Brevet blanc — Sujet 3
Durée : 2 heures · Total : 20 points
Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.
PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)
20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.
Question 1. Calculer \(7 \times 0{,}4\).
Question 2. Calculer \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\) et donner le résultat sous forme irréductible.
Question 3. Combien de minutes vaut le quart de \(2\) heures ?
Question 4. (QCM) On agrandit une figure en multipliant toutes ses longueurs par \(2\). Son aire est multipliée par :
A. \(2\) \(\qquad\) B. \(4\) \(\qquad\) C. \(8\)
Question 5. Résoudre l'équation \(2x + 7 = 1\).
Question 6. (Vrai ou faux) « \(0{,}5 = 50\,\%\) »
Question 7. Un triangle est rectangle et l'un de ses angles aigus mesure \(35°\). Combien mesure l'autre angle aigu ?
Question 8. (QCM) \(10^3 \times 10^{-5}\) est égal à :
A. \(10^{-15}\) \(\qquad\) B. \(10^{8}\) \(\qquad\) C. \(10^{-2}\)
Question 9. \(4\) cahiers coûtent \(10\) €. Combien coûtent \(6\) cahiers ?
Question 10. Donner l'étendue de la série : \(3\) ; \(11\) ; \(7\) ; \(15\).
PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)
1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.
Exercice 1 (4 pts)
On considère le programme de calcul suivant :
- Choisir un nombre.
- Lui ajouter \(3\).
- Élever le résultat au carré.
- Soustraire \(9\).
1. Montrer que si l'on choisit \(4\), on obtient \(40\).
2. Quel résultat obtient-on en choisissant \(-5\) ?
3. On note \(x\) le nombre choisi. Montrer que le résultat est égal à \(x^2 + 6x\), puis à \(x(x + 6)\).
4. Quels nombres faut-il choisir pour obtenir \(0\) ?
Exercice 2 (3 pts)
Le prix d'un abonnement annuel à une salle de sport est de \(240\) €. Il augmente de \(5\,\%\) en janvier, puis baisse de \(5\,\%\) en juillet.
1. Calculer le prix après la hausse de janvier, puis après la baisse de juillet.
2. Après ces deux évolutions, le prix est-il revenu à \(240\) € ? Calculer le pourcentage d'évolution global.
Exercice 3 (4 pts)
Un musée a la forme d'une pyramide régulière \(SABCD\) à base carrée. Le côté de la base mesure \(30\) m et la hauteur \(SO\) mesure \(20\) m.
Rappel : volume d'une pyramide \(= \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\).
1. Calculer le volume de la pyramide en m³.
2. \(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(OI = 15\) m. Le triangle \(SOI\) est rectangle en \(O\). Calculer \(SI\).
3. Les quatre faces triangulaires sont vitrées. Calculer l'aire totale de verre.
4. On construit une maquette de ce musée à l'échelle \(\dfrac{1}{200}\). Quel est le volume de la maquette, en cm³ ?
Exercice 4 (3 pts)
On considère le script ci-dessous (le lutin part en regardant vers la droite) :
quand le drapeau est cliqué
stylo en position d'écriture
répéter 5 fois
avancer de 60
tourner de 72 degrés
1. Quelle figure le lutin trace-t-il ? Calculer son périmètre (en pas).
2. Expliquer pourquoi le lutin tourne de \(72°\) à chaque fois.
3. Modifier le script pour qu'il trace un hexagone régulier de côté \(50\) pas.
Corrigé Partie 1 — Automatismes
| Question | Réponse | Explication |
|---|---|---|
| 1 | \(2{,}8\) | \(7 \times 4 = 28\), puis on divise par \(10\) |
| 2 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) |
| 3 | \(30\) min | \(2\) h \(= 120\) min et \(120 \div 4 = 30\) |
| 4 | B | les aires sont multipliées par \(2^2 = 4\) |
| 5 | \(x = -3\) | \(2x = 1 - 7 = -6\) |
| 6 | Vrai | \(0{,}5 = \dfrac{50}{100}\) |
| 7 | \(55°\) | les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : \(90 - 35\) |
| 8 | C | \(10^{3 + (-5)} = 10^{-2}\) |
| 9 | \(15\) € | \(1\) cahier coûte \(2{,}50\) € ; \(6 \times 2{,}50 = 15\) |
| 10 | \(12\) | \(15 - 3 = 12\) |
Corrigé Exercice 1
tester le programme sur des nombres, puis le traduire par une expression littérale qu'on développe ; pour trouver quand elle s'annule, on la factorise (produit nul).
