3e · Chapitre 2 · Calcul littéral et équations

Calcul littéral

30 exercices corrigés

1 Rappels : développer

Développer, c'est transformer un produit en somme.

Rappel

simple distributivité : $k(a + b) = ka + kb$ ;
double distributivité : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Exemple : $(x + 2)(3x - 1) = 3x^2 - x + 6x - 2 = 3x^2 + 5x - 2$.

2 Les identités remarquables

Trois produits reviennent si souvent qu'on apprend leur développement par cœur.

À retenir — les identités remarquables

Pour tous nombres $a$ et $b$, $\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]$ $\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]$ $\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]$

Le carré de côté a + b est formé d'un carré a², d'un carré b² et de deux rectangles ab : (a + b)² = a² + 2ab + b².

Exemples

$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$ ;
$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$ ;
$(x - 7)(x + 7) = x^2 - 49$.

Attention

$(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ ! Il ne faut pas oublier le double produit $2ab$. Par exemple $(3 + 4)^2 = 49$ alors que $3^2 + 4^2 = 25$.

En calcul mental

$99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$ ; $\;21 \times 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399$.

3 Factoriser

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On essaie dans l'ordre :

Méthode

chercher un facteur commun : $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$ ; $\;(x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(x + 5) = (x + 1)(3x + 2)$ ;
reconnaître une différence de deux carrés : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Exemples : $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ ; $\;9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$.

Vérifier

On peut toujours contrôler une factorisation en redéveloppant.

4 L'équation produit nul

Propriété

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. $A \times B = 0 \quad \text{signifie} \quad A = 0 \text{ ou } B = 0$

Exemple

Résoudre $(x - 3)(2x + 5) = 0$.

$x - 3 = 0$ donne $x = 3$ ;
$2x + 5 = 0$ donne $x = -\dfrac{5}{2}$.

L'équation a deux solutions : $3$ et $-\dfrac{5}{2}$.

Méthode — résoudre une équation en factorisant

On met tout dans le même membre (il reste « $= 0$ »), on factorise, puis on utilise la propriété du produit nul. $x^2 = 5x$ s'écrit $x^2 - 5x = 0$, soit $x(x - 5) = 0$ : solutions $0$ et $5$.

Piège

Ne jamais « diviser par $x$ » dans $x^2 = 5x$ : on perdrait la solution $x = 0$.

5 Démontrer avec le calcul littéral

Le calcul littéral permet de prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres.

Exemple

« la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours impaire ». Si $n$ est un entier, $(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, qui est un nombre impair.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

Au lycée, tu apprendras à étudier le signe d'un produit avec un tableau de signes, et à simplifier des quotients comme $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Carré d'une somme	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Carré d'une différence	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Produit somme × différence	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Factoriser	Facteur commun, ou $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Produit nul	$A \times B = 0$ signifie $A = 0$ ou $B = 0$

Pièges à éviter

$(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ : ne pas oublier $2ab$.
$-(x^2 - 1) = -x^2 + 1$ : le signe « $-$ » devant une parenthèse change tous les signes.
Pour résoudre une équation produit nul, il faut « $= 0$ » d'un côté.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Identités remarquables : développementNiveau 1

Développe et réduis :
a) $(x+4)^2$
b) $(x-3)^2$
c) $(x+2)(x-2)$
d) $(2x+1)^2$

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Règle

appliquer les identités remarquables :

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

a) $(x+4)^2$

Identité $(a+b)^2$ avec $a = x$, $b = 4$ : $(x+4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = \mathbf{x^2 + 8x + 16}$

b) $(x-3)^2$

Identité $(a-b)^2$ avec $a = x$, $b = 3$ : $(x-3)^2 = x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 = \mathbf{x^2 - 6x + 9}$

c) $(x+2)(x-2)$

Identité $(a+b)(a-b)$ avec $a = x$, $b = 2$ : $(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = \mathbf{x^2 - 4}$

d) $(2x+1)^2$

Identité $(a+b)^2$ avec $a = 2x$, $b = 1$ : $(2x+1)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = \mathbf{4x^2 + 4x + 1}$

🔍 Vérification (Ex 1d) : pour $x = 1$, $(2+1)^2 = 9$ et $4 + 4 + 1 = 9$ ✓

Piège classique

$(2x+1)^2 \neq 4x^2 + 1$. Il y a TOUJOURS un double produit $2 \times 2x \times 1 = 4x$.

