Un carré de \(4\) cm de côté contient \(4 \times 4 = 16\) carreaux de \(1\) cm² : son aire est \(16\) cm².
Le carré d'un nombre \(a\) est le produit \(a \times a\). On l'écrit \(a^2\) et on lit « \(a\) au carré ». \[4^2 = 4 \times 4 = 16 \qquad 1{,}5^2 = 1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\]
Les premiers carrés (à connaître par cœur) :
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n^2\) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
\(4^2\) n'est pas \(4 \times 2\) ! \(4^2 = 4 \times 4 = 16\), alors que \(4 \times 2 = 8\).
\(0{,}3^2 = 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09\) (il y a \(2\) chiffres après la virgule). Le carré d'un nombre plus petit que \(1\) est plus petit que ce nombre !
Un cube de \(3\) cm d'arête contient \(3 \times 3 \times 3 = 27\) petits cubes de \(1\) cm³ : son volume est \(27\) cm³.
Le cube d'un nombre \(a\) est le produit \(a \times a \times a\). On l'écrit \(a^3\) et on lit « \(a\) au cube ». \[2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \qquad 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\]
Les premiers cubes :
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n^3\) | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 1 000 |
Une aire se calcule en multipliant deux longueurs : \(\text{cm} \times \text{cm} = \text{cm}^2\). Un volume en multipliant trois longueurs : \(\text{cm} \times \text{cm} \times \text{cm} = \text{cm}^3\).
Un carré ou un cube se calcule avant les multiplications, divisions, additions et soustractions (mais après les parenthèses).
Pour trouver le nombre positif dont le carré est \(81\), on cherche dans la table : \(9^2 = 81\), donc c'est \(9\). Si le nombre n'est pas dans la table, on peut l'encadrer : \(50\) est entre \(49 = 7^2\) et \(64 = 8^2\).
Contenu facultatif, non exigible.
En 4e, tu généraliseras avec les puissances (\(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\), \(10^6\)…) et la notation scientifique.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Carré | \(a^2 = a \times a\) ; aire d'un carré de côté \(a\) |
| Cube | \(a^3 = a \times a \times a\) ; volume d'un cube d'arête \(a\) |
| Carrés à connaître | \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225\) |
| Cubes à connaître | \(1, 8, 27, 64, 125, 216, \ldots, 10^3 = 1\,000\) |
| Priorités | Parenthèses, puis carrés et cubes, puis \(\times\) et \(\div\), puis \(+\) et \(-\) |
| Unités | \(\text{cm}^2\) pour les aires, \(\text{cm}^3\) pour les volumes |
Calcule :
a) \(7^2\)
b) \(12^2\)
c) \(0{,}3^2\)
d) \(1{,}5^2\)
\(a^2 = a \times a\).
a) \(7 \times 7 = \mathbf{49}\)
b) \(12 \times 12 = \mathbf{144}\)
c) \(0{,}3 \times 0{,}3 = \mathbf{0{,}09}\) (\(3 \times 3 = 9\) et il faut \(2\) chiffres après la virgule)
d) \(1{,}5 \times 1{,}5 = \mathbf{2{,}25}\) (\(15 \times 15 = 225\), \(2\) chiffres après la virgule)
Calcule :
a) \(2^3\)
b) \(5^3\)
c) \(10^3\)
d) \(0{,}2^3\)
\(a^3 = a \times a \times a\).
a) \(2 \times 2 \times 2 = \mathbf{8}\)
b) \(5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = \mathbf{125}\)
c) \(10 \times 10 \times 10 = \mathbf{1\,000}\)
d) \(0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04 \times 0{,}2 = \mathbf{0{,}008}\) (\(2 \times 2 \times 2 = 8\), \(3\) chiffres après la virgule)
Écris chaque produit sous la forme d'un carré ou d'un cube, puis calcule :
a) \(6 \times 6\)
b) \(4 \times 4 \times 4\)
c) \(2{,}5 \times 2{,}5\)
d) le cube de \(3\)
a) \(6 \times 6 = 6^2 = \mathbf{36}\)
b) \(4 \times 4 \times 4 = 4^3 = \mathbf{64}\)
c) \(2{,}5 \times 2{,}5 = 2{,}5^2 = \mathbf{6{,}25}\)
d) \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = \mathbf{27}\)
Calcule l'aire d'un carré de côté :
a) \(9\) cm
b) \(1{,}2\) m
c) \(0{,}5\) dm
aire du carré \(=\) côté\(^2\).