1. \(4 + 3 = 7\) ; \(7^2 = 49\) ; \(49 - 9 = \mathbf{40}\) ✓
2. \(-5 + 3 = -2\) ; \((-2)^2 = 4\) ; \(4 - 9 = \mathbf{-5}\).
3. Le résultat est \((x + 3)^2 - 9 = x^2 + 6x + 9 - 9 = \mathbf{x^2 + 6x}\), et \(x^2 + 6x = \mathbf{x(x + 6)}\) (facteur commun \(x\)).
🔍 Vérification avec \(x = 4\) : \(4 \times 10 = 40\) ✓
4. \(x(x + 6) = 0\) : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. \(x = 0\) ou \(x + 6 = 0\) : il faut choisir \(\mathbf{0}\) ou \(\mathbf{-6}\).
Corrigé Exercice 2
des évolutions successives se traduisent par des coefficients multiplicateurs qu'on multiplie entre eux.
1. Après la hausse : \(240 \times 1{,}05 = \mathbf{252}\) €. Après la baisse : \(252 \times 0{,}95 = \mathbf{239{,}40}\) €.
2. Non : \(239{,}40 \ne 240\). Coefficient global : \(1{,}05 \times 0{,}95 = 0{,}9975\), soit une baisse de \(0{,}25\,\%\).
\(+5\,\%\) puis \(-5\,\%\) ne se compensent pas, car la baisse s'applique à un prix plus élevé (\(252\) € au lieu de \(240\) €).
Corrigé Exercice 3
volume par la formule de la pyramide ; la hauteur d'une face (l'apothème \(SI\)) s'obtient par Pythagore dans le triangle rectangle \(SOI\) ; dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\).
1. Aire de la base : \(30^2 = 900\) m². \(V = \dfrac{1}{3} \times 900 \times 20 = \mathbf{6\,000}\) m³.
2. Dans \(SOI\) rectangle en \(O\) : \(SI^2 = SO^2 + OI^2 = 400 + 225 = 625\), donc \(SI = \mathbf{25}\) m.
3. \([SI]\) est la hauteur de la face \(SBC\) (triangle isocèle en \(S\), \(I\) milieu de \([BC]\)). Aire d'une face : \(\dfrac{30 \times 25}{2} = 375\) m². Aire de verre : \(4 \times 375 = \mathbf{1\,500}\) m².
4. Les volumes sont multipliés par \(\left(\dfrac{1}{200}\right)^3 = \dfrac{1}{8\,000\,000}\) : \[V_\text{maquette} = \dfrac{6\,000}{8\,000\,000} = 0{,}000\,75 \text{ m}^3 = \mathbf{750 \text{ cm}^3}\]
🔍 Autre méthode : la maquette a une base de \(15\) cm de côté et une hauteur de \(10\) cm : \(\dfrac{1}{3} \times 225 \times 10 = 750\) cm³ ✓
Corrigé Exercice 4
pour un polygone régulier à \(n\) côtés, le lutin fait un tour complet (\(360°\)) en \(n\) rotations, donc tourne de \(\dfrac{360°}{n}\) à chaque sommet.
1. Un pentagone régulier de côté \(60\) pas ; périmètre \(5 \times 60 = \mathbf{300}\) pas.
2. Le lutin tourne \(5\) fois et revient dans sa direction de départ, soit un tour complet : \(360° \div 5 = 72°\).
3.
quand le drapeau est cliqué
stylo en position d'écriture
répéter 6 fois
avancer de 50
tourner de 60 degrés
L'angle de rotation du lutin (\(60°\)) n'est pas l'angle intérieur de l'hexagone (\(120°\)).
BARÈME
| Partie | Points |
|---|---|
| Partie 1 — Automatismes (\(10\) questions \(\times\) \(0{,}6\) pt) | \(6\) |
| Exercice 1 | \(4\) |
| Exercice 2 | \(3\) |
| Exercice 3 | \(4\) |
| Exercice 4 | \(3\) |
| Total | 20 |