Pour indiquer une température sous zéro, un étage de parking ou une dette, on utilise des nombres négatifs, écrits avec le signe \(-\) : \(-5\) °C, niveau \(-2\), \(-30\) €.
Sur une droite graduée, les nombres négatifs sont à gauche de zéro, les positifs à droite. Le nombre qui repère un point s'appelle son abscisse.
Sur la droite graduée, le plus grand nombre est le plus à droite.
\(-5\) est plus petit que \(-2\), même si \(5\) est plus grand que \(2\).
On peut voir une addition comme un déplacement sur la droite graduée : ajouter un nombre positif, c'est avancer vers la droite ; ajouter un nombre négatif, c'est reculer vers la gauche.
même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe. \((-4) + (-6) = -10\) ; \((+3) + (+5) = +8\).
signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. \((+8) + (-3) = +5\) ; \((-7) + (+4) = -3\).
La somme de deux nombres opposés est nulle : \((-9) + (+9) = 0\).
Pense à de l'argent ! \(+8\), c'est un gain de \(8\) € ; \(-3\), une perte de \(3\) €. Gagner \(8\) € et perdre \(3\) €, c'est gagner \(5\) € en tout.
soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. \[5 - (+8) = 5 + (-8) = -3 \qquad -3 - (-7) = -3 + (+7) = 4\]
\(A = (-5) + (+3) - (-4) + (-7) = (-5) + (+3) + (+4) + (-7) = (+7) + (-12) = -5\).
La distance entre deux points d'une droite graduée est la différence de leurs abscisses (la plus grande moins la plus petite). Entre \(-3\) et \(5\) : \(5 - (-3) = 8\).
Contenu facultatif, non exigible.
En 4e, tu apprendras à multiplier et à diviser des nombres relatifs (par exemple \((-3) \times (-4)\)).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Opposé | même distance à zéro, signe contraire : \(-7\) et \(7\) |
| Distance à zéro | \(|-7| = 7\) ; toujours positive |
| Comparer | Le plus grand est le plus à droite ; entre deux négatifs, le plus proche de \(0\) est le plus grand |
| Addition, même signe | On additionne les distances à zéro, on garde le signe |
| Addition, signes contraires | On soustrait les distances à zéro, signe de la plus grande |
| Soustraction | \(a - b = a + (\text{opposé de } b)\) |
| Écart entre deux nombres | La différence des deux nombres (le plus grand moins le plus petit) |
a) \(|-8| = ?\)
b) \(|+12| = ?\)
c) Quel est l'opposé de \(-7\) ?
d) Quel est l'opposé de \(+4\) ?
e) \(|{-3}| + |{+5}| = ?\)
la distance à zéro est toujours positive ; l'opposé a la même distance à zéro, avec le signe contraire.
a) \(|-8| = \mathbf{8}\)
b) \(|+12| = \mathbf{12}\)
c) L'opposé de \(-7\) est \(\mathbf{+7}\).
d) L'opposé de \(+4\) est \(\mathbf{-4}\).
e) \(3 + 5 = \mathbf{8}\)
Place le symbole \(<\), \(>\) ou \(=\) :
a) \(-3\) ⬜ \(-7\)
b) \(+2\) ⬜ \(-10\)
c) \(-1\) ⬜ \(0\)
d) \(-4\) ⬜ \(-4\)
le plus grand est le plus à droite sur la droite graduée.
a) \(-3\) est à droite de \(-7\) : \(\mathbf{-3 > -7}\).
b) Un positif est plus grand qu'un négatif : \(\mathbf{+2 > -10}\).
c) \(\mathbf{-1 < 0}\).
d) \(\mathbf{-4 = -4}\).