a) \(9^2 = \mathbf{81 \text{ cm}^2}\)
b) \(1{,}2^2 = \mathbf{1{,}44 \text{ m}^2}\)
c) \(0{,}5^2 = \mathbf{0{,}25 \text{ dm}^2}\)
Calcule le volume d'un cube d'arête :
a) \(3\) cm
b) \(10\) cm
c) \(0{,}5\) m
volume du cube \(=\) arête\(^3\).
a) \(3^3 = \mathbf{27 \text{ cm}^3}\)
b) \(10^3 = \mathbf{1\,000 \text{ cm}^3}\) (c'est \(1\) litre !)
c) \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = \mathbf{0{,}125 \text{ m}^3}\)
a) Parmi les nombres \(25\), \(36\), \(40\), \(64\), \(100\), \(144\), \(200\), lesquels sont des carrés de nombres entiers ?
b) Parmi les nombres \(8\), \(27\), \(50\), \(64\), \(125\), \(216\), lesquels sont des cubes de nombres entiers ?
a) \(25 = 5^2\), \(36 = 6^2\), \(64 = 8^2\), \(100 = 10^2\), \(144 = 12^2\). \(40\) est entre \(36\) et \(49\) et \(200\) est entre \(196 = 14^2\) et \(225 = 15^2\) : ce ne sont pas des carrés. Carrés : \(\mathbf{25, 36, 64, 100, 144}\).
b) \(8 = 2^3\), \(27 = 3^3\), \(64 = 4^3\), \(125 = 5^3\), \(216 = 6^3\). \(50\) est entre \(27\) et \(64\) : ce n'est pas un cube. Cubes : \(\mathbf{8, 27, 64, 125, 216}\).
\(64\) est à la fois un carré (\(8^2\)) et un cube (\(4^3\)) !
Calcule :
a) \(7^2\) \(\quad\)
b) \(0{,}5^2\) \(\quad\)
c) \(1{,}2^2\) \(\quad\)
d) \(10^2\)
a) \(\mathbf{49}\) ; b) \(0{,}5 \times 0{,}5 = \mathbf{0{,}25}\) ; c) \(1{,}2 \times 1{,}2 = \mathbf{1{,}44}\) ; d) \(\mathbf{100}\).
Calcule :
a) \(3^3\) \(\quad\)
b) \(2^3\) \(\quad\)
c) \(0{,}1^3\) \(\quad\)
d) \(5^3\)
a) \(3 \times 3 \times 3 = \mathbf{27}\) ; b) \(\mathbf{8}\) ; c) \(0{,}1 \times 0{,}1 \times 0{,}1 = \mathbf{0{,}001}\) ; d) \(\mathbf{125}\).
\(3^3 \ne 3 \times 3 = 9\) : on multiplie \(3\) fois le nombre par lui-même.
Écris avec un carré ou un cube :
a) \(6 \times 6\) \(\quad\)
b) \(4 \times 4 \times 4\) \(\quad\)
c) \(a \times a\) \(\quad\)
d) \(x \times x \times x\)
a) \(\mathbf{6^2}\) ; b) \(\mathbf{4^3}\) ; c) \(\mathbf{a^2}\) ; d) \(\mathbf{x^3}\).
