Continuité, dérivation, convexité

1) \(\boxed{f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5}\)

2) \(g(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\) \[g'(x) = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} = \boxed{\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}}\]

3) \(u=2x+1\) : \(\boxed{h'(x) = 10(2x+1)^4}\)

4) \(u=3x^2-1\) : \(\boxed{k'(x) = \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}}\)

1) \(\boxed{f'(x) = 2e^{2x-1}}\)

2) \(\boxed{g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}}\)

3) \(\boxed{h'(x) = 3\cos(3x+\tfrac\pi4)}\)

4) \(\boxed{k'(x) = -2x\,e^{-x^2}}\)

Étape 1 — Valeurs en \(a=2\) (\(f(x)=x^3-3x\)) \[f(2) = 8-6 = 2, \qquad f'(x) = 3x^2-3, \quad f'(2) = 9\]

Étape 2 — Équation \[y = 9(x-2) + 2 = \boxed{9x-16}\]

1) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} = 1 = f(0)\) → \(\boxed{\text{continue en } 0}\)

2) \(\lim_{x\to0^-}(x^2+1)=1\), \(\lim_{x\to0^+}(2x+1)=1\), \(g(0)=1\) → \(\boxed{\text{continue en } 0}\)

Étape 1 — Dérivée factorisée \[f'(x) = 3x^2-12x+9 = 3(x-1)(x-3)\]

Étape 2 — Signe et extrema (\(a>0\) → positif à l'extérieur) \[\boxed{\text{max local } f(1)=5 \ ; \quad \text{min local } f(3)=1}\]

Étape 1 — Dérivées (\(f(x)=x^4-4x^3\)) \[f'(x) = 4x^3-12x^2, \qquad f''(x) = 12x^2-24x = 12x(x-2)\]

Étape 2 — Convexité \[f''>0 \text{ sur } ]-\infty;0[\cup]2;+\infty[ \ (\text{convexe}) \ ; \quad f''<0 \text{ sur } ]0;2[ \ (\text{concave})\]

Étape 3 — Points d'inflexion (\(f''\) change de signe) \[\boxed{(0;0) \ \text{et} \ (2;-16)}\]

\(f''(x) = 6x\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty ; 0]\), convexe sur \([0 ; +\infty[\). \(f''\) change de signe en \(0\) : point d'inflexion \(\mathbf{(0 ; 0)}\).

\((e^x)'' = e^x > 0\) sur \(\mathbb{R}\) : la fonction est convexe.

a) \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) : \(f\) est continue et strictement croissante. \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\). D'après le corollaire du TVI, il existe un unique \(\alpha \in [0 ; 1]\) tel que \(f(\alpha) = 0\).

b) \(f(0{,}6) = -0{,}184 < 0\) et \(f(0{,}7) = 0{,}043 > 0\) : \(\mathbf{0{,}6 < \alpha < 0{,}7}\).

À gauche, \(f(x) \to 2\) ; et \(f(1) = a\). Continuité \(\iff \mathbf{a = 2}\).

\(f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)\). Convexe sur \(]-\infty ; -1]\) et \([1 ; +\infty[\), concave sur \([-1 ; 1]\). Points d'inflexion en \(\mathbf{x = -1}\) et \(\mathbf{x = 1}\).

Étape 1 — Valeur : \(f(0)=|{-1}|+1=2\).

Étape 2 — Taux de variation (pour \(h\) proche de \(0\), \(h^2-1<0\) donc \(|h^2-1|=1-h^2\)) \[\dfrac{f(h)-f(0)}{h} = \dfrac{(1-h^2)+1-2}{h} = \dfrac{-h^2}{h} = -h \xrightarrow[h\to0]{} 0\]

Étape 3 — Conclusion \[\boxed{f \text{ dérivable en } 0, \ f'(0)=0}\]

Étape 1 — Dérivée (dénominateur \(x^2+x+1>0\) toujours) \[f'(x) = \dfrac{2(x^2+x+1)-(2x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \dfrac{2x^2+2x+2-(4x^2-1)}{(x^2+x+1)^2} = \dfrac{-2x^2+2x+3}{(x^2+x+1)^2}\]

Étape 2 — Racines du numérateur (\(-2x^2+2x+3=0 \Leftrightarrow 2x^2-2x-3=0\)) \[\Delta = 4+24 = 28 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{2\pm\sqrt{28}}{4} = \dfrac{1\pm\sqrt7}{2}\] soit \(x_1=\frac{1-\sqrt7}{2}\approx-0{,}82\) et \(x_2=\frac{1+\sqrt7}{2}\approx1{,}82\).