Exercice 2—Facteur communNiveau 1

Factorise :
a) $5x^2 + 15x$
b) $4x^3 - 12x^2$
c) $6(x+1) + 4x(x+1)$

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Stratégie

repérer le facteur commun maximum à tous les termes, puis le mettre en évidence.

a) $5x^2 + 15x$

Facteur commun : $5x$ (car $5x^2 = 5x \cdot x$ et $15x = 5x \cdot 3$). $5x^2 + 15x = \mathbf{5x(x+3)}$

🔍 Vérification (redéveloppement) : $5x \cdot x + 5x \cdot 3 = 5x^2 + 15x$ ✓

b) $4x^3 - 12x^2$

Facteur commun : $4x^2$ ($4$ divise $4$ et $12$, et $x^2$ se retrouve dans $x^3$ et dans $x^2$). $4x^3 - 12x^2 = \mathbf{4x^2(x - 3)}$

c) $6(x+1) + 4x(x+1)$

Facteur commun apparent : $(x+1)$. $6(x+1) + 4x(x+1) = (x+1)(6 + 4x) = (x+1) \cdot 2(3 + 2x) = \mathbf{2(x+1)(2x+3)}$

Astuce

Repérer un facteur commun entre parenthèses : on traite la parenthèse comme un seul "nombre" qu'on factorise.

Exercice 3—Différence de carrésNiveau 1

Factorise :
a) $x^2 - 25$
b) $4x^2 - 9$
c) $x^2 - 1$

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Règle

différence de deux carrés → $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

a) $x^2 - 25$

On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$, $b = 5$ (car $25 = 5^2$) : $\[x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\]$

b) $4x^2 - 9$

$a = 2x$ (car $(2x)^2 = 4x^2$), $b = 3$ : $\[4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)\]$

c) $x^2 - 1$

$a = x$, $b = 1$ : $\[x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\]$

🔍 Vérification (Ex 3b) : $(2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9$ ✓ (identité remarquable inverse).

À retenir

Une différence de deux carrés se factorise toujours. Attention, une somme de carrés comme $x^2 + 9$ ne se factorise pas ainsi.

Exercice 4—Carré parfait : reconnaissanceNiveau 1

Ces expressions sont-elles des carrés parfaits ? Si oui, factoriser.
a) $x^2 + 8x + 16$
b) $x^2 - 6x + 9$
c) $x^2 + 5x + 4$

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Méthode

on cherche à reconnaître $a^2 + 2ab + b^2$ ou $a^2 - 2ab + b^2$ : les deux carrés, puis le double produit.

a) $x^2 + 8x + 16$

Test : $\sqrt{16} = 4$ ; double produit attendu = $2 \times 1 \times 4 = 8$ ✓ $\boxed{x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2}$

b) $x^2 - 6x + 9$

Test : $\sqrt{9} = 3$ ; double produit (négatif) attendu = $-2 \times 3 = -6$ ✓ $\boxed{x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2}$

c) $x^2 + 5x + 4$

Test : $\sqrt{4} = 2$ ; double produit attendu = $2 \times 2 = 4 \neq 5$ ❌

→ Ce n'est pas un carré parfait.

Réflexe

On vérifie toujours le double produit, c'est lui qui « trahit » une identité remarquable.

