Le théorème de Pythagore

Étape 1 — Identifier les éléments

Les deux côtés de l'angle droit mesurent \(5\) et \(12\) cm ; hypoténuse \(c\) à trouver.

Étape 2 — Appliquer Pythagore

\[c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\] \[c = \sqrt{169} = \mathbf{13 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \((5, 12, 13)\) est un triplet pythagoricien classique. ✓

Étape 1 — Identifier

Hypoténuse \(c = 13\), un côté de l'angle droit \(b = 5\), l'autre côté \(a\) à trouver.

Étape 2 — Pythagore inversé

\[a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\] \[a = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✓

a) Côtés 3, 4, 5

Plus grand côté : 5. \[5^2 = 25 \quad ; \quad 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \quad\Rightarrow\quad 25 = 25 \;✓\]

→ Triangle rectangle (hypoténuse 5).

b) Côtés 6, 8, 11

Plus grand : 11. \[11^2 = 121 \quad ; \quad 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \neq 121\]

→ Non rectangle.

c) Côtés 5, 12, 13

Plus grand : 13. \[13^2 = 169 \quad ; \quad 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \;✓\]

→ Triangle rectangle.

Étape 1 — Appliquer Pythagore

\[d^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\] \[d = \sqrt{289} = \mathbf{17 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \((8, 15, 17)\) est un triplet pythagoricien ✓

• Plus grand côté : \([EG]\) ; \(EG^2 = 15^2 = 225\).
• \(EF^2 + FG^2 = 81 + 144 = 225\).

On a \(EG^2 = EF^2 + FG^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \(EFG\) est rectangle en \(F\) (le sommet opposé au plus grand côté).

a) La diagonale \(d\) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(80\) et \(45\) : \[d^2 = 80^2 + 45^2 = 6\,400 + 2\,025 = 8\,425 \qquad d = \sqrt{8\,425} \approx \mathbf{91{,}8 \text{ cm}}\]

b) \(91{,}8 \div 2{,}54 \approx \mathbf{36}\) pouces.

\(h^2 = 81 + 144 = 225\), \(h = \mathbf{15}\) cm.

\(c^2 = 289 - 64 = 225\), \(c = \mathbf{15}\) cm.

\(25^2 = 625\) et \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\) : d'après la réciproque, le triangle est rectangle.

\(9^2 = 81\) et \(6^2 + 7^2 = 85\). \(81 \ne 85\) : il n'est pas rectangle.

\(d^2 = 25 + 144 = 169\), \(d = \mathbf{13}\) cm.

Étape 1 — Identifier le triangle rectangle

La hauteur partage la base en deux segments de \(\dfrac{6}{2} = 3\) cm.

Triangle rectangle : hypoténuse = 5 cm (côté), un côté de l'angle droit = 3 cm (demi-base), l'autre = \(h\) (hauteur).

Étape 2 — Pythagore

\[h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\] \[h = \sqrt{16} = \mathbf{4 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \((3, 4, 5)\) ! Encore un triplet pythagoricien. ✓

Étape 1 — Demi-diagonales

\[\dfrac{8}{2} = 4 \text{ cm} \quad ; \quad \dfrac{6}{2} = 3 \text{ cm}\]

Étape 2 — Côté du losange (Pythagore)

\[c^2 = 4^2 + 3^2 = 25 \quad\Rightarrow\quad c = \mathbf{5 \text{ cm}}\]

Étape 3 — Périmètre

\[\mathcal P = 4 \times 5 = \mathbf{20 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : tous les 4 côtés du losange sont identiques, d'où le \(\times 4\).

Étape 1 — Pythagore

\[\ell^2 = 20^2 + 25^2 = 400 + 625 = 1\,025\] \[\ell = \sqrt{1\,025} \approx \mathbf{32{,}0 \text{ cm}}\] (au mm)

🔍 Vérification d'ordre : \(\ell > \max(20, 25) = 25\) ✓

Étape 1 — Diagonale de la base

Base \(3 \times 4\) : \[d_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}\]

Étape 2 — Diagonale de la boîte

Triangle rectangle vertical : \(d_1\) horizontal, \(h = 12\) vertical, \(d\) = hypoténuse. \[d^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\] \[d = \sqrt{169} = \mathbf{13 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification par formule générale 3D : \(d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\) ✓

Étape 1 — Calcul de l'hypoténuse \(AC\)

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100\] \[AC = 10\]

Étape 2 — Rayon du cercle circonscrit

Centre = milieu de l'hypoténuse ; rayon = demi-hypoténuse. \[R = \dfrac{AC}{2} = \mathbf{5}\]

Étape 1 — Calculer le membre de gauche

\[(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2(a^2 + b^2)\]

Étape 2 — Utiliser l'hypothèse

Comme \(a^2 + b^2 = c^2\) : \[k^2(a^2 + b^2) = k^2 c^2 = (kc)^2\]

Conclusion : \((ka)^2 + (kb)^2 = (kc)^2\), donc \((ka, kb, kc)\) est un triplet pythagoricien. \(\;\square\)

a) Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle ; l'échelle est l'hypoténuse. \[h^2 = 5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04 \qquad h = \sqrt{23{,}04} = \mathbf{4{,}8 \text{ m}}\]

b) Le pied est maintenant à \(1{,}4 + 1{,}6 = 3\) m du mur : \[h'^2 = 25 - 9 = 16 \qquad h' = 4 \text{ m}\] Le haut de l'échelle descend de \(4{,}8 - 4 = \mathbf{0{,}8 \text{ m}}\).

