Brevet blanc — Sujet 10

Durée : 2 heures · Total : 20 points

Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.

Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.

PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)

20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.

Question 1. Calculer \(3 \times 4 + 2\).

Question 2. Donner l'écriture décimale de \(\dfrac{3}{8}\).

Question 3. Résoudre l'équation \(2x - 3 = x + 4\).

Question 4. Convertir \(1\) h \(15\) min en minutes.

Question 5. Calculer \(\sqrt{81}\).

Question 6. (Vrai ou faux) « Pour tout nombre \(x\), \((x + 1)(x - 1) = x^2 - 1\). »

Question 7. Une figure d'aire \(20\) cm² est réduite à l'échelle \(\dfrac{1}{2}\). Quelle est l'aire de la réduction ?

Question 8. (QCM) L'écriture scientifique de \(52\,000\) est :

A. \(52 \times 10^{3}\) \(\qquad\) B. \(5{,}2 \times 10^{4}\) \(\qquad\) C. \(5{,}2 \times 10^{-4}\)

Question 9. Calculer la moyenne de la série : \(5\) ; \(9\) ; \(13\).

Question 10. Qu'affiche le lutin si l'on répond \(10\) ?

demander "Donne un nombre" et attendre
si réponse > 10 alors
    dire "grand"
sinon
    dire "petit"

PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)

1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.

Exercice 1 (4 pts)

La ferme d'une charpente est un triangle \(ABC\) isocèle en \(A\), avec \(AB = AC = 10\) m et \(BC = 12\) m. \(H\) est le milieu de \([BC]\). Une poutre horizontale \([MN]\) relie le milieu \(M\) de \([AB]\) et le milieu \(N\) de \([AC]\).

1. On admet que \((AH)\) est perpendiculaire à \((BC)\). Calculer la hauteur \(AH\) de la charpente.

2. Démontrer que les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.

3. Calculer la longueur de la poutre \([MN]\).

4. Calculer l'angle \(\widehat{ABC}\) que fait le toit avec l'horizontale, arrondi au dixième de degré.

Exercice 2 (3 pts)

On veut recouvrir le sol d'une pièce rectangulaire de \(4{,}50\) m sur \(3{,}60\) m avec des dalles carrées toutes identiques, sans les couper. Le côté des dalles est un nombre entier de centimètres.

1. Peut-on utiliser des dalles de \(40\) cm de côté ? de \(45\) cm ? Justifier.

2. Quelle est la plus grande taille de dalle possible ? Combien de dalles faut-il alors ?

Exercice 3 (4 pts)

En 2026, le prix du kWh d'électricité est de \(0{,}25\) €. On suppose qu'il augmente de \(10\,\%\) chaque année.

1. Calculer le prix du kWh en 2027, puis en 2028.

2. Montrer que le prix du kWh en 2029 sera d'environ \(0{,}333\) €. De quel pourcentage aura-t-il augmenté entre 2026 et 2029 ?

3. Une famille consomme \(2\,500\) kWh par an. Calculer sa facture en 2026 et en 2029.

4. En 2030, le prix baisse de \(10\,\%\). Revient-il au prix de 2028 ? Justifier.

Exercice 4 (3 pts)

Un QCM comporte \(3\) questions de type « vrai ou faux ». Un élève répond au hasard à chaque question.

1. À l'aide d'un arbre, déterminer le nombre de façons de répondre au QCM.

2. Calculer la probabilité que l'élève réponde juste aux trois questions.

3. Calculer la probabilité qu'il ait exactement deux bonnes réponses.

4. Calculer la probabilité qu'il ait au moins une bonne réponse.

Corrigé Partie 1 — Automatismes

Corrigé Exercice 1

1. \(H\) est le milieu de \([BC]\) : \(BH = 6\) m. Dans \(ABH\) rectangle en \(H\), d'après le théorème de Pythagore : \[AH^2 = AB^2 - BH^2 = 100 - 36 = 64 \quad \text{donc} \quad AH = \mathbf{8 \text{ m}}\]

2. \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\). Les points \(A, M, B\) et \(A, N, C\) sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN) \parallel (BC)\).

3. D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB} = 0{,}5\), donc \(MN = 0{,}5 \times 12 = \mathbf{6}\) m.

4. Dans \(ABH\) rectangle en \(H\) : \(\cos\widehat{ABH} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\), donc \(\widehat{ABC} \approx \mathbf{53{,}1°}\).

🔍 Vérification : \(\tan 53{,}1° \approx 1{,}33\) et \(\dfrac{AH}{BH} = \dfrac{8}{6} \approx 1{,}33\) ✓

Corrigé Exercice 2

1. \(40\) cm : \(450 \div 40 = 11{,}25\) n'est pas entier : non. \(45\) cm : \(450 \div 45 = 10\) et \(360 \div 45 = 8\) : oui (\(80\) dalles).

2. \(450 = 2 \times 3^2 \times 5^2\) et \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Plus grand diviseur commun : \(2 \times 3^2 \times 5 = 90\). Dalles de \(90\) cm de côté : \(5\) dans la longueur et \(4\) dans la largeur, soit \(20\) dalles.

Corrigé Exercice 3

1. 2027 : \(0{,}25 \times 1{,}1 = \mathbf{0{,}275}\) € ; 2028 : \(0{,}275 \times 1{,}1 = \mathbf{0{,}3025}\) €.

2. 2029 : \(0{,}25 \times 1{,}1^3 = 0{,}25 \times 1{,}331 = 0{,}332\,75 \approx \mathbf{0{,}333}\) €. Coefficient global \(1{,}331\) : hausse de \(\mathbf{33{,}1\,\%}\) (et non \(30\,\%\)).

3. 2026 : \(2\,500 \times 0{,}25 = \mathbf{625}\) € ; 2029 : \(2\,500 \times 0{,}332\,75 \approx \mathbf{831{,}88}\) €.

4. 2030 : \(0{,}332\,75 \times 0{,}9 \approx 0{,}2995\) €, ce qui est inférieur au prix de 2028 (\(0{,}3025\) €). Une baisse de \(10\,\%\) ne compense pas une hausse de \(10\,\%\) : \(1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99 \ne 1\).

Corrigé Exercice 4

1. \(2 \times 2 \times 2 = \mathbf{8}\) façons de répondre.

2. Une seule issue (\(JJJ\)) : \(P = \mathbf{\dfrac{1}{8}}\).

3. Issues \(JJF\), \(JFJ\), \(FJJ\) : \(P = \mathbf{\dfrac{3}{8}}\).

4. L'événement contraire « aucune bonne réponse » correspond à \(FFF\) : \(P = 1 - \dfrac{1}{8} = \mathbf{\dfrac{7}{8}}\).

BARÈME