Exercice 5—Équations produit nulNiveau 1

Résous :
a) $(x - 2)(x + 7) = 0$
b) $(2x + 1)(3 - x) = 0$
c) $x(x + 4) = 0$

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Règle

un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul.

a) $x - 2 = 0$ ou $x + 7 = 0$ : $\mathbf{x = 2}$ ou $\mathbf{x = -7}$.

b) $2x + 1 = 0$ donne $x = -\dfrac{1}{2}$ ; $3 - x = 0$ donne $x = 3$. Solutions : $\mathbf{-\dfrac{1}{2}}$ et $\mathbf{3}$.

c) $x = 0$ ou $x + 4 = 0$ : $\mathbf{x = 0}$ ou $\mathbf{x = -4}$.

🔍 Vérification (b) : pour $x = 3$, $(2 \times 3 + 1)(3 - 3) = 7 \times 0 = 0$ ✓

Exercice 6—Équation par factorisationNiveau 1

Résous :
a) $x^2 - 5x = 0$
b) $x^2 - 16 = 0$

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Règle

pour résoudre une équation produit-nul, on factorise puis on utilise $AB = 0 \Leftrightarrow A=0$ ou $B=0$.

a) $x^2 - 5x = 0$

Facteur commun $x$ : $\[x(x - 5) = 0\]$ $\Rightarrow x = 0 \text{ ou } x - 5 = 0$ $\boxed{x = 0 \text{ ou } x = 5}$

b) $x^2 - 16 = 0$

Différence de carrés : $\[(x-4)(x+4) = 0\]$ $\Rightarrow x = 4 \text{ ou } x = -4$ $\boxed{x = 4 \text{ ou } x = -4}$

🔍 Vérifications : $0^2 - 5 \times 0 = 0$ ✓ ; $5^2 - 5 \times 5 = 0$ ✓ ; $4^2 - 16 = 0$ ✓ ; $(-4)^2 - 16 = 0$ ✓

Piège

$x^2 - 16 = 0$ équivaut à $x^2 = 16$ → $x = \pm 4$ (pas seulement $x = 4$ !).

Exercice 7—Identités remarquablesNiveau 1

Développe :
a) $(x + 3)^2$ $\quad$
b) $(x - 5)^2$ $\quad$
c) $(x + 4)(x - 4)$

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🎯 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ; $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

a) $\mathbf{x^2 + 6x + 9}$ ; b) $\mathbf{x^2 - 10x + 25}$ ; c) $\mathbf{x^2 - 16}$.

Exercice 8—Différence de deux carrésNiveau 1

Factorise :
a) $x^2 - 25$ $\quad$
b) $9x^2 - 4$

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a) $x^2 - 5^2 = \mathbf{(x - 5)(x + 5)}$. b) $(3x)^2 - 2^2 = \mathbf{(3x - 2)(3x + 2)}$.

Exercice 9—Carrés parfaitsNiveau 1

Factorise :
a) $x^2 + 10x + 25$ $\quad$
b) $x^2 - 6x + 9$

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a) $x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = \mathbf{(x + 5)^2}$. b) $x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 = \mathbf{(x - 3)^2}$.

Exercice 10—Produit nulNiveau 1

Résous :
a) $(x - 2)(x + 7) = 0$ $\quad$
b) $(2x - 1)(x + 3) = 0$

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🎯 Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

a) $x - 2 = 0$ ou $x + 7 = 0$ : solutions $\mathbf{2}$ et $\mathbf{-7}$.

b) $2x - 1 = 0$ ou $x + 3 = 0$ : solutions $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$ et $\mathbf{-3}$.

Exercice 11—Calcul mentalNiveau 1

Utilise une identité remarquable pour calculer :
a) $101^2$ $\quad$
b) $99^2$ $\quad$
c) $51 \times 49$

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a) $(100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = \mathbf{10\,201}$.

b) $(100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = \mathbf{9\,801}$.

c) $(50 + 1)(50 - 1) = 2\,500 - 1 = \mathbf{2\,499}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Développement complexeNiveau 2

Développe et réduis : $\[(2x-3)^2 - (x+1)(x-1)\]$

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Stratégie

développer chaque morceau séparément (en utilisant les identités remarquables), puis combiner.

