Notes \(8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 20\) (\(8\) valeurs, déjà rangées).
La moyenne et la médiane indiquent une valeur « centrale » ; l'étendue mesure la dispersion. La médiane n'est pas influencée par quelques valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.
Quand toutes les issues ont la même probabilité (on dit qu'elles sont équiprobables), \[P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues possibles}}\] et pour l'événement contraire « non \(A\) » : \(P(\text{non } A) = 1 - P(A)\).
Pour une expérience en deux étapes, on organise les issues avec un tableau à double entrée ou un arbre.
Sans remise, la composition du sac change après le premier tirage : au second tirage, il reste \(4\) boules.
Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité. On peut ainsi estimer une probabilité qu'on ne sait pas calculer (avec un tableur ou un programme Scratch, par exemple).
Contenu facultatif, non exigible.
Au lycée, tu étudieras les quartiles (qui découpent une série en quatre), les probabilités conditionnelles et l'espérance d'un jeu.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Moyenne | Somme des valeurs ÷ effectif total |
| Médiane | Ranger, puis prendre la valeur du milieu |
| Étendue | Max \(-\) min |
| Probabilité | Entre \(0\) et \(1\) ; issues favorables ÷ issues possibles |
| Contraire | \(P(\text{non } A) = 1 - P(A)\) |
| Arbre | Produit sur un chemin, somme des chemins |
| Fréquence | Se rapproche de la probabilité pour un grand nombre d'essais |
Les notes d'un élève : \(12, 15, 8, 14, 11, 16\). Calcule la moyenne.
\(\bar x = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}\).
Étape 1 — Somme des notes
\[12 + 15 + 8 + 14 + 11 + 16 = 76\]
Étape 2 — Diviser par le nombre de notes (6)
\[\bar x = \dfrac{76}{6} = \dfrac{38}{3} \approx \mathbf{12{,}67}\]
🔍 Vérification d'ordre : la moyenne (12,67) est bien comprise entre min (8) et max (16). ✓
Série : \(3, 5, 7, 5, 8, 9, 5, 6, 4\).
a) Range la série dans l'ordre croissant.
b) Calcule la médiane.
c) Calcule l'étendue.
a) Trier la série
\[3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9 \quad (9 \text{ valeurs})\]
b) Médiane
9 valeurs (impair) → médiane = valeur centrale (rang 5) :
| Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
\[\boxed{\text{Médiane} = 5}\]
c) Étendue
\(9 - 3 = \mathbf{6}\).
Nombre impair \(N\) → rang central \(= \dfrac{N+1}{2}\). Nombre pair → médiane = moyenne des deux valeurs centrales.
Voici les notes de \(8\) élèves : \(14, 9, 17, 11, 20, 12, 15, 8\). Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue de cette série.
Étape 1 — Ranger : \(8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 20\).
On lance un dé équilibré à 6 faces.
a) \(P(\text{face 3})\) = ?
b) \(P(\text{face paire})\) = ?
c) \(P(\text{face} > 4)\) = ?
dé équilibré → \(P(A) = \dfrac{|A|}{6}\).
a) Face 3
Une seule face → \(P(3) = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).
b) Face paire
Faces favorables : \(\{2, 4, 6\}\) → 3 sur 6 : \[P(\text{paire}) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\]
c) Face > 4
Faces favorables : \(\{5, 6\}\) → 2 sur 6 : \[P(> 4) = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\]
\(P(A) = 0{,}35\). Calcule \(P(\text{non } A)\).
\(P(\bar A) = 1 - P(A)\).
Étape 1 — Calcul
\[P(\bar A) = 1 - 0{,}35 = \mathbf{0{,}65}\]
🔍 Vérification : \(0{,}35 + 0{,}65 = 1\) ✓
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs × 8 valeurs). \(P(\text{as})\) = ? \(P(\text{cœur})\) = ?
Étape 1 — Probabilité de tirer un as
4 as (un par couleur) sur 32 : \[P(\text{as}) = \dfrac{4}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{8}}\]
Étape 2 — Probabilité de tirer un cœur
8 cartes de cœur sur 32 : \[P(\heartsuit) = \dfrac{8}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\]
🔍 Probabilité de l'as de cœur : il n'y en a qu'un, donc \(P = \dfrac{1}{32}\).
