Le théorème de Thalès

Étape 1 — Calcul du rapport

\[k = \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\]

Étape 2 — a) Calcul de \(ON\)

\[ON = OB \times k = 6 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{3 \text{ cm}}\]

Étape 3 — b) Rapport \(\frac{MN}{AB}\)

D'après Thalès, ce rapport est égal aux autres : \[\dfrac{MN}{AB} = k = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\]

Étape 1 — Calcul du rapport

\(OA = OM + MA = 3 + 7 = 10\). \[k = \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{3}{10}\]

Étape 2 — Calcul de \(MN\)

\[MN = AB \times k = 15 \times \dfrac{3}{10} = \mathbf{4{,}5 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification d'ordre : \(MN < AB\) (\(4{,}5 < 15\)) car \(M\) est plus proche de \(O\) que \(A\). ✓

Étape 1 — Premier rapport

\[\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\]

Étape 2 — Second rapport

\[\dfrac{ON}{OB} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\]

Étape 3 — Conclusion

Les deux rapports sont égaux (\(\frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)). Par la réciproque du théorème de Thalès : \[\boxed{(MN) \parallel (AB)} \;✓\]

Étape 1 — Écrire l'égalité

\[\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}\]

Étape 2 — Isoler \(OB\)

\[OB = ON \times \dfrac{OA}{OM} = 3 \times \dfrac{20}{5} = 3 \times 4 = \mathbf{12 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \(\frac{OM}{OA} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\) et \(\frac{ON}{OB} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) ✓

Étape 1 — Calcul du rapport

\[k = \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\]

Étape 2 — Isoler \(AB\)

\[\dfrac{MN}{AB} = k \quad\Rightarrow\quad AB = \dfrac{MN}{k} = \dfrac{4}{2/5} = 4 \times \dfrac{5}{2} = \mathbf{10 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \(\frac{MN}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = k\) ✓

Étape 1 — Reconstituer les côtés

\[OA = OM + MA = 7 + 3 = 10\] \[OB = ON + NB = 14 + 6 = 20\]

Étape 2 — Calculer les rapports

\[\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{7}{10} \quad ; \quad \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}\]

Étape 3 — Conclusion

Rapports égaux → par la réciproque : \(\boxed{(MN) \parallel (AB)}\) ✓

🎯 \(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD}\).

\(\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{CD}\), donc \(CD = \dfrac{6 \times 5}{4} = \mathbf{7{,}5}\) cm.

\(\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{AB}{DC}\) : \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{CD}\), donc \(CD = \dfrac{5 \times 4}{2} = \mathbf{10}\) cm.

\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\). Égalité et même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, \((AB) \parallel (CD)\).

\(\dfrac{3}{8} = 0{,}375\) et \(\dfrac{4}{10} = 0{,}4\). Les rapports sont différents : elles ne sont pas parallèles (sinon les rapports seraient égaux).

\(\dfrac{6}{9} = \dfrac{OB}{12}\), donc \(OB = \dfrac{6 \times 12}{9} = \mathbf{8}\) cm.

Étape 1 — Écrire l'égalité

\[\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB}\]

Étape 2 — Isoler \(OB'\)

\[OB' = OB \times \dfrac{OA'}{OA} = 12 \times \dfrac{6}{9} = 12 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{8 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \(\frac{OA'}{OA} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) et \(\frac{OB'}{OB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\) ✓

Étape 1 — Égalité des rapports

\[\dfrac{\text{hauteur bâton}}{\text{ombre bâton}} = \dfrac{\text{hauteur arbre}}{\text{ombre arbre}}\] \[\dfrac{2}{1{,}5} = \dfrac{h}{6}\]

Étape 2 — Résoudre

\[h = 6 \times \dfrac{2}{1{,}5} = 6 \times \dfrac{4}{3} = \mathbf{8 \text{ m}}\]

🔍 Vérification : rapport \(\frac{2}{1{,}5} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\) et \(\frac{8}{6} = \frac{4}{3}\) ✓

Étape 1 — Rapport

\[k = \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\]

Étape 2 — a) Calcul de \(ON\) et \(NB\)

\[ON = OB \times k = 15 \times \dfrac{2}{5} = 6\] \[NB = OB - ON = 15 - 6 = \mathbf{9}\]

Étape 3 — b) Calcul de \(MN\)

\[MN = AB \times k = 12 \times \dfrac{2}{5} = \mathbf{4{,}8}\]

Étape 4 — c) Périmètre du triangle \(OMN\)

\[\mathcal P = OM + ON + MN = 4 + 6 + 4{,}8 = \mathbf{14{,}8 \text{ cm}}\]

🔍 Cohérence : le périmètre de \(OMN\) = \(k \times\) périmètre de \(OAB\) = \(\frac{2}{5} \times (10 + 15 + 12) = \frac{2}{5} \times 37 = 14{,}8\) ✓

a) Calcul des rapports

\[\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\] \[\dfrac{ON}{OB} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}400\]

b) Conclusion

Les rapports sont différents (\(0{,}375 \neq 0{,}400\)).