Calcule :
a) \((+4) + (+7)\)
b) \((-3) + (-5)\)
c) \((+8) + (-3)\)
d) \((-6) + (+4)\)
e) \((-9) + (+9)\)
a) Même signe : \(4 + 7 = 11\), signe \(+\) : \(\mathbf{+11}\).
b) Même signe : \(3 + 5 = 8\), signe \(-\) : \(\mathbf{-8}\).
c) Signes contraires : \(8 - 3 = 5\), signe du \(8\) : \(\mathbf{+5}\).
d) Signes contraires : \(6 - 4 = 2\), signe du \(6\) : \(\mathbf{-2}\).
e) Deux opposés : \(\mathbf{0}\).
Calcule :
a) \(7 - (+3)\)
b) \(5 - (-2)\)
c) \(-4 - (+6)\)
d) \(-3 - (-8)\)
soustraire, c'est ajouter l'opposé.
a) \(7 - (+3) = 7 + (-3) = \mathbf{4}\)
b) \(5 - (-2) = 5 + (+2) = \mathbf{7}\)
c) \(-4 - (+6) = -4 + (-6) = \mathbf{-10}\)
d) \(-3 - (-8) = -3 + (+8) = \mathbf{5}\)
En b) et d), enlever un nombre négatif fait augmenter le résultat (enlever une dette, c'est s'enrichir !).
Sur une droite graduée de \(1\) en \(1\), le point \(A\) est à \(4\) graduations à gauche de l'origine, le point \(B\) est au milieu entre \(-2\) et \(-1\), le point \(C\) est à \(2\) graduations à droite de l'origine et le point \(D\) est le symétrique de \(A\) par rapport à l'origine.
a) Donne les abscisses de \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
b) Quels points ont des abscisses opposées ?
a) \(A\) : \(\mathbf{-4}\) ; \(B\) : \(\mathbf{-1{,}5}\) ; \(C\) : \(\mathbf{2}\) ; \(D\), symétrique de \(A\) par rapport à l'origine : \(\mathbf{4}\).
b) \(A\) et \(D\) ont des abscisses opposées (\(-4\) et \(4\)).
a) \(-3\) est un nombre négatif.
b) \(0\) est à la fois positif et négatif.
c) L'opposé de \(-2{,}5\) est \(2{,}5\).
d) La distance à zéro de \(-7\) est \(-7\).
e) Le nombre \(-1\) est plus grand que le nombre \(-0{,}5\).
a) Vrai.
b) Vrai : \(0\) est le seul nombre à la fois positif et négatif.
c) Vrai.
d) Faux : une distance est toujours positive. \(|-7| = 7\).
e) Faux : \(-1\) est à gauche de \(-0{,}5\), donc \(-1 < -0{,}5\).
a) Donne l'opposé de \(-7\), de \(4{,}5\) et de \(0\).
b) Donne la distance à zéro de \(-3{,}5\) et de \(8\).
a) Opposés : \(\mathbf{7}\), \(\mathbf{-4{,}5}\) et \(\mathbf{0}\). b) Distances à zéro : \(\mathbf{3{,}5}\) et \(\mathbf{8}\).
Calcule :
a) \((-5) + (-8)\) \(\quad\)
b) \((-9) + 4\) \(\quad\)
c) \(6 + (-11)\) \(\quad\)
d) \((-2{,}5) + 2{,}5\)
a) Même signe : \(\mathbf{-13}\). b) Signes contraires, \(9 - 4 = 5\), signe de \(-9\) : \(\mathbf{-5}\). c) \(\mathbf{-5}\). d) Opposés : \(\mathbf{0}\).
Calcule :
a) \(3 - 8\) \(\quad\)
b) \((-4) - 6\) \(\quad\)
c) \(5 - (-7)\) \(\quad\)
d) \((-3) - (-9)\)
🎯 Soustraire, c'est ajouter l'opposé.
a) \(3 + (-8) = \mathbf{-5}\) ; b) \((-4) + (-6) = \mathbf{-10}\) ; c) \(5 + 7 = \mathbf{12}\) ; d) \((-3) + 9 = \mathbf{6}\).