Série : \(8\) ; \(12\) ; \(15\) ; \(9\) ; \(11\). Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue.
Série rangée : \(8\) ; \(9\) ; \(11\) ; \(12\) ; \(15\). Moyenne \(\dfrac{55}{5} = \mathbf{11}\) ; médiane \(\mathbf{11}\) ; étendue \(15 - 8 = \mathbf{7}\).
Détermine la médiane de : \(2\) ; \(5\) ; \(7\) ; \(10\) ; \(12\) ; \(20\).
\(6\) valeurs : \(\dfrac{7 + 10}{2} = \mathbf{8{,}5}\).
On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair et supérieur à \(3\) ?
Issues favorables : \(4\) et \(6\). \(P = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\).
Une urne contient \(4\) boules rouges et \(6\) noires. Quelle est la probabilité de tirer une boule noire ?
\(\dfrac{6}{10} = \mathbf{0{,}6}\).
On lance une pièce \(500\) fois et on obtient \(260\) fois « pile ». Calcule la fréquence de « pile ». Est-ce surprenant ?
\(\dfrac{260}{500} = \mathbf{0{,}52}\). Pas surprenant : c'est proche de la probabilité \(0{,}5\) ; les fluctuations sont normales.
Un élève a eu :
Calcule sa moyenne pondérée.
moyenne pondérée \(= \dfrac{\text{somme des (note} \times \text{coefficient)}}{\text{somme des coefficients}}\).
Étape 1 — Numérateur (somme pondérée)
\[2 \times 14 + 3 \times 11 + 1 \times 18 = 28 + 33 + 18 = 79\]
Étape 2 — Dénominateur (somme des coefficients)
\[2 + 3 + 1 = 6\]
Étape 3 — Moyenne
\[\bar x = \dfrac{79}{6} \approx \mathbf{13{,}17}\]
La note 11 (coeff 3) tire la moyenne vers le bas, alors que le 18 (coeff 1 seulement) la tire moins vers le haut.
On a demandé aux \(25\) élèves d'une classe leur nombre de frères et sœurs :
| Nombre | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 9 | 7 | 3 | 2 |
a) Calcule la moyenne de la série.
b) Détermine la médiane.
c) Calcule l'étendue.
a) \(\dfrac{0 \times 4 + 1 \times 9 + 2 \times 7 + 3 \times 3 + 4 \times 2}{25} = \dfrac{0 + 9 + 14 + 9 + 8}{25} = \dfrac{40}{25} = \mathbf{1{,}6}\).
b) \(25\) valeurs : la médiane est la 13e. Effectifs cumulés : \(4\), \(13\), \(20\), \(23\), \(25\). La 13e valeur est \(1\) : médiane \(= 1\).
c) \(4 - 0 = \mathbf{4}\).
On lance deux dés équilibrés et on additionne les résultats.
a) Construis un tableau à double entrée donnant toutes les sommes possibles. Combien y a-t-il d'issues ?
b) Calcule la probabilité d'obtenir une somme égale à \(7\).
c) Calcule la probabilité d'obtenir \(12\).
d) Quelle somme est la plus probable ?
a)
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Il y a \(6 \times 6 = \mathbf{36}\) issues équiprobables.
b) La somme \(7\) apparaît \(6\) fois : \(P = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).
c) La somme \(12\) apparaît une seule fois (\(6 + 6\)) : \(P = \mathbf{\dfrac{1}{36}}\).
d) C'est \(7\), qui apparaît le plus souvent (sur toute une diagonale du tableau).
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire successivement 2 boules avec remise.
a) Construis l'arbre.
b) \(P(\text{deux rouges})\) = ?
c) \(P(\text{une rouge et une bleue})\) = ?
tirage avec remise → l'urne est la même au second tirage, les probabilités ne changent pas.
