Brevet blanc — Sujet 6
Durée : 2 heures · Total : 20 points
Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.
PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)
20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.
Question 1. Calculer \(1{,}5 \times 4\).
Question 2. Calculer les \(\dfrac{3}{5}\) de \(25\).
Question 3. (QCM) \(2x + 3x\) est égal à :
A. \(5x^2\) \(\qquad\) B. \(6x\) \(\qquad\) C. \(5x\)
Question 4. Convertir \(2{,}4\) heures en heures et minutes.
Question 5. Calculer la moyenne de la série : \(10\) ; \(14\) ; \(15\) ; \(13\).
Question 6. (Vrai ou faux) « Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. »
Question 7. Donner les solutions de l'équation \(x^2 = 25\).
Question 8. Calculer \(3^4\).
Question 9. Après une hausse de \(10\,\%\), un article coûte \(66\) €. Quel était son prix avant la hausse ?
Question 10. (Vrai ou faux) « Un triangle de côtés \(6\) cm, \(8\) cm et \(11\) cm est rectangle. »
PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)
1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.
Exercice 1 (3 pts)
Deux roues dentées sont engrenées : la petite a \(24\) dents, la grande \(36\) dents. On marque d'un point rouge une dent de chaque roue, au contact l'une de l'autre.
1. Décomposer \(24\) et \(36\) en produits de facteurs premiers.
2. Au bout de combien de dents passées les deux points rouges se retrouvent-ils en contact pour la première fois ?
3. Combien de tours chaque roue a-t-elle alors effectués ?
Exercice 2 (4 pts)
Pour mesurer la largeur \(AB\) d'une rivière sans la traverser, on plante des piquets \(A\), \(B\), \(O\), \(C\) et \(D\) tels que :
- les points \(A\), \(O\), \(C\) sont alignés, ainsi que les points \(B\), \(O\), \(D\) ;
- les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles ;
- \(OA = 40\) m, \(OC = 12\) m, \(OD = 15\) m et \(CD = 9\) m.
1. Calculer la largeur \(AB\) de la rivière.
2. Démontrer que le triangle \(OCD\) est rectangle en \(C\).
3. Calculer l'angle \(\widehat{COD}\), arrondi au degré.
Exercice 3 (4 pts)
Une piscine a la forme d'un pavé droit de \(10\) m de long, \(4\) m de large et \(1{,}5\) m de profondeur.
1. Calculer son volume en m³, puis en litres.
2. On la remplit avec un tuyau qui débite \(15\) litres par minute. Combien de temps faut-il pour la remplir ? Donner la réponse en heures et minutes.
3. Le prix de l'eau est de \(3{,}50\) € le m³. Combien coûte le remplissage ?
4. On ne remplit la piscine qu'à \(80\,\%\) de sa profondeur. Quelle hauteur d'eau obtient-on ? Quel volume d'eau faut-il alors ?
Exercice 4 (3 pts)
On a relevé la température maximale (en °C) chaque jour pendant \(20\) jours :
| Température | \(12\) | \(14\) | \(15\) | \(17\) | \(20\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de jours | \(3\) | \(5\) | \(6\) | \(4\) | \(2\) |
1. Calculer la température moyenne sur ces \(20\) jours.
2. Déterminer la médiane de cette série. Justifier.
3. Quel pourcentage des jours la température a-t-elle dépassé \(15\) °C ?
Corrigé Partie 1 — Automatismes
| Question | Réponse | Explication |
|---|---|---|
| 1 | \(6\) | \(1{,}5 \times 4 = 6\) |
| 2 | \(15\) | \(25 \div 5 = 5\), puis \(5 \times 3\) |
| 3 | C | on additionne les coefficients : \((2 + 3)x\) |
| 4 | \(2\) h \(24\) min | \(0{,}4\) h \(= 0{,}4 \times 60\) min \(= 24\) min |
| 5 | \(13\) | \(\dfrac{52}{4}\) |
| 6 | Vrai | propriété du losange |
| 7 | \(-5\) et \(5\) | \((-5)^2 = 5^2 = 25\) |
| 8 | \(81\) | \(3 \times 3 \times 3 \times 3\) |
| 9 | \(60\) € | \(66 \div 1{,}1 = 60\) |
| 10 | Faux | \(11^2 = 121\) et \(6^2 + 8^2 = 100\) |
\(2{,}4\) h n'est pas \(2\) h \(40\) min !
