = 43$ € ✓, et $11 - 7 = 4$ € ✓.