Les parallélogrammes

• \(CD = AB = \mathbf{7 \text{ cm}}\) et \(AD = BC = \mathbf{4 \text{ cm}}\) (côtés opposés).
• \(O\) est le milieu de \([AC]\) : \(OA = 10 \div 2 = \mathbf{5 \text{ cm}}\).
• \(O\) est le milieu de \([BD]\) : \(OB = 6 \div 2 = \mathbf{3 \text{ cm}}\).

• \(\widehat{B} = 180° - 70° = \mathbf{110°}\)
• \(\widehat{C} = \widehat{A} = \mathbf{70°}\)
• \(\widehat{D} = \widehat{B} = \mathbf{110°}\)

Vérification : \(70 + 110 + 70 + 110 = 360°\) ✓ (somme des angles d'un quadrilatère).

a) Aire \(=\) base \(\times\) hauteur \(= 8 \times 5 = \mathbf{40 \text{ cm}^2}\).

b) Périmètre : \(8 + 6 + 8 + 6 = \mathbf{28 \text{ cm}}\).

a) Vrai : ses côtés opposés sont parallèles.
b) Faux : c'est vrai seulement pour le rectangle (et le carré).
c) Vrai.
d) Vrai : le point d'intersection des diagonales.

a) Parallélogramme.
b) Rectangle.
c) Losange.
d) Carré.

a) \(6 \times 4 = \mathbf{24 \text{ cm}^2}\)
b) \(12{,}5 \times 8 = \mathbf{100 \text{ m}^2}\)
c) \(3{,}5 \times 2 = \mathbf{7 \text{ dm}^2}\)

a) Les côtés opposés ont la même longueur : \(CD = \mathbf{5}\) cm, \(AD = \mathbf{3}\) cm.

b) \(2 \times (5 + 3) = \mathbf{16}\) cm.

Angles opposés égaux : \(\widehat{C} = \mathbf{70°}\). Angles consécutifs supplémentaires : \(\widehat{B} = \widehat{D} = 180° - 70° = \mathbf{110°}\).

Les diagonales se coupent en leur milieu : \(OA = 8 \div 2 = \mathbf{4}\) cm et \(OB = 6 \div 2 = \mathbf{3}\) cm.

Aire \(=\) base \(\times\) hauteur \(= 7 \times 4 = \mathbf{28}\) cm².

a) rectangle ; b) losange ; c) carré.

Méthode (au compas) :

1. On trace \([AB]\) de \(6\) cm.
2. Au rapporteur, on trace en \(A\) un angle de \(60°\) et on place \(D\) sur ce côté, à \(4\) cm de \(A\).
3. On trace un arc de centre \(D\) et de rayon \(6\) cm (\(DC = AB\)), et un arc de centre \(B\) et de rayon \(4\) cm (\(BC = AD\)). Ils se coupent en \(C\).
4. Le quadrilatère \(ABCD\) a ses côtés opposés de même longueur : c'est un parallélogramme.

(On peut aussi tracer la parallèle à \((AB)\) passant par \(D\) et la parallèle à \((AD)\) passant par \(B\) : elles se coupent en \(C\).)

a) Un losange est un parallélogramme : ses angles consécutifs sont supplémentaires. \(\widehat{ABC} = 180° - 120° = \mathbf{60°}\).

b) Angles opposés égaux : \(\widehat{BCD} = \widehat{DAB} = \mathbf{120°}\) et \(\widehat{CDA} = \widehat{ABC} = \mathbf{60°}\).

c) Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires : \(\widehat{AOB} = \mathbf{90°}\).

a) \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\) : les diagonales se coupent en leur milieu. Donc \(ABCD\) est un parallélogramme.

b) \(AC = 6\) cm et \(BD = 10\) cm : \(AC \neq BD\), ce n'est donc pas possible ici. Si l'on avait \(OA = OB = OC = OD\), les diagonales auraient la même longueur et se couperaient en leur milieu : \(ABCD\) serait un rectangle.

a) \(25 \times 12 = \mathbf{300 \text{ m}^2}\).

b) \(300 \times 45 = \mathbf{13\,500 \text{ €}}\).