Calcule :
a) \(3 + 2^2\) \(\quad\)
b) \((3 + 2)^2\) \(\quad\)
c) \(2 \times 3^2\) \(\quad\)
d) \((2 \times 3)^2\)
🎯 Le carré se calcule avant les multiplications et les additions, mais après les parenthèses.
a) \(3 + 4 = \mathbf{7}\) ; b) \(5^2 = \mathbf{25}\) ; c) \(2 \times 9 = \mathbf{18}\) ; d) \(6^2 = \mathbf{36}\).
a) Calcule l'aire d'un carré de \(9\) cm de côté.
b) Un carré a une aire de \(64\) cm². Quelle est la longueur de son côté ?
a) \(9^2 = \mathbf{81}\) cm². b) \(8 \times 8 = 64\) : le côté mesure \(\mathbf{8}\) cm.
Calcule en détaillant :
a) \(3 + 4^2\)
b) \((3 + 4)^2\)
c) \(2 \times 5^2\)
d) \((2 \times 5)^2\)
e) \(10 - 3^2\)
parenthèses, puis carrés, puis multiplications, puis additions et soustractions.
a) \(3 + 16 = \mathbf{19}\)
b) \(7^2 = \mathbf{49}\)
c) \(2 \times 25 = \mathbf{50}\)
d) \(10^2 = \mathbf{100}\)
e) \(10 - 9 = \mathbf{1}\)
Trouve le nombre positif manquant :
a) \(\square^2 = 81\)
b) \(\square^2 = 0{,}16\)
c) \(\square^3 = 64\)
d) \(\square^3 = 1\,000\)
a) \(9 \times 9 = 81\) : \(\square = \mathbf{9}\).
b) \(0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\) : \(\square = \mathbf{0{,}4}\).
c) \(4 \times 4 \times 4 = 64\) : \(\square = \mathbf{4}\).
d) \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\) : \(\square = \mathbf{10}\).
Compare (avec \(<\), \(>\) ou \(=\)) :
a) \(2^3\) et \(3^2\)
b) \(5^2\) et \(3^3\)
c) \(10^2\) et \(4^3\)
d) \(0{,}5^2\) et \(0{,}5\)
a) \(2^3 = 8\) et \(3^2 = 9\) : \(\mathbf{2^3 < 3^2}\).
b) \(5^2 = 25\) et \(3^3 = 27\) : \(\mathbf{5^2 < 3^3}\).
c) \(10^2 = 100\) et \(4^3 = 64\) : \(\mathbf{10^2 > 4^3}\).
d) \(0{,}5^2 = 0{,}25\) : \(\mathbf{0{,}5^2 < 0{,}5}\).
Le carré d'un nombre compris entre \(0\) et \(1\) est plus petit que ce nombre.
Léa a écrit : « \(0{,}3^2 = 0{,}9\) » et « \(1{,}1^2 = 1{,}1\) ».
a) Explique ses erreurs.
b) Donne les bons résultats.
a) Léa a multiplié \(0{,}3\) par \(3\) ou oublié une décimale : \(0{,}3^2 = 0{,}3 \times 0{,}3\), et un produit de deux nombres à \(1\) décimale a \(2\) décimales. Pour \(1{,}1^2\), elle a recopié le nombre sans le multiplier.
b) \(0{,}3^2 = \mathbf{0{,}09}\) et \(1{,}1^2 = 1{,}1 \times 1{,}1 = \mathbf{1{,}21}\) (\(11 \times 11 = 121\)).
Un carré a un côté de \(8\) cm.
a) Calcule son périmètre et son aire.
b) On double la longueur du côté. Calcule le nouveau périmètre et la nouvelle aire.
c) Par combien le périmètre a-t-il été multiplié ? Et l'aire ?
a) Périmètre : \(4 \times 8 = \mathbf{32 \text{ cm}}\). Aire : \(8^2 = \mathbf{64 \text{ cm}^2}\).
b) Nouveau côté : \(16\) cm. Périmètre : \(4 \times 16 = \mathbf{64 \text{ cm}}\). Aire : \(16^2 = \mathbf{256 \text{ cm}^2}\).
c) Le périmètre a été multiplié par \(\mathbf{2}\) (\(64 \div 32\)). L'aire a été multipliée par \(\mathbf{4}\) (\(256 \div 64\)).