Complète par \(<\) ou \(>\) :
a) \(-7 \ldots -2\) \(\quad\)
b) \(-0{,}5 \ldots -1\) \(\quad\)
c) \(3 \ldots -10\) \(\quad\)
d) \(-4{,}2 \ldots -4\)
a) \(-7 < -2\) ; b) \(-0{,}5 > -1\) ; c) \(3 > -10\) ; d) \(-4{,}2 < -4\).
Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Sur une droite graduée, le point \(A\) a pour abscisse \(-3\) et le point \(B\) a pour abscisse \(2\).
a) Quel point est le plus proche de l'origine ?
b) Quelle est la distance \(AB\) ?
a) \(B\) (distance \(2\), contre \(3\) pour \(A\)).
b) \(AB = 2 - (-3) = \mathbf{5}\) unités.
\[-7 \quad ; \quad +3 \quad ; \quad -1 \quad ; \quad 0 \quad ; \quad +8 \quad ; \quad -12 \quad ; \quad -0{,}5\]
d'abord les négatifs (du plus éloigné de \(0\) au plus proche), puis \(0\), puis les positifs.
\[\mathbf{-12 < -7 < -1 < -0{,}5 < 0 < +3 < +8}\]
Calcule : \[A = (-5) + (+3) - (-4) + (-7) \qquad B = 6 - (-3) + (-8) - (+2)\]
on transforme les soustractions en additions, puis on regroupe.
Calcul de \(A\) \[A = (-5) + (+3) + (+4) + (-7)\] Positifs : \(3 + 4 = 7\) ; négatifs : \(-5 + (-7) = -12\). \[A = (+7) + (-12) = \mathbf{-5}\]
Calcul de \(B\) \[B = 6 + (+3) + (-8) + (-2)\] Positifs : \(6 + 3 = 9\) ; négatifs : \(-8 + (-2) = -10\). \[B = 9 + (-10) = \mathbf{-1}\]
Calcule en regroupant les nombres positifs et les nombres négatifs :
a) \(A = (+7) + (-3) + (+5) + (-9) + (+2)\)
b) \(B = -2{,}5 + 4 - 1{,}5 + 6\)
a) Positifs : \(7 + 5 + 2 = 14\) ; négatifs : \((-3) + (-9) = -12\). \[A = 14 + (-12) = \mathbf{2}\]
b) Positifs : \(4 + 6 = 10\) ; négatifs : \(-2{,}5 + (-1{,}5) = -4\). \[B = 10 + (-4) = \mathbf{6}\]
Le matin, la température est de \(-8\) °C. Dans la journée, elle monte de \(12\) °C. Le soir, elle baisse de \(5\) °C.
a) Quelle est la température en milieu de journée ?
b) Quelle est la température le soir ?
a) \(-8 + 12 = \mathbf{4}\) °C.
b) \(4 - 5 = 4 + (-5) = \mathbf{-1}\) °C.
Lucas a \(45\) € sur son compte. Il dépense \(78\) €, puis reçoit \(30\) €, puis paie \(12\) €.
a) Écris chaque opération avec un nombre relatif.
b) Quel est le solde final de son compte ?
a) Dépenser \(78\) € : \(-78\). Recevoir \(30\) € : \(+30\). Payer \(12\) € : \(-12\).
b) \(45 + (-78) + (+30) + (-12)\) Positifs : \(45 + 30 = 75\) ; négatifs : \(-78 + (-12) = -90\). \[75 + (-90) = \mathbf{-15 \text{ €}}\] Le compte de Lucas est à découvert de \(15\) €.