Étape 1 — Probabilités élémentaires
\[P(R) = \dfrac{3}{5} \quad ; \quad P(B) = \dfrac{2}{5}\]
Étape 2 — a) Arbre
Les quatre chemins donnent : \(P(RR) = \dfrac{9}{25}\), \(P(RB) = \dfrac{6}{25}\), \(P(BR) = \dfrac{6}{25}\), \(P(BB) = \dfrac{4}{25}\).
Étape 3 — b) \(P(RR)\)
\[P(RR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \mathbf{\dfrac{9}{25}}\]
Étape 4 — c) Une de chaque couleur
\[P(RB) + P(BR) = \dfrac{3 \times 2}{25} + \dfrac{2 \times 3}{25} = \mathbf{\dfrac{12}{25}}\]
🔍 Vérification total : \(9 + 6 + 6 + 4 = 25\) → somme \(= 1\) ✓
Même urne, mais tirage sans remise.
a) \(P(\text{deux rouges})\) = ?
b) \(P(\text{au moins une rouge})\) = ?
tirage sans remise → après le 1er tirage, il reste 4 boules (au lieu de 5).
a) \(P(RR)\)
Premier tirage : \(P(R_1) = \dfrac{3}{5}\). Deuxième tirage (sachant 1ère rouge, il reste 2R + 2B) : \(P(R_2 | R_1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
\[P(RR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{\dfrac{3}{10}}\]
b) Au moins une rouge (par le complémentaire)
Complémentaire : aucune rouge = deux bleues. \[P(BB) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}\]
\[P(\text{au moins 1 R}) = 1 - \dfrac{1}{10} = \mathbf{\dfrac{9}{10}}\]
« au moins » = \(1 -\) « aucun ». Évite de compter plusieurs cas favorables.
Dans une classe de 30 élèves, 18 ont un smartphone Android et 12 ont un iPhone.
On choisit un élève au hasard.
a) \(P(\text{Android})\) = ?
b) \(P(\text{pas iPhone})\) = ?
a) \(P(\text{Android})\)
\[P(A) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5} = \mathbf{0{,}6}\]
b) \(P(\text{pas iPhone})\)
Si tous ont smartphone (Android ou iPhone) : \[P(\text{pas iPhone}) = P(\text{Android}) = \mathbf{0{,}6}\]
Ou via complémentaire : \[P(\text{pas iPhone}) = 1 - P(\text{iPhone}) = 1 - \dfrac{12}{30} = 1 - 0{,}4 = 0{,}6 \;✓\]
Les notes d'un groupe (sur 20) :
| Classes | \([0;8[\) | \([8;12[\) | \([12;16[\) | \([16;20]\) |
|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 3 | 12 | 10 | 5 |
a) Calcule la fréquence de chaque classe.
b) Quel pourcentage des élèves a au moins \(12\) ?
fréquence \(=\) effectif ÷ effectif total.
Étape 1 — Total des effectifs
\[N = 3 + 12 + 10 + 5 = 30\]
Étape 2 — Calcul des fréquences
| Classe | Effectif | Fréquence |
|---|---|---|
| \([0;8[\) | 3 | \(3/30 = 0{,}10\) |
| \([8;12[\) | 12 | \(12/30 = 0{,}40\) |
| \([12;16[\) | 10 | \(10/30 \approx 0{,}33\) |
| \([16;20]\) | 5 | \(5/30 \approx 0{,}17\) |
Étape 3 — Au moins 12
Élèves ayant au moins \(12\) : \(10 + 5 = 15\), soit \(\dfrac{15}{30} = \mathbf{50\,\%}\) des élèves.
🔍 Vérification : somme des fréquences = \(0{,}10 + 0{,}40 + 0{,}33 + 0{,}17 = 1{,}00\) ✓
On lance une punaise \(500\) fois. Elle tombe « pointe en haut » \(315\) fois.
a) Calcule la fréquence de l'événement « pointe en haut ».
b) Peut-on calculer la probabilité de cet événement en comptant des issues ? Comment l'estimer ?
c) Combien de fois peut-on s'attendre à obtenir « pointe en haut » sur \(1\,000\) lancers ?
a) \(f = \dfrac{315}{500} = \mathbf{0{,}63}\).
b) Non : les deux positions ne sont pas équiprobables (la punaise n'est pas symétrique). On estime la probabilité par la fréquence observée sur un grand nombre de lancers : environ \(0{,}63\).
c) Environ \(1\,000 \times 0{,}63 = \mathbf{630}\) fois (ce n'est qu'une estimation).
