Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues, succès (de probabilité \(p\)) et échec (de probabilité \(1 - p\)). La variable \(X\) qui vaut \(1\) en cas de succès et \(0\) sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
Si \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), alors \(E(X) = p\) et \(V(X) = p(1 - p)\).
Un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On le représente par un arbre à \(2^n\) chemins.
Le nombre de chemins de l'arbre qui comportent exactement \(k\) succès se note \(\dbinom{n}{k}\) (« \(k\) parmi \(n\) »). C'est aussi le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\) : \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}\]
\(\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1\) ; \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n - k}\) ; relation de Pascal : \(\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k + 1} = \dbinom{n + 1}{k + 1}\).
Dans un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\), le nombre \(X\) de succès suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n ; p)\) : \[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \qquad (0 \leqslant k \leqslant n)\]
Chaque chemin à \(k\) succès a pour probabilité \(p^k(1 - p)^{n - k}\), et il y a \(\dbinom{n}{k}\) tels chemins.
Si \(X\) suit \(\mathcal{B}(n ; p)\), \[E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}\]
Il faut justifier (1) une épreuve à deux issues, (2) répétée \(n\) fois de façon identique et indépendante (tirages avec remise, lancers…), (3) \(X\) compte le nombre de succès.
On utilise les fonctions « binomFdP » (pour \(P(X = k)\)) et « binomFRép » (pour \(P(X \leqslant k)\)). Pour \(P(X \geqslant k)\), on passe par le contraire : \(P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)\).
Des tirages sans remise ne donnent pas une loi binomiale (les épreuves ne sont pas indépendantes).
🔍 Lien : \(X = X_1 + \cdots + X_n\) où les \(X_i\) sont des variables de Bernoulli indépendantes ; la linéarité de l'espérance donne \(E(X) = np\) (voir le chapitre « Loi des grands nombres »).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Bernoulli | \(E = p\), \(V = p(1 - p)\) |
| Coefficient binomial | \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}\) |
| Pascal | \(\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k + 1} = \dbinom{n + 1}{k + 1}\) |
| Loi binomiale | \(P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}\) |
| Espérance, variance | \(np\) ; \(np(1 - p)\) |
| « Au moins un » | \(P(X \geqslant 1) = 1 - (1 - p)^n\) |
On lance un dé équilibré ; le succès est « obtenir \(6\) ». \(X\) vaut \(1\) en cas de succès, \(0\) sinon. Donne la loi de \(X\), puis calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
\(P(X = 1) = \dfrac{1}{6}\) et \(P(X = 0) = \dfrac{5}{6}\) (loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{6}\)). \(E(X) = \boxed{\dfrac{1}{6}}\) ; \(V(X) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \boxed{\dfrac{5}{36}}\).
Calcule : \(\dbinom{6}{2}\), \(\dbinom{7}{3}\), \(\dbinom{10}{0}\), \(\dbinom{5}{5}\), \(\dbinom{8}{1}\).
\(\dbinom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = \mathbf{15}\) ; \(\dbinom{7}{3} = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{6} = \mathbf{35}\) ; \(\dbinom{10}{0} = \mathbf{1}\) ; \(\dbinom{5}{5} = \mathbf{1}\) ; \(\dbinom{8}{1} = \mathbf{8}\).
On lance \(5\) fois une pièce équilibrée ; \(X\) est le nombre de « Face ».
1) \(5\) répétitions identiques et indépendantes d'une épreuve à deux issues (succès « Face », \(p = 0{,}5\)) : \(X\) suit \(\mathcal{B}(5 ; 0{,}5)\).
2) \(P(X = 3) = \dbinom{5}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^2 = \dfrac{10}{32} = \boxed{0{,}3125}\).
3) \(E(X) = 5 \times 0{,}5 = \boxed{2{,}5}\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{5 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{1{,}25} \approx \boxed{1{,}12}\).
\(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(6 ; 0{,}3)\).
1) \(P(X = 0) = 0{,}7^6 \approx \mathbf{0{,}118}\) ; \(P(X = 1) = 6 \times 0{,}3 \times 0{,}7^5 \approx \mathbf{0{,}303}\) ; \(P(X = 2) = 15 \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^4 \approx \mathbf{0{,}324}\).
2) \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}7^6 \approx \mathbf{0{,}882}\).
3) \(E(X) = 6 \times 0{,}3 = \mathbf{1{,}8}\) ; \(V(X) = 1{,}8 \times 0{,}7 = \mathbf{1{,}26}\).