Étape 1 — Développer $(2x-3)^2$

Identité $(a-b)^2$ avec $a = 2x$, $b = 3$ : $\[(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\]$

Étape 2 — Développer $(x+1)(x-1)$

Identité $a^2 - b^2$ : $\[(x+1)(x-1) = x^2 - 1\]$

Étape 3 — Soustraire (attention au signe)

$\[(2x-3)^2 - (x+1)(x-1) = (4x^2 - 12x + 9) - (x^2 - 1)\]$ $\[= 4x^2 - 12x + 9 - x^2 + 1\]$

Étape 4 — Réduire

$= (4x^2 - x^2) + (-12x) + (9 + 1) = \mathbf{3x^2 - 12x + 10}$

Piège du signe

$-(x^2 - 1) = -x^2 + 1$ (le signe se distribue sur tous les termes).

Exercice 13—Factorisation mixteNiveau 2

Factorise complètement :
a) $3x^2 - 12$
b) $5x^2 - 20x + 20$

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Stratégie

factorisation complète = chercher d'abord un facteur commun, puis voir si le reste se factorise (identités remarquables).

a) $3x^2 - 12$

Facteur commun : 3 : $\[3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4)\]$

Différence de carrés à l'intérieur : $= \mathbf{3(x-2)(x+2)}$

b) $5x^2 - 20x + 20$

Facteur commun : 5 : $\[5x^2 - 20x + 20 = 5(x^2 - 4x + 4)\]$

Test carré parfait : $\sqrt 4 = 2$ et $2 \times 2 = 4$ → c'est $(x-2)^2$ : $= \mathbf{5(x-2)^2}$

🔍 Vérification (8b) : $5(x-2)^2 = 5(x^2 - 4x + 4) = 5x^2 - 20x + 20$ ✓

Méthode systématique

1) facteur commun, 2) identité remarquable, 3) regroupement.

Exercice 14—Facteur commun entre parenthèsesNiveau 2

Factorise :
a) $(x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 5)$
b) $(2x - 1)^2 - (2x - 1)(x + 3)$

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Stratégie

on repère la parenthèse commune et on la traite comme un seul nombre.

a) Facteur commun : $(x + 2)$. $(x + 2)\big[(3x - 1) + (x + 5)\big] = (x + 2)(4x + 4) = \mathbf{4(x + 2)(x + 1)}$ (car $4x + 4 = 4(x + 1)$).

b) $(2x - 1)^2 = (2x - 1)(2x - 1)$ : le facteur commun est $(2x - 1)$. $(2x - 1)\big[(2x - 1) - (x + 3)\big] = (2x - 1)(2x - 1 - x - 3) = \mathbf{(2x - 1)(x - 4)}$

Attention

Le « $-$ » devant $(x + 3)$ change les deux signes : $-(x + 3) = -x - 3$.

🔍 Vérification (b) pour $x = 0$ : $(-1)^2 - (-1) \times 3 = 1 + 3 = 4$ et $(-1) \times (-4) = 4$ ✓

Exercice 15—Équation par factorisationNiveau 2

Résous : $\[(x-3)(x+5) = 0\]$

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Règle

produit nul → un des facteurs est nul.

Étape 1 — Annuler chaque facteur

$\[(x-3)(x+5) = 0\]$ $\Leftrightarrow x-3 = 0 \text{ ou } x+5 = 0$

Étape 2 — Résoudre

$x = 3 \text{ ou } x = -5$

$\boxed{S = \{-5\,;\,3\}}$

🔍 Vérifications : $(3-3)(3+5) = 0 \times 8 = 0$ ✓ ; $(-5-3)(-5+5) = (-8) \times 0 = 0$ ✓

Exercice 16—Factoriser pour résoudreNiveau 2

Résous l'équation $(2x - 1)^2 - 9 = 0$. (Indice : $9 = 3^2$.)

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Stratégie

on reconnaît une différence de deux carrés $A^2 - B^2$ avec $A = 2x - 1$ et $B = 3$.