On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité :
a) d'obtenir un double ;
b) d'obtenir une somme égale à \(10\).
\(36\) issues équiprobables (tableau \(6 \times 6\)).
a) \(6\) doubles : \(\dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).
b) \((4 ; 6)\), \((5 ; 5)\), \((6 ; 4)\) : \(\dfrac{3}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{12}}\).
Une urne contient \(2\) boules rouges et \(3\) bleues. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une deuxième.
a) Calcule \(P(\text{deux rouges})\).
b) Calcule \(P(\text{une boule de chaque couleur})\).
🎯 Sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin et on additionne les chemins.
a) \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \mathbf{\dfrac{4}{25}}\).
b) \(RB\) ou \(BR\) : \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \mathbf{\dfrac{12}{25}}\).
Pointures de \(20\) élèves :
| Pointure | \(37\) | \(38\) | \(39\) | \(40\) |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(4\) | \(6\) | \(7\) | \(3\) |
Calcule la moyenne et la médiane.
Moyenne : \(\dfrac{37 \times 4 + 38 \times 6 + 39 \times 7 + 40 \times 3}{20} = \dfrac{769}{20} = \mathbf{38{,}45}\). Effectifs cumulés : \(4\) ; \(10\) ; \(17\) ; \(20\). La \(10^\text{e}\) valeur est \(38\) et la \(11^\text{e}\) est \(39\) : médiane \(\mathbf{38{,}5}\).
On lance deux dés ; on gagne si la somme est au moins \(10\). Quelle est la probabilité de gagner ?
Sommes \(10\), \(11\), \(12\) : \(3 + 2 + 1 = 6\) issues. \(P = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).
Un sac contient \(3\) boules rouges et \(2\) bleues. On tire deux boules successivement sans remise.
a) Calcule \(P(\text{deux rouges})\).
b) Calcule la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.
a) \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \mathbf{\dfrac{3}{10}}\).
b) \(P(RR) + P(BB) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} = \mathbf{\dfrac{2}{5}}\).
Sans remise, la composition du sac change au second tirage.
Un sac contient trois jetons numérotés \(1\), \(2\) et \(3\). On tire un jeton (chiffre des dizaines), on le garde, puis on en tire un second (chiffre des unités).
a) Dessine un arbre et donne la liste des nombres possibles.
b) Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
c) Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à \(20\) ?
a) Le premier tirage a \(3\) issues ; pour chacune, il reste \(2\) jetons (tirage sans remise). Les \(6\) nombres possibles, équiprobables, sont : \[12 \quad 13 \quad 21 \quad 23 \quad 31 \quad 32\]
b) Nombres pairs : \(12\) et \(32\). \(P = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\).
c) Nombres supérieurs à \(20\) : \(21\), \(23\), \(31\), \(32\). \(P = \dfrac{4}{6} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\).
On peut aussi le voir sur l'arbre : il suffit que le premier jeton soit \(2\) ou \(3\), probabilité \(\dfrac{2}{3}\).
Dans une petite entreprise, \(5\) employés gagnent \(1\,500\) € par mois, \(2\) gagnent \(2\,000\) € et la directrice gagne \(6\,000\) €.
a) Calcule le salaire moyen, le salaire médian et l'étendue des salaires.
b) Quel indicateur représente le mieux le salaire « habituel » dans cette entreprise ?
c) La directrice passe à \(10\,000\) € par mois. Que deviennent la moyenne et la médiane ?
a)
b) La médiane : \(5\) employés sur \(8\) gagnent \(1\,500\) €, alors que la moyenne est « tirée vers le haut » par un seul salaire élevé.
c) Moyenne : \(\dfrac{21\,500}{8} = \mathbf{2\,687{,}50}\) € (elle augmente de \(500\) €) ; la médiane ne change pas (\(1\,500\) €).
