Angles et triangles

• Sur \((d_1)\) : deux angles de \(\mathbf{70°}\) (opposés par le sommet) et deux angles de \(180° - 70° = \mathbf{110°}\).
• Sur \((d_2)\) : les angles correspondants sont égaux, donc encore deux angles de \(\mathbf{70°}\) et deux de \(\mathbf{110°}\).

a) \(\widehat{C} = 180° - 45° - 75° = \mathbf{60°}\)

b) \(\widehat{A} + \widehat{B} = 180° - 50° = 130°\) et \(\widehat{A} = \widehat{B}\), donc \(\widehat{A} = 130° \div 2 = \mathbf{65°}\).

c) \(180° \div 3 = \mathbf{60°}\)

a) L'angle \(6\) (entre les droites, de l'autre côté de la sécante).

b) L'angle correspondant à \(2\) est l'angle \(6\) ; celui correspondant à \(7\) est l'angle \(3\).

c) Les droites sont parallèles.

• L'angle \(3\) est opposé par le sommet à l'angle \(1\) : \(\mathbf{50°}\).
• L'angle \(5\) est correspondant à l'angle \(1\) : \(\mathbf{50°}\) (il est aussi alterne-interne avec \(3\)).
• L'angle \(6\) forme un angle plat avec l'angle \(5\) : \(180° - 50° = \mathbf{130°}\).

a) \(\dfrac{8 \times 6}{2} = \mathbf{24 \text{ cm}^2}\)

b) \(\dfrac{10 \times 4}{2} = \mathbf{20 \text{ cm}^2}\)

c) \(\dfrac{7 \times 3}{2} = \dfrac{21}{2} = \mathbf{10{,}5 \text{ cm}^2}\)

a) \([AH]\) est la hauteur issue de \(A\) ; \([AM]\) est la médiane issue de \(A\).

b) La hauteur est perpendiculaire à \((BC)\) : \(\widehat{AHB} = \mathbf{90°}\).

c) \(M\) est le milieu de \([BC]\) : \(BM = 9 \div 2 = \mathbf{4{,}5 \text{ cm}}\).

a) \(3 + 4 = 7 < 8\) : impossible.

b) \(5 + 6 = 11 > 10\) : possible.

c) \(4 + 5 = 9\) : les trois points seraient alignés. Ce n'est pas un vrai triangle (on dit qu'il est aplati).

\(180° - 47° - 68° = \mathbf{65°}\).

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure : \(\mathbf{72°}\).

🎯 Le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.

a) \(3 + 4 = 7 < 8\) : non. b) \(5 + 6 = 11 > 9\) : oui. c) \(4 + 4 = 8\) : les points sont alignés, le triangle est « aplati ».

\(\dfrac{8 \times 5}{2} = \mathbf{20}\) cm².

Avec des parallèles, les angles correspondants ont la même mesure : \(\mathbf{115°}\).

a) Les droites sont parallèles : les angles alternes-internes sont égaux. L'angle mesure \(\mathbf{120°}\).

b) Il forme un angle plat avec son voisin : \(180° - 120° = \mathbf{60°}\).

En tout : \(1 + 1 + 2 = 4\) parts \(= 180°\), donc une part \(= 45°\).

\(\widehat{B} = \widehat{C} = \mathbf{45°}\) et \(\widehat{A} = \mathbf{90°}\).

Le triangle est rectangle et isocèle en \(A\).

Oui. Les angles alternes-internes ont la même mesure (\(55°\)). D'après la réciproque de la propriété des angles alternes-internes, les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles.

a) \(\widehat{C} = 180° - 65° - 48° = \mathbf{67°}\).

b) L'angle extérieur et \(\widehat{C}\) forment un angle plat : \(180° - 67° = \mathbf{113°}\).

c) \(\widehat{A} + \widehat{B} = 65° + 48° = 113°\) : l'angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles du triangle.

a) Avec la base \([BC]\) et la hauteur issue de \(A\) : \[\text{Aire} = \frac{8 \times 6}{2} = \mathbf{24 \text{ cm}^2}\]

b) Avec la base \([AB]\) et la hauteur \(h\) issue de \(C\), l'aire est la même : \[\frac{10 \times h}{2} = 24 \quad \text{donc} \quad 10 \times h = 48 \quad \text{et} \quad h = \mathbf{4{,}8 \text{ cm}}\]

\(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\), donc \(OB = OA\) ; il est sur la médiatrice de \([AC]\), donc \(OC = OA\). \[\mathbf{OB = OC = 5 \text{ cm}}\] (Ce sont des rayons du cercle circonscrit.)

a) Non. La distance de \(P\) à \((d)\) (\(3{,}5\) cm) est la plus courte distance entre \(P\) et un point de \((d)\). Tout point \(Q\) de \((d)\) vérifie donc \(PQ \geq 3{,}5\) cm.

b) La plus petite valeur est \(\mathbf{3{,}5 \text{ cm}}\), quand \(Q\) est le pied de la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(P\).