Étape 3 — Signe (parabole \(-2x^2+\dots\) ouverte vers le bas → positive entre les racines) \[\boxed{f \nearrow \text{ sur } \left]\tfrac{1-\sqrt7}{2};\tfrac{1+\sqrt7}{2}\right[, \quad f \searrow \text{ ailleurs}}\]

Étape 1 — Dérivées (\(f(x)=xe^x\)) \[f'(x) = (1+x)e^x, \qquad f''(x) = (2+x)e^x\]

Étape 2 — Signe de \(f''\) (\(e^x>0\) → signe de \(2+x\)) \[f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2\]

⚠️ \(f\) n'est PAS convexe sur tout \(\mathbb R\) : elle l'est seulement sur \([-2;+\infty[\) (par ex. \(f''(-3)=-e^{-3}<0\)). L'énoncé contient donc une imprécision — la convexité est locale.

Étape 3 — Inégalité tangente

Sur l'intervalle de convexité \([-2;+\infty[\), la courbe est au-dessus de ses tangentes : \[\boxed{f(x) \geq f'(a)(x-a)+f(a) \quad \text{pour } x,a \in [-2;+\infty[}\]

1) Domaine : \(\sqrt{x^2+1}>|x|\geq-x\), donc \(x+\sqrt{x^2+1}>0\) toujours → \(\boxed{D_f=\mathbb R}\).

2) Dérivée \[f'(x) = \dfrac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} = \boxed{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\]

3) Parité : comme \((x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})=1\), on a \(-x+\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\), d'où \[f(-x) = \ln\!\left(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right) = -f(x) \quad\Rightarrow\quad \boxed{f \text{ impaire}}\]

4) \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0\) → \(f\) strictement croissante ✓

Étape 1 — Limite (\(t=x-1\to0\)) \[\lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{\ln x} = \lim_{t\to0}\dfrac{t}{\ln(1+t)} = 1 \quad (\text{car } \tfrac{\ln(1+t)}{t}\to1)\]

Étape 2 — Prolongement \[\boxed{f(1)=1} \quad\Rightarrow\quad f \text{ prolongée par continuité en } 1\]

1) Domaine : \(\boxed{D_g=\mathbb R}\).

2) Limites \[\lim_{x\to+\infty}g = 1 \ (\text{asymptote } y=1), \qquad \lim_{x\to-\infty}g = 0 \ (\text{asymptote } y=0)\]

3) Dérivée \[g'(x) = \dfrac{e^x(1+e^x)-e^{2x}}{(1+e^x)^2} = \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} > 0 \quad\Rightarrow\quad g \text{ strictement croissante}\]

4) Convexité \[g''(x) = \dfrac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x)^3} \ ; \quad g''=0 \Leftrightarrow x=0 \quad (\text{inflexion en } (0;\tfrac12))\]

5) Tangente au point d'inflexion (\(g'(0)=\frac14\)) \[\boxed{y = \dfrac14 x + \dfrac12}\]

Étape 1 — Réécrire : \(\ln x = 3-x \Leftrightarrow h(x):=\ln x - 3 + x = 0\).

Étape 2 — Monotonie : \(h'(x)=\frac1x+1>0\) sur \(]0;+\infty[\) → strictement croissante → au plus une solution.

Étape 3 — Existence et encadrement \[h(1) = -2 < 0, \quad h(3) = \ln3 \approx 1{,}1 > 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{unique solution dans } ]1;3[}\]

1) Limites \[\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=0 \ (\text{asymptote } y=0), \qquad \lim_{x\to-\infty}x^2e^{-x}=+\infty\]

2) Variations (\(f'(x)=xe^{-x}(2-x)\))

\[\boxed{\text{min } f(0)=0 \ ; \quad \text{max } f(2)=4e^{-2}\approx0{,}54}\]

3) Dérivée seconde (avec \(f'=(2x-x^2)e^{-x}\)) \[f''(x) = (2-2x)e^{-x} - (2x-x^2)e^{-x} = e^{-x}(x^2-4x+2)\] \[f''=0 \Leftrightarrow x^2-4x+2=0 \Leftrightarrow x = 2\pm\sqrt2\] \[\boxed{\text{inflexions en } x=2-\sqrt2\approx0{,}59 \ \text{et} \ x=2+\sqrt2\approx3{,}41}\]

\(\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0\) : \(\ln\) est concave. Une fonction concave est sous ses tangentes ; la tangente en \(1\) est \(y = x - 1\). Donc \(\ln x \leqslant x - 1\). \(\square\)

a) \(\mathbf{2x e^{x^2}}\) ; b) \(\mathbf{\dfrac{2x}{1 + x^2}}\) ; c) \(\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \mathbf{\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}\).