Par la contraposée de Thalès : \((MN)\) n'est pas parallèle à \((AB)\).

a) Rapport

\[k = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\]

b) Calcul de \(OM\)

\[OM = OA \times k = 9 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{6}\]

c) Calcul de \(MA\)

\[MA = OA - OM = 9 - 6 = \mathbf{3}\]

🔍 Vérification : \(\frac{OM}{OA} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = k\) ✓

Étape 1 — Égalité des rapports

\[\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}\]

Étape 2 — Isoler \(OB\)

\[OB = OB' \times \dfrac{OA}{OA'} = 9 \times \dfrac{8}{12} = 9 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{6 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \(\frac{OA}{OA'} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\) et \(\frac{OB}{OB'} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) ✓

Étape 1 — Rapport

\[k = \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}\]

Étape 2 — Calcul de \(MN\)

\[MN = AB \times k = 6 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{4 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \(\frac{MN}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} = k\) ✓

Étape 1 — a) Rapport pour un milieu

\(M\) milieu de \([OA]\) → \(OM = \dfrac{OA}{2}\), donc : \[\dfrac{OM}{OA} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\]

Étape 2 — b) Parallélisme (réciproque)

\(N\) milieu de \([OB]\) → \(\dfrac{ON}{OB} = \dfrac{1}{2}\).

Les deux rapports sont égaux → par la réciproque de Thalès : \((MN) \parallel (AB)\).

Étape 3 — Longueur \(MN\) (théorème direct)

\[MN = AB \times \dfrac{OM}{OA} = AB \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{\dfrac{AB}{2}}\]

\[\boxed{(MN) \parallel (AB) \text{ et } MN = \dfrac{AB}{2}}\]

\(\dfrac{h}{1{,}2} = \dfrac{40}{1{,}6}\), donc \(h = 1{,}2 \times 25 = \mathbf{30}\) m.

Rapport : \(\dfrac{OD}{OA} = \dfrac{3{,}6}{2{,}4} = 1{,}5\). \(OC = 1{,}5 \times 3 = \mathbf{4{,}5}\) cm et \(CD = 1{,}5 \times 2 = \mathbf{3}\) cm.

\(\dfrac{4}{10} = \dfrac{AN}{12{,}5}\), donc \(AN = \mathbf{5}\) cm et \(NC = 12{,}5 - 5 = \mathbf{7{,}5}\) cm.

\(\dfrac{OA}{OD} = \dfrac{5}{7}\) et \(\dfrac{OB}{OC} = \dfrac{6}{8{,}4} = \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}\). Égalité et même ordre : \((AB) \parallel (CD)\).

\(\dfrac{h}{1} = \dfrac{230}{1{,}6}\), donc \(h \approx \mathbf{144}\) m (\(143{,}75\) m).

a) On calcule les deux rapports séparément : \[\frac{OA}{OC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \qquad \frac{OB}{OD} = \frac{5}{7{,}5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}\] Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, \(\mathbf{(AB) \parallel (CD)}\).

b) Les droites étant parallèles, le théorème de Thalès donne : \[\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD} \qquad \frac{2}{3} = \frac{3{,}2}{CD} \qquad CD = \frac{3 \times 3{,}2}{2} = \mathbf{4{,}8 \text{ cm}}\]

a) Calcul et comparaison des rapports

\[\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} \quad ; \quad \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\]

Rapports égaux → par la réciproque de Thalès : \((MN) \parallel (AB)\) ✓

b) Calcul de \(MN\)

\[MN = AB \times \dfrac{2}{5} = 12 \times \dfrac{2}{5} = \mathbf{4{,}8}\]

🔍 Vérification : \(\frac{MN}{AB} = \frac{4{,}8}{12} = 0{,}4 = \frac{2}{5}\) ✓

Étape 1 — Identifier les deux rapports

• \((MN) \parallel (AB)\) : \(\dfrac{OM}{OA} = k = \dfrac{2}{3}\)
• \((PQ) \parallel (MN)\) : \(\dfrac{OP}{OM} = k' = \dfrac{1}{2}\)

Étape 2 — Composer les rapports

\[\dfrac{OP}{OA} = \dfrac{OP}{OM} \times \dfrac{OM}{OA} = k' \times k = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\]

Étape 1 — Triangle \(ABC\) (diagonale \([AC]\))

\(M\) milieu de \([AB]\), \(N\) milieu de \([BC]\). Par le théorème des milieux : \[(MN) \parallel (AC) \quad \text{et} \quad MN = \dfrac{AC}{2}\]

Étape 2 — Triangle \(ACD\) (même diagonale \([AC]\))

\(Q\) milieu de \([DA]\), \(P\) milieu de \([CD]\). Par le théorème des milieux : \[(QP) \parallel (AC) \quad \text{et} \quad QP = \dfrac{AC}{2}\]

Étape 3 — Conclusion

• \((MN) \parallel (AC)\) et \((QP) \parallel (AC)\) → \((MN) \parallel (QP)\)
• \(MN = QP = \dfrac{AC}{2}\)

Le quadrilatère \(MNPQ\) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur → c'est un parallélogramme. \(\;\square\)

a) \(OA = OM + MA = \mathbf{x + 3}\).

b) \(OB = ON + NB = 6\). Par le théorème de Thalès : \[\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} \qquad \frac{x}{x + 3} = \frac{4}{6}\]

c) Produit en croix : \(6x = 4(x + 3)\), soit \(6x = 4x + 12\), donc \(2x = 12\) et \(x = \mathbf{6}\) cm.

🔍 Vérification : \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\) ✓

a) Le sommet de la pyramide est à la verticale du centre de la base. Du centre au milieu d'un côté, il y a la moitié du côté : \(230 \div 2 = 115\) m. L'ombre du sommet arrive donc à \(115 + 92 = 207\) m du pied de la hauteur.

b) Les rayons du soleil sont parallèles : la pyramide (hauteur \(h\), ombre \(207\) m) et le bâton (\(1\) m, ombre \(1{,}5\) m) forment une configuration de Thalès. \[\frac{h}{1} = \frac{207}{1{,}5} \qquad h = \mathbf{138 \text{ m}}\]

c) On retrouve la hauteur actuelle. La pyramide a perdu son sommet et son revêtement au fil des siècles, d'où l'écart avec les \(146\) m d'origine.