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3e · Chapitre 3 · Calcul littéral et équations

Équations et inéquations

30 exercices corrigés

1 Résoudre une équation du premier degré

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

À retenir

On ne change pas les solutions d'une équation si :

  • on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres ;
  • on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.
Exemple

\(5x - 4 = 2x + 11\). On soustrait \(2x\) : \(3x - 4 = 11\). On ajoute \(4\) : \(3x = 15\). On divise par \(3\) : \(x = 5\). Vérification : \(5 \times 5 - 4 = 21\) et \(2 \times 5 + 11 = 21\) ✓

Avec des fractions

On multiplie les deux membres par un dénominateur commun pour « faire disparaître » les fractions. \(\dfrac{2x - 1}{3} + \dfrac{x + 2}{4} = 1\) : on multiplie par \(12\) : \(4(2x - 1) + 3(x + 2) = 12\), soit \(11x + 2 = 12\), donc \(x = \dfrac{10}{11}\).

2 Mettre un problème en équation

Méthode
  1. choisir l'inconnue (« soit \(x\) le nombre de… ») ;
  2. traduire l'énoncé par une équation ;
  3. résoudre l'équation ;
  4. vérifier et répondre par une phrase.
Exemple

Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de \(5\) cm et un périmètre de \(46\) cm. Soit \(x\) la largeur : \(2(x + x + 5) = 46\), soit \(4x + 10 = 46\), donc \(x = 9\). Le rectangle mesure \(9\) cm sur \(14\) cm.

3 Équations produit nul et équations \(x^2 = a\)

Rappel — produit nul

\(A \times B = 0\) signifie \(A = 0\) ou \(B = 0\). \((x - 4)(3x + 2) = 0\) a deux solutions : \(4\) et \(-\dfrac{2}{3}\).

À retenir — l'équation \(x^2 = a\)
  • si \(a > 0\), elle a deux solutions : \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\) ;
  • si \(a = 0\), elle a une solution : \(0\) ;
  • si \(a < 0\), elle n'a aucune solution (un carré n'est jamais négatif).

Exemples : \(x^2 = 25\) donne \(x = 5\) ou \(x = -5\) ; \(\;x^2 = -9\) n'a pas de solution.

4 Les inéquations du premier degré

Une inéquation contient un signe \(<\), \(>\), \(\leqslant\) ou \(\geqslant\). Elle a en général une infinité de solutions.

À retenir
  • ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité ;
  • multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens ;
  • multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens !
Exemple

\(-2x + 1 > 7\). On soustrait \(1\) : \(-2x > 6\). On divise par \(-2\) (négatif : le sens change) : \(x < -3\). Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à \(-3\).

Représenter les solutions sur une droite graduée

On colorie la partie qui convient. Le crochet est tourné vers les solutions si la borne est comprise (\(\leqslant\), \(\geqslant\)), tourné vers l'extérieur sinon (\(<\), \(>\)).

Vérifier

On teste un nombre de la zone coloriée, et un nombre en dehors.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 2de, tu noteras les solutions avec des intervalles (par exemple \(]-\infty \,;\, -3[\)) et tu résoudras des systèmes de deux équations à deux inconnues.

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