Dans chaque cas, \(X\) suit-elle une loi binomiale ? Si oui, donne ses paramètres.
a) On tire \(10\) fois avec remise une boule dans une urne contenant \(3\) rouges et \(7\) noires ; \(X\) est le nombre de rouges.
b) Même chose, mais sans remise.
c) On lance un dé jusqu'à obtenir \(6\) ; \(X\) est le nombre de lancers.
a) Oui : tirages avec remise, donc identiques et indépendants ; succès « rouge » de probabilité \(0{,}3\). \(X\) suit \(\mathcal{B}(10 ; 0{,}3)\).
b) Non : sans remise, la composition de l'urne change, les tirages ne sont pas indépendants.
c) Non : le nombre de lancers n'est pas fixé à l'avance, et \(X\) ne compte pas des succès.
On répète \(3\) fois une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p = 0{,}4\).
1) \(\dbinom{3}{2} = 3\) chemins : SSE, SES, ESS.
2) Chaque chemin a pour probabilité \(0{,}4^2 \times 0{,}6 = 0{,}096\), donc \(P(X = 2) = 3 \times 0{,}096 = \mathbf{0{,}288}\). Avec la formule : \(\dbinom{3}{2} \times 0{,}4^2 \times 0{,}6^1 = 0{,}288\) ✓
Calcule :
a) \(\dbinom{5}{2}\) \(\quad\)
b) \(\dbinom{6}{3}\) \(\quad\)
c) \(\dbinom{10}{0}\)
a) \(\dfrac{5 \times 4}{2} = \mathbf{10}\) ; b) \(\dfrac{6 \times 5 \times 4}{6} = \mathbf{20}\) ; c) \(\mathbf{1}\).
\(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(4 ; 0{,}5)\). Calcule \(P(X = 2)\).
🎯 \(P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}\).
\(\dbinom{4}{2} \times 0{,}5^4 = \dfrac{6}{16} = \mathbf{0{,}375}\).
\(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(10 ; 0{,}3)\). Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
\(E(X) = np = \mathbf{3}\) ; \(V(X) = np(1 - p) = \mathbf{2{,}1}\).
\(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(5 ; 0{,}2)\). Calcule \(P(X = 0)\).
\(0{,}8^5 \approx \mathbf{0{,}328}\).
Avec la loi de l'exercice 10, calcule \(P(X \geqslant 1)\).
\(1 - 0{,}8^5 \approx \mathbf{0{,}672}\).
On lance \(10\) fois un dé équilibré ; \(X\) est le nombre de \(6\).
1) \(X\) suit \(\mathcal{B}\left(10 ; \dfrac{1}{6}\right)\) (lancers indépendants et identiques, succès « obtenir \(6\) »).
2) \(P(X = 2) = \dbinom{10}{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right)^8 \approx \mathbf{0{,}291}\). \(P(X \leqslant 1) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10} + 10 \times \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^9 \approx 0{,}162 + 0{,}323 = \mathbf{0{,}485}\).
3) \(E(X) = \dfrac{10}{6} \approx \mathbf{1{,}67}\) : en moyenne, on obtient environ \(1{,}67\) six par série de \(10\) lancers.
Un élève répond au hasard à un QCM de \(12\) questions ayant chacune \(5\) réponses dont une seule juste.
1) \(X\) suit \(\mathcal{B}(12 ; 0{,}2)\).
2) \(P(X = 4) = \dbinom{12}{4} \times 0{,}2^4 \times 0{,}8^8 \approx \mathbf{0{,}133}\). \(P(X \geqslant 6) = 1 - P(X \leqslant 5) \approx 1 - 0{,}981 = \mathbf{0{,}019}\).
3) \(E(X) = 12 \times 0{,}2 = 2{,}4\) bonnes réponses, soit une note moyenne de \(2{,}4 \times \dfrac{20}{12} = \mathbf{4}\) sur 20.
\(48\,\%\) de la population est de groupe A. On choisit \(8\) personnes au hasard (population assez grande pour assimiler le choix à des tirages avec remise).
\(X\) suit \(\mathcal{B}(8 ; 0{,}48)\).
1) \(P(X = 3) = \dbinom{8}{3} \times 0{,}48^3 \times 0{,}52^5 \approx \mathbf{0{,}235}\).
2) \(P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}52^8 \approx \mathbf{0{,}995}\).