Dans un repère, place les points \(A(3 ; -2)\), \(B(-1 ; 4)\), \(C(-3 ; -3)\) et \(D(0 ; -4)\).
a) Quel point a une abscisse et une ordonnée toutes les deux négatives ?
b) Pour quels points l'abscisse et l'ordonnée sont-elles de signes contraires ?
c) Quel point est sur l'axe des ordonnées ?
a) \(C(-3 ; -3)\) : abscisse et ordonnée négatives.
b) \(A(3 ; -2)\) (abscisse positive, ordonnée négative) et \(B(-1 ; 4)\) (abscisse négative, ordonnée positive).
c) \(D(0 ; -4)\) : son abscisse est \(0\), il est sur l'axe des ordonnées.
Trouve le nombre manquant :
a) \(\square + (-7) = 3\)
b) \(-5 + \square = -12\)
c) \(\square - 5 = -9\)
a) \(\square = 3 - (-7) = 3 + 7 = \mathbf{10}\). Vérification : \(10 + (-7) = 3\) ✓.
b) \(\square = -12 - (-5) = -12 + 5 = \mathbf{-7}\). Vérification : \(-5 + (-7) = -12\) ✓.
c) \(\square = -9 + 5 = \mathbf{-4}\). Vérification : \(-4 - 5 = -9\) ✓.
Calcule la distance entre les points d'abscisses :
a) \(-3\) et \(5\)
b) \(-8\) et \(-2\)
c) \(-4{,}5\) et \(1{,}5\)
d) \(-10\) et \(0\)
la distance entre deux points est la différence « plus grand moins plus petit ».
a) \(5 - (-3) = 5 + 3 = \mathbf{8}\)
b) \(-2 - (-8) = -2 + 8 = \mathbf{6}\)
c) \(1{,}5 - (-4{,}5) = 1{,}5 + 4{,}5 = \mathbf{6}\)
d) \(0 - (-10) = \mathbf{10}\)
À \(7\) h, il fait \(-6\) °C ; à \(14\) h, il fait \(11\) °C. De combien de degrés la température a-t-elle augmenté ?
\(11 - (-6) = 11 + 6 = \mathbf{17}\) °C.
Calcule astucieusement : \(-4 + 7 - 9 + 2\).
On regroupe les positifs et les négatifs : \((7 + 2) + (-4 - 9) = 9 + (-13) = \mathbf{-4}\).
On donne \(A(-2 ; 3)\), \(B(4 ; -1)\), \(C(-3 ; -2)\).
a) Lequel de ces points a une abscisse et une ordonnée négatives ?
b) Lequel est le plus à gauche ?
a) \(\mathbf{C(-3 ; -2)}\). b) \(C\) aussi : son abscisse \(-3\) est la plus petite.
Un compte contient \(120\) €. On retire \(45\) €, puis \(90\) €, puis on dépose \(30\) €. Combien y a-t-il sur le compte ?
\(120 - 45 - 90 + 30 = 15\) : il reste \(15\) €.
Un plongeur est à \(-35\) m (sous le niveau de la mer). Un randonneur est au sommet d'une montagne à \(2\,800\) m. Quelle est la différence d'altitude entre les deux ?
\(2\,800 - (-35) = 2\,800 + 35 = \mathbf{2\,835}\) m.
Complète ce carré pour que la somme des nombres soit la même (\(0\)) sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale.
| \(-3\) | \(2\) | ? |
| ? | \(0\) | ? |
| ? | ? | \(3\) |
on cherche une ligne, une colonne ou une diagonale à laquelle il ne manque qu'un seul nombre.
| \(-3\) | \(2\) | \(\mathbf{1}\) |
| \(\mathbf{4}\) | \(0\) | \(\mathbf{-4}\) |
| \(\mathbf{-1}\) | \(\mathbf{-2}\) | \(3\) |
🔍 Vérification : colonne 2 : \(2 + 0 - 2 = 0\) ✓ ; colonne 3 : \(1 - 4 + 3 = 0\) ✓ ; diagonale : \(-3 + 0 + 3 = 0\) ✓.