Série A : \(10, 10, 10, 10, 10\) — Série B : \(2, 6, 10, 14, 18\).
a) Calcule la moyenne de chaque série.
b) Calcule l'étendue de chaque série.
c) Laquelle est plus dispersée ?
calculer moyenne et étendue de chaque série, puis comparer.
a) Moyennes
Série A : \(\bar x_A = \dfrac{50}{5} = \mathbf{10}\) Série B : \(\bar x_B = \dfrac{2+6+10+14+18}{5} = \dfrac{50}{5} = \mathbf{10}\)
➡️ Même moyenne !
b) Étendues
c) Dispersion
La série B est beaucoup plus dispersée (étendue 16 vs 0).
La moyenne ne suffit pas à décrire une série. Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions très différentes — d'où l'importance des indicateurs de dispersion (étendue, écart-type, IQR).
Alice et Bob lancent deux dés équilibrés. Alice marque un point si la somme vaut \(7\) ; Bob marque un point si la somme est supérieure ou égale à \(10\). Sinon, personne ne marque.
a) Calcule la probabilité qu'Alice marque un point.
b) Calcule la probabilité que Bob marque un point.
c) Le jeu est-il équitable ?
d) Quelle est la probabilité que personne ne marque ?
on utilise le tableau des \(36\) sommes (voir l'exercice 14).
a) Somme \(7\) : \(6\) issues. \(P(\text{Alice}) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).
b) Somme \(10\) : \(3\) issues ; \(11\) : \(2\) issues ; \(12\) : \(1\) issue. Total : \(6\) issues. \(P(\text{Bob}) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).
c) Les deux joueurs ont la même probabilité de marquer : le jeu est équitable.
d) Les deux événements ne peuvent pas se produire en même temps : \(P(\text{personne}) = 1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{6} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\).
Un QCM comporte \(2\) questions. Pour chacune, il y a \(4\) réponses proposées dont une seule est juste. Léo répond au hasard aux deux questions.
a) Construis un arbre (J : juste, F : fausse) avec les probabilités.
b) Quelle est la probabilité que Léo ait les deux réponses justes ?
c) Quelle est la probabilité qu'il n'ait aucune réponse juste ?
d) Déduis-en la probabilité qu'il ait au moins une réponse juste.
a) À chaque question : \(P(J) = \dfrac{1}{4}\) et \(P(F) = \dfrac{3}{4}\). L'arbre a \(4\) chemins : JJ, JF, FJ, FF.
b) \(P(JJ) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \mathbf{\dfrac{1}{16}}\).
c) \(P(FF) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \mathbf{\dfrac{9}{16}}\).
d) « Au moins une juste » est le contraire de « aucune juste » : \[P = 1 - \frac{9}{16} = \mathbf{\frac{7}{16}}\]
🔍 Vérification : \(P(JF) + P(FJ) + P(JJ) = \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{7}{16}\) ✓
Une machine produit une pièce défectueuse avec une probabilité de \(0{,}05\).
a) Sur \(1\,000\) pièces, combien de pièces défectueuses peut-on s'attendre à trouver ?
b) On prélève \(2\) pièces au hasard (on admet que la probabilité reste \(0{,}05\) pour chacune). À l'aide d'un arbre, calcule la probabilité que les deux soient défectueuses.
c) Calcule la probabilité qu'au moins une des deux soit défectueuse.
a) Environ \(1\,000 \times 0{,}05 = \mathbf{50}\) pièces (c'est un ordre de grandeur, pas une certitude).
b) Arbre à deux étapes, avec D (défectueuse, \(0{,}05\)) et B (bonne, \(0{,}95\)) sur chaque branche : \[P(DD) = 0{,}05 \times 0{,}05 = \mathbf{0{,}0025}\]
c) Le contraire de « au moins une défectueuse » est « les deux sont bonnes » : \[P(BB) = 0{,}95 \times 0{,}95 = 0{,}9025 \qquad P = 1 - 0{,}9025 = \mathbf{0{,}0975}\] Soit environ \(9{,}75\,\%\) de chances.