Brevet blanc — Sujet 5
Durée : 2 heures · Total : 20 points
Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.
PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)
20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.
Question 1. Calculer \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\) et simplifier le résultat.
Question 2. Calculer \(20\,\%\) de \(45\).
Question 3. (QCM) \(\sqrt{49}\) est égal à :
A. \(7\) \(\qquad\) B. \(24{,}5\) \(\qquad\) C. \(49^2\)
Question 4. Convertir \(45\) minutes en heures (écriture décimale).
Question 5. Factoriser \(x^2 - 16\).
Question 6. (Vrai ou faux) « Le double de \(2{,}5 \times 10^3\) est \(5 \times 10^3\). »
Question 7. Soit \(f(x) = x^2 + 1\). Calculer \(f(-2)\).
Question 8. Un solide de volume \(54\) cm³ est réduit à l'échelle \(\dfrac{1}{3}\). Quel est le volume de la réduction ?
Question 9. Combien mesure chaque angle d'un triangle équilatéral ?
Question 10. Que vaut la variable n à la fin du script ?
mettre n à 5
répéter 3 fois
ajouter 2 à n
PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)
1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.
Exercice 1 (4 pts)
Un verre a la forme d'un cône de révolution de rayon \(3\) cm et de hauteur \(12\) cm (on ne tient pas compte du pied).
Rappel : volume d'un cône \(= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).
1. Montrer que le volume du verre est \(36\pi\) cm³, puis en donner une valeur arrondie au cm³.
2. Calculer la longueur d'une génératrice du cône (distance du sommet à un point du bord du verre). Arrondir au millimètre.
3. On verse un liquide jusqu'à une hauteur de \(8\) cm. Le liquide forme un cône qui est une réduction du verre. a. Quel est le coefficient de réduction ? b. Calculer le volume de liquide, arrondi au cm³. Le verre est-il rempli au tiers ?
Exercice 2 (3 pts)
Léa a aujourd'hui trois fois l'âge de son frère Tom. Dans \(10\) ans, elle aura le double de l'âge de Tom.
1. On note \(x\) l'âge actuel de Tom. Exprimer en fonction de \(x\) l'âge actuel de Léa, puis les âges de Léa et de Tom dans \(10\) ans.
2. Montrer que \(x\) est solution de l'équation \(3x + 10 = 2(x + 10)\).
3. Résoudre cette équation et donner les âges actuels de Léa et de Tom.
Exercice 3 (4 pts)
Un loueur de kayaks propose deux formules :
- Formule A : \(8\) € de l'heure ;
- Formule B : \(20\) € de frais d'inscription, puis \(4\) € de l'heure.
On note \(x\) la durée de location, en heures.
1. Calculer le prix de \(3\) heures de location avec chaque formule.
2. Exprimer en fonction de \(x\) le prix \(A(x)\) avec la formule A et le prix \(B(x)\) avec la formule B.
3. Pour quelle durée les deux formules coûtent-elles le même prix ?
4. Une famille dispose de \(50\) €. Avec quelle formule peut-elle louer un kayak le plus longtemps ? Combien de temps ?
Exercice 4 (3 pts)
On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à six faces.
1. Combien y a-t-il d'issues possibles ? On pourra s'aider d'un arbre ou d'un tableau.
2. Calculer la probabilité d'obtenir « pile » et un \(6\).
3. Calculer la probabilité d'obtenir « face » et un nombre pair.
Corrigé Partie 1 — Automatismes
| Question | Réponse | Explication |
|---|---|---|
| 1 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6}\) |
| 2 | \(9\) | \(10\,\%\) de \(45\) font \(4{,}5\) ; on double |
| 3 | A | \(7^2 = 49\) |
| 4 | \(0{,}75\) h | \(\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\) |
| 5 | \((x - 4)(x + 4)\) | \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) |
| 6 | Vrai | \(2 \times 2{,}5 = 5\) |
| 7 | \(5\) | \((-2)^2 + 1 = 4 + 1\) |
| 8 | \(2\) cm³ | volumes multipliés par \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}\) : \(54 \div 27\) |
| 9 | \(60°\) | \(180 \div 3\) |
| 10 | \(11\) | \(5 + 3 \times 2\) |
Dans une réduction de rapport \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\), les volumes par \(k^3\).