3) \(E(X) = 8 \times 0{,}48 = \mathbf{3{,}84}\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{8 \times 0{,}48 \times 0{,}52} \approx \mathbf{1{,}41}\).
Une machine produit une pièce défectueuse avec la probabilité \(0{,}05\), indépendamment des autres. On prélève un lot de \(20\) pièces.
\(X\) (nombre de pièces défectueuses) suit \(\mathcal{B}(20 ; 0{,}05)\).
1) \(P(X = 2) = \dbinom{20}{2} \times 0{,}05^2 \times 0{,}95^{18} \approx \mathbf{0{,}189}\).
2) \(P(X \leqslant 1) = 0{,}95^{20} + 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{19} \approx 0{,}358 + 0{,}377 = \mathbf{0{,}736}\).
Combien de fois faut-il lancer un dé pour que la probabilité d'obtenir au moins un \(6\) dépasse \(0{,}99\) ?
Sur \(n\) lancers, \(P(\text{au moins un } 6) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n\). On veut : \[1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \geqslant 0{,}99 \iff \left(\frac{5}{6}\right)^n \leqslant 0{,}01 \iff n\ln\frac{5}{6} \leqslant \ln 0{,}01 \iff n \geqslant \frac{\ln 0{,}01}{\ln(5/6)} \approx 25{,}26\] (on a divisé par \(\ln\dfrac{5}{6} < 0\)). Il faut au moins \(\boxed{26}\) lancers.
1)
| \(n\) | coefficients |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
Chaque coefficient est la somme des deux coefficients situés au-dessus (relation de Pascal).
2) \(1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5\). Sur l'arbre d'un schéma de Bernoulli à \(n\) épreuves, il y a \(2^n\) chemins en tout, répartis selon le nombre \(k\) de succès : \(\sum_k \dbinom{n}{k} = 2^n\).
Chacun des \(100\) clients d'une journée effectue un achat avec la probabilité \(0{,}3\), indépendamment des autres.
1) \(X\) suit \(\mathcal{B}(100 ; 0{,}3)\).
2) \(E(X) = \mathbf{30}\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{100 \times 0{,}3 \times 0{,}7} = \sqrt{21} \approx \mathbf{4{,}58}\).
\(X\) suit une loi binomiale d'espérance \(6\) et de variance \(4{,}2\). Détermine \(n\) et \(p\).
\(np = 6\) et \(np(1 - p) = 4{,}2\), donc \(1 - p = \dfrac{4{,}2}{6} = 0{,}7\) : \(\boxed{p = 0{,}3}\) et \(n = \dfrac{6}{0{,}3} = \boxed{20}\).
On lance \(3\) fois un dé. Calcule la probabilité d'obtenir exactement un \(6\).
\(X \sim \mathcal{B}\left(3 ; \dfrac{1}{6}\right)\) : \(P(X = 1) = 3 \times \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{75}{216} \approx \mathbf{0{,}347}\).
Dans une urne de \(10\) boules dont \(3\) rouges, on tire \(4\) boules. \(X\) compte les rouges. \(X\) suit-elle une loi binomiale :
a) si les tirages sont avec remise ?
b) sans remise ?
a) Oui : \(4\) épreuves identiques et indépendantes, succès « rouge » de probabilité \(0{,}3\) : \(\mathcal{B}(4 ; 0{,}3)\).
b) Non : la probabilité de tirer une rouge change d'un tirage à l'autre ; les épreuves ne sont pas indépendantes.
Un QCM a \(10\) questions à \(4\) réponses (une seule juste). Un élève répond au hasard.
a) Calcule la probabilité d'avoir tout juste.
b) Calcule le nombre moyen de bonnes réponses.
\(X \sim \mathcal{B}(10 ; 0{,}25)\).
a) \(0{,}25^{10} \approx \mathbf{9{,}5 \times 10^{-7}}\) (presque impossible).
b) \(E(X) = 10 \times 0{,}25 = \mathbf{2{,}5}\).
Un tireur atteint sa cible avec une probabilité de \(0{,}1\), ses tirs étant indépendants. Combien de tirs faut-il au minimum pour que la probabilité d'atteindre au moins une fois la cible dépasse \(0{,}95\) ?
\(1 - 0{,}9^n \geqslant 0{,}95 \iff 0{,}9^n \leqslant 0{,}05 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}9} \approx 28{,}4\). Il faut \(29\) tirs.