\(f'(x) = (1 - x)e^{-x}\), \(f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}\). \(f''\) change de signe en \(2\) : point d'inflexion \(\mathbf{(2 ; 2e^{-2})}\), soit environ \((2 ; 0{,}27)\).

Soit \(g(x) = e^x + x - 3\) ; \(g'(x) = e^x + 1 > 0\) : \(g\) strictement croissante et continue. \(g(0) = -2 < 0\) et \(g(1) = e - 2 > 0\) : une unique solution, dans \(]0 ; 1[\) (et aucune ailleurs, car \(g\) est strictement croissante). \(\square\)

L'exponentielle est convexe : sa courbe est au-dessus de ses tangentes. La tangente en \(0\) est \(y = x + 1\). Donc \(e^x \geqslant 1 + x\). \(\square\)

Étape 1 — Convexité : \(f(x)=e^x\), \(f''(x)=e^x>0\) → convexe sur \(\mathbb R\).

Étape 2 — Tangente en \(a=0\) : \(y = f(0)+f'(0)(x-0) = 1+x\).

Étape 3 — Conclusion \[\boxed{e^x \geq 1+x \quad \forall x\in\mathbb R} \quad \blacksquare\]

1) \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0 ; 1]\), de \(f(0) = -1\) à \(f(1) = 1\).

2) \(f\) est continue (polynôme) et strictement croissante sur \([0 ; 1]\), et \(0\) est compris entre \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1\). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha\) dans \([0 ; 1]\).

3) Par balayage (calculatrice) : \(f(0{,}68) \approx -0{,}0056 < 0\) et \(f(0{,}69) \approx 0{,}0185 > 0\), donc \(\mathbf{0{,}68 < \alpha < 0{,}69}\).

1) \(f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), puis \(f''(x) = -\dfrac{1}{4}x^{-3/2} = -\dfrac{1}{4x\sqrt{x}} < 0\) : \(f\) est concave sur \(]0 ; +\infty[\).

2) \(f(1) = 1\) et \(f'(1) = \dfrac{1}{2}\) : \(y = \dfrac{1}{2}(x - 1) + 1\), soit \(\mathbf{y = \dfrac{x + 1}{2}}\).

3) Une fonction concave a sa courbe en dessous de ses tangentes : \(\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x + 1}{2}\) pour tout \(x > 0\). \(\square\) (Égalité pour \(x = 1\). C'est un cas de l'inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique : \(\sqrt{x \times 1} \leqslant \dfrac{x + 1}{2}\).)

1) Dérivée seconde \[f'(x) = \dfrac{-2x}{(1+x^2)^2} \ ; \quad f''(x) = \dfrac{-2(1+x^2)+8x^2}{(1+x^2)^3} = \boxed{\dfrac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}}\]

2) Points d'inflexion (\(6x^2-2=0\)) \[x = \pm\dfrac{1}{\sqrt3} \quad\Rightarrow\quad f\!\left(\pm\tfrac{1}{\sqrt3}\right)=\dfrac{1}{1+\frac13}=\dfrac34 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\left(\pm\tfrac{1}{\sqrt3};\tfrac34\right)}\]

3) Tangente en \(x_0=\frac{1}{\sqrt3}\) : pente \(f'(x_0)=\dfrac{-2/\sqrt3}{(4/3)^2}=-\dfrac{9}{8\sqrt3}\), donc \[y = \dfrac34 - \dfrac{9}{8\sqrt3}\left(x-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\] Aux points d'inflexion, la tangente traverse la courbe (par définition du changement de concavité).

1) Récurrence \[x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^2-2}{2x_n} = \dfrac{x_n^2+2}{2x_n}\]

2) Itérations (\(x_0=1\))

3) Comparaison \[\sqrt2 \approx 1{,}414214 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{5 décimales correctes en 3 itérations}}\]

Étape 1 — Décomposer le taux \[\dfrac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h} = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\,g(a+h) + f(a)\,\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}\]

Étape 2 — Passer à la limite (\(h\to0\))

• \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)\)
• \(g(a+h)\to g(a)\) (\(g\) dérivable donc continue)
• \(\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}\to g'(a)\)

Étape 3 — Conclusion \[\boxed{(fg)'(a) = f'(a)g(a)+f(a)g'(a)} \quad \blacksquare\]