Le grand carré contient \(2 \times 2 = 4\) petits carrés de \(8\) cm de côté.
a) Un carré de \(1\) m de côté a un côté de \(100\) cm. Combien de cm² mesure son aire ?
b) Un cube de \(1\) m d'arête a une arête de \(100\) cm. Combien de cm³ mesure son volume ?
c) Un cube de \(1\) dm d'arête contient exactement \(1\) litre. Combien de cm³ contient un litre ?
a) \(100^2 = 100 \times 100 = \mathbf{10\,000 \text{ cm}^2}\).
b) \(100^3 = 100 \times 100 \times 100 = \mathbf{1\,000\,000 \text{ cm}^3}\).
c) \(1\) dm \(= 10\) cm, donc \(1\) L \(= 10^3 = \mathbf{1\,000 \text{ cm}^3}\).
On donne \(a = 3\). Calcule :
a) \(a^2\)
b) \(2a^2\) (c'est-à-dire \(2 \times a^2\))
c) \((2a)^2\)
d) \(a^3\)
a) \(a^2 = 3^2 = \mathbf{9}\)
b) \(2a^2 = 2 \times 9 = \mathbf{18}\) (le carré porte seulement sur \(a\))
c) \((2a)^2 = 6^2 = \mathbf{36}\) (le carré porte sur \(2a\))
d) \(a^3 = 3^3 = \mathbf{27}\)
Encadre chaque nombre entre deux carrés d'entiers consécutifs :
a) \(50\)
b) \(90\)
c) \(200\)
d) \(2\)
on cherche dans la table des carrés les deux carrés qui entourent le nombre.
a) \(\mathbf{7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2}\)
b) \(\mathbf{9^2 = 81 < 90 < 100 = 10^2}\)
c) \(\mathbf{14^2 = 196 < 200 < 225 = 15^2}\)
d) \(\mathbf{1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2}\)
a) Calcule le volume d'un cube de \(4\) cm d'arête.
b) Un cube a un volume de \(27\) cm³. Quelle est la longueur de son arête ?
a) \(4^3 = \mathbf{64}\) cm³. b) \(3 \times 3 \times 3 = 27\) : l'arête mesure \(\mathbf{3}\) cm.
Compare :
a) \(2^3\) et \(3^2\) \(\quad\)
b) \(0{,}5^2\) et \(0{,}5\)
a) \(2^3 = 8\) et \(3^2 = 9\) : \(\mathbf{2^3 < 3^2}\).
b) \(0{,}5^2 = 0{,}25\) : \(\mathbf{0{,}5^2 < 0{,}5}\) (le carré d'un nombre entre \(0\) et \(1\) est plus petit que lui).
Calcule \(x^2 + 3\) pour \(x = 4\), puis pour \(x = 0{,}5\).
Entre quels carrés d'entiers consécutifs se trouve \(50\) ? et \(90\) ?
\(7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2\) ; \(9^2 = 81 < 90 < 100 = 10^2\).
Une boîte cubique a des arêtes de \(5\) dm.
a) Calcule son volume en dm³.
b) Combien de litres d'eau peut-elle contenir ? (\(1\) dm³ \(= 1\) L)
a) \(5^3 = \mathbf{125}\) dm³. b) \(\mathbf{125}\) L.
a) Calcule \(1\) ; \(1 + 3\) ; \(1 + 3 + 5\) ; \(1 + 3 + 5 + 7\). Que remarques-tu ?
b) Sans tout additionner, que vaut la somme des \(10\) premiers nombres impairs ?
c) Combien de nombres impairs consécutifs (en partant de \(1\)) faut-il additionner pour obtenir \(400\) ?
a) \(1 = 1\) ; \(1 + 3 = 4\) ; \(1 + 3 + 5 = 9\) ; \(1 + 3 + 5 + 7 = 16\). On obtient les carrés \(1^2\), \(2^2\), \(3^2\), \(4^2\) : la somme des \(n\) premiers impairs vaut \(n^2\).
b) \(10^2 = \mathbf{100}\).
c) \(400 = 20^2\) : il faut additionner les \(20\) premiers nombres impairs.