Le mont Blanc culmine à \(4\,808\) m d'altitude. Le point le plus profond de l'océan (la fosse des Mariannes) est à \(-11\,034\) m.
a) Quelle est la différence d'altitude entre ces deux points ?
b) Un sous-marin se trouve à mi-chemin entre le niveau de la mer et le fond de la fosse. À quelle altitude est-il ?
a) \(4\,808 - (-11\,034) = 4\,808 + 11\,034 = \mathbf{15\,842 \text{ m}}\).
b) La moitié de \(11\,034\) m est \(5\,517\) m. Le sous-marin est \(5\,517\) m sous le niveau de la mer : altitude \(\mathbf{-5\,517 \text{ m}}\).
Un ascenseur part du niveau \(-2\) (parking). Il monte de \(7\) étages, descend de \(9\) étages, puis remonte de \(3\) étages.
a) Écris le calcul avec des nombres relatifs, puis donne l'étage d'arrivée.
b) Combien d'étages l'ascenseur a-t-il parcourus en tout (montées et descentes) ?
a) \(-2 + 7 + (-9) + 3\) Positifs : \(7 + 3 = 10\) ; négatifs : \(-2 + (-9) = -11\). \[10 + (-11) = -1\] L'ascenseur arrive au niveau \(-1\).
b) On additionne les distances parcourues, sans les signes : \(7 + 9 + 3 = \mathbf{19}\) étages.
On donne \(a = -3\) et \(b = 5\). Calcule :
a) \(a + b\)
b) \(a - b\)
c) \(b - a\)
d) \(-a - b\) (on rappelle que \(-a\) est l'opposé de \(a\))
a) \(a + b = -3 + 5 = \mathbf{2}\)
b) \(a - b = -3 - 5 = -3 + (-5) = \mathbf{-8}\)
c) \(b - a = 5 - (-3) = 5 + 3 = \mathbf{8}\)
d) \(-a\) est l'opposé de \(-3\), c'est-à-dire \(3\). Donc \(-a - b = 3 - 5 = \mathbf{-2}\).
\(a - b\) et \(b - a\) sont opposés (\(-8\) et \(8\)).
Voici les températures minimales relevées pendant une semaine : \(-4\) ; \(-1\) ; \(2\) ; \(-3\) ; \(0\) ; \(3\) ; \(-6\) (en °C).
a) Range ces températures dans l'ordre croissant.
b) Combien de jours la température minimale a-t-elle été strictement négative ?
c) Quel est l'écart entre la température la plus haute et la plus basse ?
d) Calcule la somme de ces sept températures.
a) \(\mathbf{-6 < -4 < -3 < -1 < 0 < 2 < 3}\)
b) Strictement négatives : \(-4\), \(-1\), \(-3\), \(-6\) → \(4\) jours (\(0\) n'est pas strictement négatif).
c) \(3 - (-6) = 3 + 6 = \mathbf{9}\) °C.
d) Positifs : \(2 + 0 + 3 = 5\) ; négatifs : \(-4 - 1 - 3 - 6 = -14\). \[5 + (-14) = \mathbf{-9}\]
Dans un jeu, les scores positifs sont des points gagnés, les négatifs des points perdus. Les scores des \(5\) premiers tours sont : \(+12\), \(-7\), \(+5\), \(-18\), \(+9\).
a) Quel est le score total après \(5\) tours ?
b) Quelle est la moyenne des scores par tour ?
c) Quel score faut-il au 6e tour pour finir avec un total de \(+10\) ?
a) Positifs : \(12 + 5 + 9 = 26\) ; négatifs : \(-7 + (-18) = -25\). \[26 + (-25) = \mathbf{+1}\]
b) Moyenne \(=\) total \(\div\) nombre de tours \(= 1 \div 5 = \mathbf{0{,}2}\) point par tour.
c) On cherche le score \(\square\) tel que \(1 + \square = 10\) : \(\square = 10 - 1 = \mathbf{+9}\).