Brevet blanc — Sujet 2

Durée : 2 heures · Total : 20 points

Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.

Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.

PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)

20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.

Question 1. Calculer les \(\dfrac{2}{3}\) de \(9\).

Question 2. Arrondir \(7{,}46\) au dixième.

Question 3. (QCM) \((-3)^2\) est égal à :

A. \(-9\) \(\qquad\) B. \(9\) \(\qquad\) C. \(-6\)

Question 4. Convertir \(1{,}2\) km en mètres.

Question 5. Calculer la moyenne des notes \(8\) ; \(12\) ; \(13\).

Question 6. Factoriser \(5x + 15\).

Question 7. (Vrai ou faux) « Un triangle dont les côtés mesurent \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm est rectangle. »

Question 8. Soit \(f(x) = 2x - 1\). Calculer l'image de \(3\) par \(f\).

Question 9. Un article coûte \(40\) €. Son prix baisse de \(25\,\%\). Quel est son nouveau prix ?

Question 10. (QCM) On exécute le script suivant :

répéter 3 fois
    avancer de 100
    tourner de 120 degrés

La figure tracée est :

A. un carré \(\qquad\) B. un triangle équilatéral \(\qquad\) C. un hexagone

PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)

1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.

Exercice 1 (3 pts)

Une fleuriste dispose de \(252\) roses et de \(360\) tulipes. Elle veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.

1. Décomposer \(252\) et \(360\) en produits de facteurs premiers.

2. Peut-elle composer \(8\) bouquets ? Justifier.

3. Quel est le plus grand nombre de bouquets qu'elle peut composer ? Quelle est alors la composition de chaque bouquet ?

Exercice 2 (4 pts)

Une salle d'escalade propose trois tarifs :

• Tarif A : \(12\) € la séance ;
• Tarif B : un abonnement annuel de \(60\) €, puis \(7\) € la séance ;
• Tarif C : un forfait annuel illimité de \(400\) €.

On note \(x\) le nombre de séances dans l'année.

1. Calculer le prix payé avec chaque tarif pour \(10\) séances.

2. On note \(f(x)\) le prix payé avec le tarif A et \(g(x)\) celui payé avec le tarif B. Exprimer \(f(x)\) et \(g(x)\) en fonction de \(x\). Laquelle de ces deux fonctions est linéaire ?

3. Résoudre l'équation \(12x = 7x + 60\). Interpréter le résultat.

4. Léa compte aller à la salle \(50\) fois dans l'année. Quel tarif lui conseiller ?

Exercice 3 (4 pts)

Sur la figure, les points \(A\), \(M\), \(B\) sont alignés, ainsi que les points \(A\), \(N\), \(C\). On donne : \(AB = 6\) cm, \(AC = 10\) cm, \(BC = 8\) cm, \(AM = 2{,}4\) cm et \(AN = 4\) cm.

1. Démontrer que les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.

2. Calculer la longueur \(MN\).

3. Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).

4. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\), arrondie au dixième de degré.

Exercice 4 (3 pts)

Un sac contient \(5\) boules rouges, \(3\) boules vertes et \(2\) boules jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

2. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule verte ?

3. On ajoute dans le sac des boules jaunes. Combien faut-il en ajouter pour que la probabilité de tirer une boule jaune soit égale à \(\dfrac{1}{3}\) ?

Corrigé Partie 1 — Automatismes

Corrigé Exercice 1

1. \(252 = 2 \times 126 = 2^2 \times 63 = \mathbf{2^2 \times 3^2 \times 7}\) et \(360 = \mathbf{2^3 \times 3^2 \times 5}\).

2. \(360 \div 8 = 45\), mais \(252 \div 8 = 31{,}5\) n'est pas entier : elle ne peut pas faire \(8\) bouquets identiques.

3. Le plus grand diviseur commun reprend les facteurs communs : \(2^2 \times 3^2 = 36\). Elle peut composer \(36\) bouquets, chacun de \(252 \div 36 = \mathbf{7}\) roses et \(360 \div 36 = \mathbf{10}\) tulipes.

🔍 Vérification : \(36 \times 7 = 252\) et \(36 \times 10 = 360\) ✓

Corrigé Exercice 2

1. Tarif A : \(12 \times 10 = \mathbf{120}\) € ; tarif B : \(60 + 7 \times 10 = \mathbf{130}\) € ; tarif C : \(\mathbf{400}\) €.

2. \(\mathbf{f(x) = 12x}\) et \(\mathbf{g(x) = 7x + 60}\). \(f\) est linéaire (de la forme \(ax\)) ; \(g\) est affine mais pas linéaire (prix non proportionnel au nombre de séances).

3. \(12x = 7x + 60 \iff 5x = 60 \iff x = 12\). Pour \(12\) séances, les tarifs A et B coûtent le même prix : \(144\) €.

4. Pour \(50\) séances : A : \(600\) € ; B : \(7 \times 50 + 60 = 410\) € ; C : \(400\) €. On lui conseille le tarif C.

Corrigé Exercice 3

1. \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\). Les quotients sont égaux et les points \(A, M, B\) et \(A, N, C\) sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN) \parallel (BC)\).

2. Les droites étant parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB} = 0{,}4\), donc \(MN = 0{,}4 \times 8 = \mathbf{3{,}2}\) cm.

3. Le plus grand côté est \([AC]\) : \(AC^2 = 100\) ; \(AB^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100\). Comme \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(B\).

4. Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) : \(\cos\widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\), donc \(\widehat{BAC} \approx \mathbf{53{,}1°}\).

Corrigé Exercice 4

1. \(10\) boules dont \(5\) rouges : \(P = \dfrac{5}{10} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\).

2. \(10 - 3 = 7\) boules ne sont pas vertes : \(P = \mathbf{\dfrac{7}{10}}\).

3. On ajoute \(n\) boules jaunes : \(\dfrac{2 + n}{10 + n} = \dfrac{1}{3}\), soit \(3(2 + n) = 10 + n\), \(6 + 3n = 10 + n\), \(2n = 4\), \(n = 2\). Il faut ajouter \(2\) boules jaunes.

🔍 Vérification : \(4\) jaunes sur \(12\) boules, et \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\) ✓

BARÈME