• Rectangle : \(8 \times 5 = 40\) cm².
• Triangle : \(\dfrac{8 \times 3}{2} = 12\) cm².

Aire totale : \(40 + 12 = \mathbf{52 \text{ cm}^2}\).

\(180° - 2 \times 35° = \mathbf{110°}\).

\(\dfrac{8 \times h}{2} = 24\), donc \(4h = 24\) et \(h = \mathbf{6}\) cm.

a) Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, elles sont parallèles.

b) Les angles sont différents : les droites ne sont pas parallèles.

\(180° - 90° - 28° = \mathbf{62°}\).

a) \(x + 2x + 3x = 180°\), soit \(6x = 180°\) et \(x = \mathbf{30°}\).

b) Les angles mesurent \(30°\), \(60°\) et \(90°\) : c'est un triangle rectangle.

On appelle \(\widehat{e}\) l'angle extérieur en \(C\).

Étape 1 — \(\widehat{e}\) et \(\widehat{C}\) forment un angle plat : \(\widehat{e} = 180° - \widehat{C}\).

Étape 2 — Dans le triangle : \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\), donc \(\widehat{A} + \widehat{B} = 180° - \widehat{C}\).

Conclusion — Les deux quantités sont égales à \(180° - \widehat{C}\) : \[\widehat{e} = \widehat{A} + \widehat{B}\]

Étape 1 — Construction : par \(A\), on trace la droite \((d)\) parallèle à \((BC)\). De part et d'autre de \(A\), \((d)\) forme avec \([AB]\) et \([AC]\) deux angles, notés \(\widehat{x}\) (du côté de \(B\)) et \(\widehat{y}\) (du côté de \(C\)).

Étape 2 — Angles alternes-internes :

• \((d)\) et \((BC)\) sont parallèles, coupées par la sécante \((AB)\) : \(\widehat{x}\) et \(\widehat{B}\) sont alternes-internes, donc \(\widehat{x} = \widehat{B}\).
• Avec la sécante \((AC)\) : \(\widehat{y} = \widehat{C}\).

Étape 3 — Angle plat : en \(A\), les angles \(\widehat{x}\), \(\widehat{A}\) et \(\widehat{y}\) sont côte à côte et forment un angle plat : \(\widehat{x} + \widehat{A} + \widehat{y} = 180°\).

Conclusion : en remplaçant, \(\widehat{B} + \widehat{A} + \widehat{C} = 180°\).

a) À partir d'un sommet, on trace \(2\) diagonales : le pentagone est découpé en \(3\) triangles. Somme : \(3 \times 180° = \mathbf{540°}\).

b) L'hexagone est découpé en \(4\) triangles : \(4 \times 180° = \mathbf{720°}\).

c) Un polygone à \(n\) côtés est découpé en \(n - 2\) triangles : la somme de ses angles vaut \(\mathbf{(n - 2) \times 180°}\).

Les points à \(3\) cm de \((d)\) forment deux droites parallèles à \((d)\), une de chaque côté, chacune à \(3\) cm de \((d)\).

Construction : on trace une perpendiculaire à \((d)\), on place dessus deux points à \(3\) cm de \((d)\) (un de chaque côté), puis on trace par ces points les parallèles à \((d)\) (avec l'équerre).

a) Le rectangle va de l'abscisse \(1\) à \(7\) (largeur \(6\)) et de l'ordonnée \(1\) à \(6\) (hauteur \(5\)) : aire \(6 \times 5 = \mathbf{30}\) carreaux.

b) Les trois triangles rectangles (aire \(=\) produit des côtés de l'angle droit \(\div 2\)) :

• entre \(A\) et \(B\) (coin \((7 ; 1)\)) : côtés \(6\) et \(1\) → \(\dfrac{6 \times 1}{2} = 3\) ;
• entre \(B\) et \(C\) (coin \((7 ; 6)\)) : côtés \(4\) et \(4\) → \(\dfrac{4 \times 4}{2} = 8\) ;
• entre \(C\) et \(A\) (coin \((1 ; 6)\)) : côtés \(2\) et \(5\) → \(\dfrac{2 \times 5}{2} = 5\).

Total : \(3 + 8 + 5 = 16\) carreaux.

c) Aire de \(ABC\) : \(30 - 16 = \mathbf{14}\) carreaux.

a) \(3x + (5x - 10) + (4x + 10) = 3x + 5x + 4x - 10 + 10 = \mathbf{12x}\).

b) La somme des angles vaut \(180°\) : \(12x = 180\), donc \(x = 180 \div 12 = \mathbf{15}\).

c) \(\widehat{A} = 3 \times 15 = \mathbf{45°}\) ; \(\widehat{B} = 75 - 10 = \mathbf{65°}\) ; \(\widehat{C} = 60 + 10 = \mathbf{70°}\). Vérification : \(45 + 65 + 70 = 180\) ✓. Les trois angles sont différents : le triangle n'est pas isocèle. Aucun angle ne mesure \(90°\) : il n'est pas rectangle.