a) Aire \(= AB \times h_1\) : \(8 \times h_1 = 48\), donc \(h_1 = 48 \div 8 = \mathbf{6 \text{ cm}}\).

b) Aire \(= AD \times h_2\) : \(10 \times h_2 = 48\), donc \(h_2 = 48 \div 10 = \mathbf{4{,}8 \text{ cm}}\).

a) Les diagonales se coupent en leur milieu : les demi-diagonales mesurent \(3\) cm et \(4\) cm. Chaque triangle a des côtés de l'angle droit de \(3\) cm et \(4\) cm.

b) Un triangle : \(\dfrac{3 \times 4}{2} = 6\) cm². Le losange : \(4 \times 6 = \mathbf{24 \text{ cm}^2}\).

c) \(\dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24\) cm² ✓.

a) Un parallélogramme avec un angle droit : rectangle.
b) Deux côtés consécutifs égaux : losange.
c) Les deux : carré.
d) Diagonales perpendiculaires : losange.

Petit côté : \(\mathbf{5 \text{ cm}}\) ; grand côté : \(\mathbf{10 \text{ cm}}\). Vérification : \(2 \times (5 + 10) = 30\) ✓.

\(\dfrac{6 \times 8}{2} = \mathbf{24}\) cm².

\(9 \times h = 45\), donc \(h = \mathbf{5}\) cm.

Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, c'est un parallélogramme.

Périmètre : \(2 \times (12 + 5) = \mathbf{34}\) cm ; aire : \(12 \times 5 = \mathbf{60}\) cm².

\(4 \times 6{,}5 = \mathbf{26}\) cm.

a) \(O\) est le milieu de \([AC]\) : le symétrique de \(A\) est \(C\). De même, le symétrique de \(B\) est \(D\).

b) Le symétrique de \([AB]\) est \([CD]\). La symétrie centrale conserve les longueurs : \(\mathbf{AB = CD}\).

c) La droite \((AB)\) a pour symétrique la droite \((CD)\), qui lui est parallèle : \(\mathbf{(AB) \parallel (CD)}\). De même, \((AD) \parallel (BC)\) : on retrouve que \(ABCD\) est un parallélogramme.

• \(\widehat{BAD} = \widehat{BCD} = \mathbf{45°}\)
• \(\widehat{ABC} = \widehat{CDA} = \mathbf{135°}\)

• Parallélogramme : \(10 \times 6 = 60\) cm².
• Triangle découpé : \(\dfrac{4 \times 6}{2} = 12\) cm².

Aire restante : \(60 - 12 = \mathbf{48 \text{ cm}^2}\).

a) On trace deux segments de \(7\) cm qui se coupent en leur milieu, puis on relie les extrémités. Les diagonales se coupent en leur milieu : c'est un parallélogramme ; elles ont en plus la même longueur : c'est un rectangle.

b) Diagonales de même longueur et perpendiculaires, qui se coupent en leur milieu : c'est un carré.

a) \(8 \times 4 = \mathbf{32 \text{ cm}^2}\).

b) \(5 \times h = 32\), donc \(h = 32 \div 5 = \mathbf{6{,}4 \text{ cm}}\).

c) Une hauteur est une distance mesurée perpendiculairement : c'est la plus courte distance entre deux droites parallèles. Le côté voisin relie aussi ces deux droites, mais en biais : il est donc plus long (ou égal si le parallélogramme est un rectangle). Ici : \(4 \leq 5\) ✓ et \(6{,}4 \leq 8\) ✓.

a) \([AB]\) va de \((0 ; 0)\) à \((4 ; 0)\) et \([DC]\) va de \((2 ; 3)\) à \((6 ; 3)\) : ces deux côtés sont horizontaux (donc parallèles) et mesurent tous les deux \(4\) carreaux. Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.

b) Base \(AB = 4\), hauteur \(= 3\) (distance entre les deux côtés horizontaux) : aire \(= 4 \times 3 = \mathbf{12}\) carreaux.

c) Le centre \(O\) est le milieu de \([AC]\) : à mi-chemin entre \((0 ; 0)\) et \((6 ; 3)\), soit \(\mathbf{O(3 ; 1{,}5)}\).

d) Le symétrique de \(B\) par rapport au centre est le sommet opposé : \(D(2 ; 3)\).