\(5\,\%\) des pièces d'une usine sont défectueuses. On prélève \(20\) pièces (tirage assimilé à un tirage avec remise). Calcule la probabilité d'avoir au plus une pièce défectueuse.
\(X \sim \mathcal{B}(20 ; 0{,}05)\) : \(P(X \leqslant 1) = 0{,}95^{20} + 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{19} \approx 0{,}358 + 0{,}377 \approx \mathbf{0{,}736}\).
Un laboratoire affirme que son médicament guérit \(80\,\%\) des patients. On le teste sur \(25\) patients et seulement \(15\) guérissent.
1) Si l'affirmation est vraie, \(X\) suit \(\mathcal{B}(25 ; 0{,}8)\) (patients supposés indépendants).
2) \(E(X) = 20\). À la calculatrice : \(P(X \leqslant 15) \approx \mathbf{0{,}017}\).
3) Si le médicament guérissait vraiment \(80\,\%\) des patients, obtenir \(15\) guérisons ou moins n'arriverait qu'environ \(1{,}7\) fois sur \(100\). Ce résultat est peu probable : il rend l'affirmation douteuse (sans la réfuter avec certitude).
\(X\) suit \(\mathcal{B}(50 ; 0{,}2)\). Détermine, à la calculatrice, le plus petit entier \(k\) tel que \(P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}95\).
À la calculatrice : \(P(X \leqslant 14) \approx 0{,}939\) et \(P(X \leqslant 15) \approx 0{,}969\). Le plus petit entier est \(\boxed{k = 15}\).
Un avion a \(200\) places. La compagnie vend \(210\) billets ; chaque passager se présente avec la probabilité \(0{,}95\), indépendamment des autres.
1) \(X\) suit \(\mathcal{B}(210 ; 0{,}95)\).
2) \(E(X) = 210 \times 0{,}95 = \mathbf{199{,}5}\).
3) Des passagers sont refusés si \(X > 200\) : \(P(X \geqslant 201) = 1 - P(X \leqslant 200) \approx \mathbf{0{,}39}\). Le risque est élevé (environ \(39\,\%\) des vols) : \(210\) billets, c'est trop pour \(200\) places.
\(X\) suit \(\mathcal{B}(n ; p)\) et s'écrit \(X = X_1 + \cdots + X_n\), où \(X_i\) vaut \(1\) si la \(i\)-ème épreuve est un succès et \(0\) sinon.
1) Chaque \(X_i\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\) : \(E(X_i) = p\) et \(V(X_i) = p(1 - p)\).
2) \(E(X) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = np\). \(\square\)
3) Pour des variables indépendantes, les variances s'ajoutent : \(V(X) = n\,p(1 - p)\). \(\square\)
Un ensemble \(E\) a \(n + 1\) éléments, dont un élément particulier \(a\).
1) Parties contenant \(a\) : il reste à choisir \(k\) éléments parmi les \(n\) autres, soit \(\dbinom{n}{k}\). Parties ne contenant pas \(a\) : on choisit \(k + 1\) éléments parmi les \(n\) autres, soit \(\dbinom{n}{k + 1}\).
2) Toute partie à \(k + 1\) éléments contient \(a\) ou non (et pas les deux) : \(\dbinom{n + 1}{k + 1} = \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k + 1}\). \(\square\)
Pour \(1\) € de mise, on lance \(4\) pièces équilibrées ; \(X\) est le nombre de « Face ». On reçoit \(10\) € si \(X = 4\), \(2\) € si \(X = 3\), rien sinon.
1) \(X\) suit \(\mathcal{B}(4 ; 0{,}5)\) : \(P(X = k) = \dfrac{\binom{4}{k}}{16}\), soit \(\dfrac{1}{16}, \dfrac{4}{16}, \dfrac{6}{16}, \dfrac{4}{16}, \dfrac{1}{16}\) pour \(k = 0, \ldots, 4\).
2) \(P(X \geqslant 3) = \dfrac{4 + 1}{16} = \boxed{\dfrac{5}{16}}\).
3) \(G = 9\) (proba \(\dfrac{1}{16}\)), \(G = 1\) (proba \(\dfrac{4}{16}\)), \(G = -1\) (proba \(\dfrac{11}{16}\)). \(E(G) = \dfrac{9 + 4 - 11}{16} = \dfrac{2}{16} = \boxed{0{,}125}\) € \(> 0\) : le jeu est (légèrement) favorable au joueur.