Corrigé Exercice 1
les points se retrouvent en contact quand le nombre de dents passées est un multiple commun de \(24\) et \(36\) ; la première fois, c'est le plus petit.
1. \(24 = \mathbf{2^3 \times 3}\) et \(36 = \mathbf{2^2 \times 3^2}\).
2. Multiples de \(36\) : \(36\), \(72\)… ; \(36\) n'est pas un multiple de \(24\), mais \(72 = 24 \times 3\) l'est. Les points se retrouvent après \(72\) dents (avec les décompositions : \(2^3 \times 3^2 = 72\)).
3. Petite roue : \(72 \div 24 = \mathbf{3}\) tours ; grande roue : \(72 \div 36 = \mathbf{2}\) tours.
Corrigé Exercice 2
configuration « papillon » avec des droites parallèles → théorème de Thalès ; pour l'angle droit → réciproque de Pythagore ; puis trigonométrie.
1. Les droites \((AC)\) et \((BD)\) se coupent en \(O\), et \((AB) \parallel (CD)\). D'après le théorème de Thalès : \[\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD} \quad \text{donc} \quad \dfrac{40}{12} = \dfrac{AB}{9} \quad \text{et} \quad AB = \dfrac{40 \times 9}{12} = \mathbf{30 \text{ m}}\]
2. Le plus grand côté de \(OCD\) est \([OD]\) : \(OD^2 = 225\) ; \(OC^2 + CD^2 = 144 + 81 = 225\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, \(OCD\) est rectangle en \(C\).
3. \(\tan\widehat{COD} = \dfrac{CD}{OC} = \dfrac{9}{12} = 0{,}75\), donc \(\widehat{COD} \approx \mathbf{37°}\).
Dans le papillon, les côtés qui se correspondent sont ceux qui sont « face à face » : \([OA]\) avec \([OC]\), \([AB]\) avec \([CD]\).
Corrigé Exercice 3
volume du pavé = longueur \(\times\) largeur \(\times\) hauteur ; \(1\) m³ \(= 1\,000\) L ; une durée de remplissage = volume \(\div\) débit.
1. \(V = 10 \times 4 \times 1{,}5 = \mathbf{60}\) m³ \(= \mathbf{60\,000}\) L.
2. \(\dfrac{60\,000}{15} = 4\,000\) min. Or \(4\,000 = 66 \times 60 + 40\) : il faut \(66\) h \(40\) min (soit \(2\) jours, \(18\) h et \(40\) min).
3. \(60 \times 3{,}50 = \mathbf{210}\) €.
4. Hauteur : \(0{,}8 \times 1{,}5 = \mathbf{1{,}2}\) m. Volume : \(10 \times 4 \times 1{,}2 = \mathbf{48}\) m³.
Corrigé Exercice 4
moyenne pondérée par les effectifs ; médiane à l'aide des effectifs cumulés.
1. \(\dfrac{12 \times 3 + 14 \times 5 + 15 \times 6 + 17 \times 4 + 20 \times 2}{20} = \dfrac{36 + 70 + 90 + 68 + 40}{20} = \dfrac{304}{20} = \mathbf{15{,}2}\) °C.
2. \(20\) valeurs : la médiane est entre la \(10^\text{e}\) et la \(11^\text{e}\) valeur. Effectifs cumulés : \(3\) ; \(8\) ; \(14\)… La \(10^\text{e}\) et la \(11^\text{e}\) valeur valent \(15\) : médiane \(\mathbf{15}\) °C.
3. Plus de \(15\) °C : \(4 + 2 = 6\) jours. \(\dfrac{6}{20} = \mathbf{30\,\%}\).
BARÈME
| Partie | Points |
|---|---|
| Partie 1 — Automatismes (\(10\) questions \(\times\) \(0{,}6\) pt) | \(6\) |
| Exercice 1 | \(3\) |
| Exercice 2 | \(4\) |
| Exercice 3 | \(4\) |
| Exercice 4 | \(3\) |
| Total | 20 |