Étape 1 — Identifier l'éventuelle hypoténuse

\(\sqrt{50} \approx 7{,}07\) qui est plus grand que 5. Donc \(AB\) est l'éventuelle hypoténuse.

Étape 2 — Test de la réciproque

\[AB^2 = 50\] \[BC^2 + AC^2 = 25 + 25 = 50 \;✓\]

Étape 3 — Conclusion

Par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en \(C\) (sommet opposé à l'hypoténuse \([AB]\)).

La hauteur coupe la base en son milieu : \(h^2 = 6^2 - 3^2 = 27\), \(h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx \mathbf{5{,}2}\) cm.

\(h^2 = 13^2 - 5^2 = 144\), \(h = \mathbf{12}\) cm. Aire : \(\dfrac{10 \times 12}{2} = \mathbf{60}\) cm².

Écart horizontal \(4 - 1 = 3\), écart vertical \(6 - 2 = 4\). \(AB^2 = 9 + 16 = 25\), \(AB = \mathbf{5}\).

Diagonale de base : \(\sqrt{9 + 16} = 5\) cm. Grande diagonale : \(\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = \mathbf{13}\) cm.

Au-dessus de la main : \(h^2 = 50^2 - 30^2 = 1\,600\), \(h = 40\) m. Hauteur : \(40 + 1{,}5 = \mathbf{41{,}5}\) m.

Étape 1 — Diagonale d'une face

La face est un carré de côté \(4\) : \(d_1^2 = 4^2 + 4^2 = 32\).

Étape 2 — Grande diagonale du cube

Le triangle formé par la diagonale de la face, une arête verticale et la grande diagonale \(D\) est rectangle : \[D^2 = d_1^2 + 4^2 = 32 + 16 = 48 \qquad D = \sqrt{48} \approx \mathbf{6{,}93 \text{ cm}}\]

Étape 1 — Demi-diagonale de la base

Diagonale du carré de base : \(d^2 = 6^2 + 6^2 = 72\), donc \(d = \sqrt{72} \approx 8{,}49\) cm et la demi-diagonale vaut environ \(4{,}24\) cm. Plus précisément, \(\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{d^2}{4} = \dfrac{72}{4} = 18\).

Étape 2 — Pythagore dans le triangle vertical

• Hypoténuse : l'arête latérale, \(7\) cm ;
• côtés de l'angle droit : la demi-diagonale et la hauteur \(h\).

\[7^2 = h^2 + 18 \qquad h^2 = 49 - 18 = 31 \qquad h = \sqrt{31} \approx \mathbf{5{,}57 \text{ cm}}\]

🔍 Cohérence : \(h < 7\) cm ✓ (la hauteur est plus courte que l'arête).

a) Les triangles \(ABH\) et \(ACH\) sont rectangles en \(H\).

• \(AB^2 = AH^2 + BH^2 = 144 + 25 = 169\), donc \(\mathbf{AB = 13}\) cm.
• \(AC^2 = AH^2 + HC^2 = 144 + 256 = 400\), donc \(\mathbf{AC = 20}\) cm.

b) \(BC = 5 + 16 = 21\) cm, c'est le plus grand côté.

• \(BC^2 = 441\) ;
• \(AB^2 + AC^2 = 169 + 400 = 569\).

\(BC^2 \ne AB^2 + AC^2\) : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, \(ABC\) n'est pas rectangle.

a) \(5^2 = 25\) et \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle : l'angle opposé au côté de \(5\) intervalles est droit.

b) Si le cadre était rectangulaire, la diagonale \(d\) vérifierait \(d^2 = 60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000\), soit \(d = 100\) cm. Or \(99^2 = 9\,801 \ne 10\,000\) : d'après la contraposée, l'angle n'est pas droit, le cadre n'est pas rectangulaire. La diagonale devrait mesurer \(100\) cm.

a) Léa : \(100 + 60 = \mathbf{160}\) m. Tom : \(d^2 = 100^2 + 60^2 = 13\,600\), donc \(d = \sqrt{13\,600} \approx \mathbf{116{,}6}\) m.

b) Économie : \(160 - 116{,}6 = 43{,}4\) m, soit \(\dfrac{43{,}4}{160} \times 100 \approx \mathbf{27\,\%}\).

a) Longueur d'une pente

Demi-base = 5 m, hauteur du triangle = 4 m.

Pythagore : \[p^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41\] \[p = \sqrt{41} \approx \mathbf{6{,}40 \text{ m}}\]

b) Surface totale des deux pentes

Chaque pente est un rectangle : pente \(\times\) longueur du bâtiment = \(\sqrt{41} \times 15\) m².

Deux pentes : \[\mathcal S = 2 \times \sqrt{41} \times 15 = 30\sqrt{41} \approx \mathbf{192{,}1 \text{ m}^2}\]

🔍 Cohérence dimensionnelle : \(192\) m² est l'aire des deux versants — réaliste pour un bâtiment de 15 m de long.