Un cube de \(4\) cm d'arête est peint en bleu sur toutes ses faces, puis découpé en petits cubes de \(1\) cm d'arête.
a) Combien obtient-on de petits cubes ?
b) Combien de petits cubes ont \(3\) faces peintes ? (indice : regarde les coins)
c) Combien ont exactement \(2\) faces peintes ? \(1\) face peinte ?
d) Combien n'ont aucune face peinte ? Vérifie que le total est correct.
on raisonne sur la position des petits cubes dans le grand cube.
a) \(4^3 = \mathbf{64}\) petits cubes.
b) \(3\) faces peintes : les cubes des coins. Un cube a \(8\) sommets : \(\mathbf{8}\).
c)
d) Aucune face peinte : le cube intérieur de \(2 \times 2 \times 2\) : \(2^3 = \mathbf{8}\).
🔍 Vérification : \(8 + 24 + 24 + 8 = 64\) ✓.
a) Calcule \(2^2 - 1^2\), puis \(3^2 - 2^2\), puis \(4^2 - 3^2\), puis \(5^2 - 4^2\).
b) Que remarques-tu ?
c) Sans calculer les carrés, trouve la valeur de \(51^2 - 50^2\).
a) \(4 - 1 = 3\) ; \(9 - 4 = 5\) ; \(16 - 9 = 7\) ; \(25 - 16 = 9\).
b) On obtient les nombres impairs successifs. La différence de deux carrés consécutifs est égale à la somme des deux nombres : \(2 + 1 = 3\), \(3 + 2 = 5\), \(4 + 3 = 7\)…
c) \(51^2 - 50^2 = 51 + 50 = \mathbf{101}\).
🔍 Vérification : \(51^2 = 2\,601\) et \(50^2 = 2\,500\) ; \(2\,601 - 2\,500 = 101\) ✓.
Un aquarium a la forme d'un cube de \(40\) cm d'arête.
a) Calcule son volume en cm³.
b) Combien de litres peut-il contenir ? (On rappelle : \(1\) L \(= 1\,000\) cm³.)
c) On le remplit aux \(\dfrac{3}{4}\). Combien de litres d'eau contient-il ?
a) \(40^3 = 40 \times 40 \times 40 = 1\,600 \times 40 = \mathbf{64\,000 \text{ cm}^3}\).
b) \(64\,000 \div 1\,000 = \mathbf{64 \text{ L}}\).
c) \(\dfrac{3}{4}\) de \(64\) : \(64 \div 4 \times 3 = \mathbf{48 \text{ L}}\).
Un terrain carré a une aire de \(2\,500\) m².
a) Quelle est la longueur de son côté ?
b) Combien de mètres de clôture faut-il pour en faire le tour ?
c) Un autre terrain carré a une aire quatre fois plus grande. Quelle est la longueur de son côté ?
a) On cherche le nombre dont le carré vaut \(2\,500\) : \(50^2 = 2\,500\). Le côté mesure \(\mathbf{50 \text{ m}}\).
b) \(4 \times 50 = \mathbf{200 \text{ m}}\).
c) Aire : \(4 \times 2\,500 = 10\,000\) m². Or \(100^2 = 10\,000\) : le côté mesure \(\mathbf{100 \text{ m}}\) (le côté a doublé).
On compare un cube de \(3\) cm d'arête et un pavé droit de \(2\) cm sur \(3\) cm sur \(4{,}5\) cm.
a) Calcule le volume de chacun. Que remarques-tu ?
b) Calcule l'aire totale des faces de chacun (somme des aires des \(6\) faces).
c) Pour fabriquer une boîte de même volume avec le moins de carton possible, lequel faut-il choisir ?
a) Cube : \(3^3 = 27\) cm³. Pavé : \(2 \times 3 \times 4{,}5 = 6 \times 4{,}5 = 27\) cm³. Les deux solides ont le même volume : \(\mathbf{27 \text{ cm}^3}\).
b)
c) Le cube utilise moins de carton (\(54 < 57\)) pour le même volume : il faut choisir le cube.