Étape 1 — Factoriser $\[(2x - 1)^2 - 3^2 = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3) = (2x - 4)(2x + 2)\]$

Étape 2 — Produit nul

$2x - 4 = 0$ donne $x = 2$ ;
$2x + 2 = 0$ donne $x = -1$.

Solutions : $\mathbf{2}$ et $\mathbf{-1}$.

🔍 Vérification : $(2 \times 2 - 1)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$ ✓ ; $(2 \times (-1) - 1)^2 - 9 = (-3)^2 - 9 = 0$ ✓

Exercice 17—Programme de calculNiveau 2

Programme : « Choisir un nombre ; lui ajouter $3$ ; élever le résultat au carré ; soustraire le carré du nombre de départ. »
a) Quel résultat obtient-on avec $2$ ?
b) On note $x$ le nombre de départ. Montre que le résultat est $6x + 9$.
c) Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $0$ ?
d) Montre que si on choisit un nombre entier, le résultat est un multiple de $3$.

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a) $2 + 3 = 5$ ; $5^2 = 25$ ; $25 - 2^2 = 25 - 4 = \mathbf{21}$.

b) Le résultat est $(x + 3)^2 - x^2$. Avec l'identité $(a + b)^2$ : $(x + 3)^2 - x^2 = x^2 + 6x + 9 - x^2 = \mathbf{6x + 9}$ Vérification avec a) : $6 \times 2 + 9 = 21$ ✓

c) $6x + 9 = 0$ donne $6x = -9$, soit $x = \mathbf{-1{,}5}$.

d) $6x + 9 = 3(2x + 3)$. Si $x$ est entier, $2x + 3$ est entier : le résultat est $3$ fois un entier, donc un multiple de $3$.

Exercice 18—Expression littéraleNiveau 2

Montre que $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

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Stratégie

développer les deux carrés et soustraire.

Étape 1 — Développer $(a+b)^2$

$\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]$

Étape 2 — Développer $(a-b)^2$

$\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]$

Étape 3 — Calculer la différence

$\[(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\]$ $= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = \mathbf{4ab} \;\square$

🔍 Vérification numérique : pour $a = 3, b = 2$ : $(5)^2 - (1)^2 = 25 - 1 = 24$ et $4 \times 3 \times 2 = 24$ ✓

Identité utile

C'est aussi une différence de carrés : $(a+b)^2 - (a-b)^2 = [(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)] = (2a)(2b) = 4ab$.

Exercice 19—Application numérique des identitésNiveau 2

Calcule astucieusement :
a) $99^2$ (utiliser $(100-1)^2$)
b) $51 \times 49$ (utiliser $(50+1)(50-1)$)

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Stratégie

reconnaître des produits remarquables astucieux.

a) Calcul de $99^2$ via $(100-1)^2$

$99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1^2$ $= 10\,000 - 200 + 1 = \mathbf{9\,801}$

b) Calcul de $51 \times 49$ via $(50+1)(50-1)$

$51 \times 49 = (50+1)(50-1) = 50^2 - 1^2 = 2\,500 - 1 = \mathbf{2\,499}$

🔍 Vérification calculatrice : $99 \times 99 = 9\,801$ ✓ ; $51 \times 49 = 2\,499$ ✓

Très utile en calcul mental

Tout produit de la forme $(N-1)(N+1) = N^2 - 1$. Exemple : $19 \times 21 = 20^2 - 1 = 399$.

Exercice 20—Développer et réduireNiveau 2

Développe et réduis : $(2x + 3)^2 - (x - 1)^2$.

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$(4x^2 + 12x + 9) - (x^2 - 2x + 1) = 4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 2x - 1 = \mathbf{3x^2 + 14x + 8}$.

Attention

Le signe « $-$ » devant la parenthèse change tous les signes.

🔍 Avec $x = 2$ : $49 - 1 = 48$ et $12 + 28 + 8 = 48$ ✓

Exercice 21—Facteur commun entre parenthèsesNiveau 2

Factorise : $(x + 2)(3x - 1) - (x + 2)(x + 4)$.