Corrigé Exercice 1
formule du volume du cône ; la génératrice est l'hypoténuse d'un triangle rectangle (hauteur, rayon) ; dans une réduction de rapport \(k\), le volume est multiplié par \(k^3\).
1. \(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 12 = \dfrac{108\pi}{3} = 36\pi \approx \mathbf{113}\) cm³.
2. Le sommet, le centre du bord et un point du bord forment un triangle rectangle de côtés \(12\) cm et \(3\) cm. D'après le théorème de Pythagore : \[g^2 = 12^2 + 3^2 = 153 \quad \text{donc} \quad g = \sqrt{153} \approx \mathbf{12{,}4 \text{ cm}}\]
3.a. \(k = \dfrac{8}{12} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\).
3.b. \(V_\text{liquide} = 36\pi \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 36\pi \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{32\pi}{3} \approx \mathbf{34}\) cm³. Le tiers du verre vaut \(12\pi \approx 38\) cm³ : le verre est rempli un peu moins qu'au tiers, alors que le liquide monte aux deux tiers de la hauteur !
💡 C'est toujours surprenant : dans un cône, la partie haute contient la plus grande partie du volume.
Corrigé Exercice 2
choisir l'inconnue, traduire chaque phrase de l'énoncé par une expression, écrire l'égalité, résoudre, puis vérifier dans l'énoncé.
1. Âge actuel de Léa : \(3x\). Dans \(10\) ans : Léa aura \(3x + 10\) ans et Tom \(x + 10\) ans.
2. « Dans \(10\) ans, elle aura le double de l'âge de Tom » se traduit par \(3x + 10 = 2(x + 10)\).
3. \(3x + 10 = 2x + 20 \iff x = 10\). Tom a \(10\) ans et Léa \(30\) ans.
🔍 Vérification : dans \(10\) ans, Léa aura \(40\) ans et Tom \(20\) ans, et \(40 = 2 \times 20\) ✓
Corrigé Exercice 3
chaque formule est une fonction de la durée ; on compare en résolvant une équation.
1. A : \(8 \times 3 = \mathbf{24}\) € ; B : \(20 + 4 \times 3 = \mathbf{32}\) €.
2. \(\mathbf{A(x) = 8x}\) et \(\mathbf{B(x) = 4x + 20}\).
3. \(8x = 4x + 20 \iff 4x = 20 \iff x = 5\). Pour \(5\) heures, les deux formules coûtent \(40\) €.
4. Formule A : \(8x = 50\) donne \(x = 6{,}25\) h. Formule B : \(4x + 20 = 50\) donne \(x = 7{,}5\) h. Avec la formule B, la famille peut louer \(7\) h \(30\) min.
La formule A est moins chère pour les courtes durées (moins de \(5\) h), la formule B pour les longues.
Corrigé Exercice 4
un arbre à deux niveaux (\(2\) branches puis \(6\)) donne \(2 \times 6 = 12\) issues équiprobables.
1. \(2 \times 6 = \mathbf{12}\) issues.
2. Une seule issue (P ; 6) : \(P = \mathbf{\dfrac{1}{12}}\).
3. Issues (F ; 2), (F ; 4), (F ; 6) : \(P = \dfrac{3}{12} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\).
BARÈME
| Partie | Points |
|---|---|
| Partie 1 — Automatismes (\(10\) questions \(\times\) \(0{,}6\) pt) | \(6\) |
| Exercice 1 | \(4\) |
| Exercice 2 | \(3\) |
| Exercice 3 | \(4\) |
| Exercice 4 | \(3\) |
| Total | 20 |