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Animations — Terminale

Ces animations illustrent les grandes notions de l'analyse en Terminale. Elles permettent de développer l'intuition géométrique indispensable pour maîtriser le calcul.

Dérivée — Tangente mobile et pente

Rappel fondamental : la dérivée \(f'(x_0)\) est la pente de la tangente à la courbe en \(x_0\). Cette notion est à la base de tout le calcul différentiel.

xy-2-1121234y = x²f'(x) = 2x = -4.00
animation dérivée tangente mobile pente courbe y=x²

Comment lire cette animation :

  1. La courbe \(f(x) = x^2\) est tracée.
  2. La tangente (en rouge) se déplace continûment sur la courbe.
  3. La valeur \(f'(x) = 2x\) est la pente de cette tangente — elle est affichée en temps réel.
  4. La tangente est horizontale quand \(f'(x) = 0\) (minimum en \(x=0\)).
  5. La tangente est de plus en plus inclinée quand \(|x|\) augmente.
Lien avec les extrema

Quand \(f'(x_0) = 0\), la tangente est horizontale → c'est un extremum local (si \(f'\) change de signe).

Intégrale — Sommes de Riemann

L'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) représente l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des \(x\). On peut l'approximer par des sommes de rectangles (sommes de Riemann) : plus les rectangles sont étroits, meilleure est l'approximation.

xy121234y = x²n = 4 → 8 → 16 rectangles | aire ≈ ∫₀² x² dx = 8/3
animation integrale riemann sommes rectangles aire sous courbe y=x²

Comment lire cette animation :

  1. Phase 1 (jaune) : 4 rectangles larges — approximation grossière de l'aire.
  2. Phase 2 (vert) : 8 rectangles — approximation meilleure.
  3. Phase 3 (bleu) : 16 rectangles — on se rapproche de l'aire exacte.
  4. Résultat exact : \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\).
Définition

L'intégrale est la limite des sommes de Riemann quand le nombre de subdivisions tend vers \(+\infty\) (et la largeur tend vers \(0\)).

Limite — Convergence vers une valeur

La notion de limite est au cœur de l'analyse. L'animation montre \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\) qui n'est pas définie en \(x=1\), mais dont la limite vaut \(2\) quand \(x \to 1\).

xy12123L=2f(x) = (x²−1)/(x−1) → lim = 2 (x→1)x = 0.2000f(x) = 1.2000
animation limite convergence fonction approchant valeur indétermination

Comment lire cette animation :

  1. La courbe représente \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1} = x+1\) (simplifié, sauf en \(x=1\)).
  2. Le cercle vide en \((1,2)\) indique que \(f(1)\) n'est pas définie (forme \(\frac{0}{0}\)).
  3. Le point rouge s'approche de \(x=1\) depuis la gauche.
  4. On observe que \(f(x)\) tend vers \(2\) même si \(f(1)\) n'existe pas.
Levée d'indétermination

\(\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\) pour \(x \neq 1\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x) = 2\).

Cercle trigonométrique — Rappel et approfondissement

En Terminale, les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont essentielles (probabilités, intégrales, équations différentielles). Le cercle trigonométrique reste l'outil de référence.

1-11-1xyOcos(θ) = 1.00sin(θ) = 0.00M(cosθ, sinθ)
animation cercle trigonométrique point tournant cosinus sinus

Comment lire cette animation :

  1. Le point \(M(\cos\theta, \sin\theta)\) tourne en sens trigonométrique (anti-horaire).
  2. La projection horizontale (en vert) = \(\cos(\theta)\) — varie entre \(-1\) et \(1\).
  3. La projection verticale (en rouge) = \(\sin(\theta)\) — varie entre \(-1\) et \(1\).
Relations fondamentales

\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) (cercle unité). Valeurs remarquables : \(\cos(\pi/3) = 1/2\), \(\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2\), \(\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2\).