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$(x + 2)\big[(3x - 1) - (x + 4)\big] = (x + 2)(3x - 1 - x - 4) = \mathbf{(x + 2)(2x - 5)}$.

Exercice 22—Équations $x^2 = a$Niveau 2

Résous :
a) $x^2 = 49$ $\quad$
b) $x^2 - 9 = 0$ $\quad$
c) $x^2 = -4$

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a) $x = \mathbf{7}$ ou $x = \mathbf{-7}$.

b) $(x - 3)(x + 3) = 0$ : $x = \mathbf{3}$ ou $x = \mathbf{-3}$.

c) Un carré n'est jamais négatif : aucune solution.

Exercice 23—Factoriser pour résoudreNiveau 2

Résous : $(x + 1)^2 - 16 = 0$.

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$(x + 1)^2 - 4^2 = (x + 1 - 4)(x + 1 + 4) = (x - 3)(x + 5)$. Produit nul : $x = \mathbf{3}$ ou $x = \mathbf{-5}$.

Exercice 24—Le cadreNiveau 2

On retire d'un carré de côté $x + 3$ un carré de côté $3$ (en cm).
a) Montre que l'aire restante vaut $x^2 + 6x$, puis factorise-la.
b) Calcule cette aire pour $x = 4$ de deux façons.

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a) $(x + 3)^2 - 3^2 = x^2 + 6x + 9 - 9 = x^2 + 6x = \mathbf{x(x + 6)}$.

b) $7^2 - 9 = 40$ et $4 \times 10 = 40$ : l'aire vaut $\mathbf{40}$ cm².

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Aire d'une figureNiveau 3

Dans un carré de côté $2x + 1$ (en cm, avec $x > 0$), on découpe un carré de côté $x$.
a) Exprime l'aire $A$ de la partie restante en fonction de $x$.
b) Développe et réduis $A$.
c) Factorise $A$ en utilisant une différence de deux carrés.
d) Calcule $A$ pour $x = 3$ avec la forme de ton choix.

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a) $A = \text{aire du grand carré} - \text{aire du petit carré} = \mathbf{(2x + 1)^2 - x^2}$.

b) $A = 4x^2 + 4x + 1 - x^2 = \mathbf{3x^2 + 4x + 1}$.

c) Différence de carrés avec $a = 2x + 1$ et $b = x$ : $A = (2x + 1 - x)(2x + 1 + x) = \mathbf{(x + 1)(3x + 1)}$

d) Avec la forme factorisée : $A = (3 + 1)(9 + 1) = 4 \times 10 = \mathbf{40}$ cm².

🔍 Vérification : $7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$ ✓

Exercice 26—Équation avec paramètreNiveau 3

Pour quelle valeur de $k$, l'expression $x^2 - 6x + k$ est-il un carré parfait ?

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Stratégie

identifier les coefficients du carré parfait $(x-a)^2$, retrouver $a$, puis calculer $a^2$.

Étape 1 — Forme générale d'un carré parfait

$\[(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2\]$

Étape 2 — Identification

Pour avoir $x^2 - 6x + k = (x-a)^2$ :

coefficient de $x$ : $-2a = -6 \Rightarrow a = 3$
terme constant : $k = a^2 = 9$

Étape 3 — Conclusion

$\boxed{k = 9}$

Vérification : $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ ✓

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

Au lycée, cette idée (« compléter le carré ») sert à résoudre toutes les équations du second degré.

Exercice 27—Équation irrationnelleNiveau 3

Résous : $x^2 = 12 \quad \text{(réponse exacte, puis approchée)}$

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Règle

$x^2 = a$ (avec $a \geq 0$) a deux solutions : $x = \pm \sqrt a$.

Étape 1 — Extraire la racine

$x = \pm \sqrt{12}$

Étape 2 — Valeurs exactes et approchées

Valeurs exactes : $x = \sqrt{12}$ ou $x = -\sqrt{12}$.

Valeurs approchées (calculatrice) : $\sqrt{12} \approx 3{,}46$, donc $x \approx 3{,}46$ ou $x \approx -3{,}46$.

🔍 Vérification : $3{,}46^2 \approx 11{,}97$, proche de $12$ ✓

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

Au lycée, on écrira $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.

Piège

Ne pas oublier la solution négative $-\sqrt a$. Si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions ; si $a = 0$, une seule ($0$) ; si $a < 0$, aucune (un carré n'est jamais négatif).

Exercice 28—Attention aux simplificationsNiveau 3

a) Léo résout $x^2 = 2x$ en divisant par $x$ et trouve $x = 2$. Pourquoi sa réponse est-elle incomplète ? Résous correctement.
b) Résous $(x - 3)^2 = (x - 3)(2x + 1)$.

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a) En divisant par $x$, Léo suppose $x \ne 0$ : il perd la solution $x = 0$. Méthode correcte : $x^2 - 2x = 0$, soit $x(x - 2) = 0$. Solutions : $\mathbf{0}$ et $\mathbf{2}$.

b) On ramène tout dans le membre de gauche : $\[(x - 3)^2 - (x - 3)(2x + 1) = 0\]$ Facteur commun $(x - 3)$ : $(x - 3)\big[(x - 3) - (2x + 1)\big] = 0 \qquad (x - 3)(-x - 4) = 0$

$x - 3 = 0$ donne $x = 3$ ;
$-x - 4 = 0$ donne $x = -4$.

Solutions : $\mathbf{3}$ et $\mathbf{-4}$.

🔍 Vérification pour $x = -4$ : $(-7)^2 = 49$ et $(-7) \times (-7) = 49$ ✓

Exercice 29—DémontrerNiveau 3

a) Montre que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.
b) Montre que si l'on multiplie deux nombres impairs consécutifs et qu'on ajoute $1$, on obtient toujours un carré. (On pourra les écrire $2n - 1$ et $2n + 1$.)

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a) Deux entiers consécutifs s'écrivent $n$ et $n + 1$ ($n$ entier). $\[(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1\]$ $2n + 1$ est un nombre impair. ✓ Exemple : $8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15 = 2 \times 7 + 1$.

b) Avec l'identité $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ : $\[(2n - 1)(2n + 1) + 1 = (2n)^2 - 1 + 1 = 4n^2 = (2n)^2\]$ On obtient bien un carré. ✓ Exemple : $7 \times 9 + 1 = 64 = 8^2$.

Exercice 30—SynthèseNiveau 3

On considère $E = (2x - 3)^2 - 16$.
a) Développe et réduis $E$.
b) Factorise $E$.
c) Résous l'équation $E = 0$.
d) Calcule $E$ pour $x = 0$, en choisissant la forme la plus pratique.
e) Résous l'équation $E = -7$.

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a) $E = 4x^2 - 12x + 9 - 16 = \mathbf{4x^2 - 12x - 7}$.

b) $16 = 4^2$ : différence de deux carrés avec $a = 2x - 3$ et $b = 4$. $E = (2x - 3 - 4)(2x - 3 + 4) = \mathbf{(2x - 7)(2x + 1)}$

c) Avec la forme factorisée : $2x - 7 = 0$ ou $2x + 1 = 0$, soit $\mathbf{x = \dfrac{7}{2}}$ ou $\mathbf{x = -\dfrac{1}{2}}$.

d) Avec la forme développée : $E = 0 - 0 - 7 = \mathbf{-7}$.

e) Avec la forme développée : $4x^2 - 12x - 7 = -7$ donne $4x^2 - 12x = 0$, soit $4x(x - 3) = 0$. Solutions : $\mathbf{0}$ et $\mathbf{3}$.

🔍 Vérification pour $x = 3$ : $(6 - 3)^2 - 16 = 9 - 16 = -7$ ✓

À retenir

Forme développée pour calculer en $0$, forme factorisée pour résoudre « $= 0$ ».