La fonction exponentielle \(\exp : x \mapsto e^x\) est l'unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[\exp' = \exp \quad \text{et} \quad \exp(0) = 1\]
Le nombre \(e \approx 2{,}71828...\) est la base de l'exponentielle naturelle (nombre d'Euler).
Propriétés algébriques (pour tous \(a, b\in\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{Q}\)) :
\[\boxed{e^{a+b} = e^a\cdot e^b}\] \[e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \quad;\quad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \quad;\quad (e^a)^n = e^{na}\] \[e^0 = 1 \quad;\quad e^1 = e\]
Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(e^x\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Équation : \(e^{f(x)} = e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)\) (bijectivité)
Inéquation : \(e^{f(x)} \leq e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) \leq g(x)\) (strictement croissante)
Exemples :
La fonction logarithme néperien \(\ln\) est la réciproque (inverse) de \(\exp\) sur \(]0;+\infty[\) :
\[\ln : ]0;+\infty[ \to \mathbb{R}\]
\[\boxed{\ln(e^x) = x \quad \forall x\in\mathbb{R} \quad \text{et} \quad e^{\ln x} = x \quad \forall x>0}\]
Valeurs remarquables : \[\ln 1 = 0, \quad \ln e = 1, \quad \ln(e^n) = n, \quad \ln\!\left(\frac{1}{e}\right) = -1\]
Pour \(a, b > 0\) et \(n\in\mathbb{Q}\) :
\[\boxed{\ln(ab) = \ln a + \ln b}\] \[\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \quad;\quad \ln(a^n) = n\ln a\] \[\ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a \quad;\quad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a\]
Dérivée : \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) pour \(x>0\)
Tableau de variations :
| \(x\) | \(0\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(\ln x\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Équation : \(\ln(f(x)) = \ln(g(x)) \Leftrightarrow f(x) = g(x)\) ET \(f(x)>0\)
Inéquation : \(\ln(f(x)) \leq \ln(g(x)) \Leftrightarrow 0 < f(x) \leq g(x)\)
Exemples :
\(\ln(x+2) = \ln(2x-1)\) :
\(\ln(x^2) < \ln(2x+3)\) :
Contenu facultatif, non exigible.
(hors programme) : pour \(a > 0\), on définit \(a^x = e^{x\ln a}\). Si \(a > 1\), cette fonction est croissante ; si \(0 < a < 1\), elle est décroissante, et \((a^x)' = \ln(a)\,a^x\). On définit aussi le logarithme décimal \(\log(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\), utilisé en physique et en chimie (pH, décibels) : \(\log(10^n) = n\).
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad \text{pour tout } n\geq0}\]
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n} = 0 \quad \text{pour tout } n>0}\]
\[\boxed{\lim_{x\to0^+}x^n\ln x = 0 \quad \text{pour tout } n>0}\]
\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}x^ne^x = 0 \quad \text{pour tout } n\geq0}\]
Preuve de la première (par encadrement) :
Pour \(x>0\) : \(e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\) (terme du développement en série), donc \(\frac{e^x}{x^n} > \frac{x}{(n+1)!} \to +\infty\).
Règle : \((P(x)e^x)' = (P'(x)+P(x))e^x\)
Exemple : \(f(x) = (x^2-3x+2)e^x\)
\(f'(x) = (2x-3)e^x+(x^2-3x+2)e^x = e^x(x^2-x-1)\)
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-x-1=0 \Leftrightarrow x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
Rappel : \((\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}\) (défini là où \(g(x)>0\))
Exemple : \(f(x) = \ln\!\left(\frac{x+1}{x-2}\right) = \ln(x+1)-\ln(x-2)\)
Domaine : \(x+1>0\) et \(x-2>0\) → \(x>2\). Donc \(D_f = ]2;+\infty[\).
\(f'(x) = \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-2} = \frac{(x-2)-(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{-3}{(x+1)(x-2)}\)
Sur \(]2;+\infty[\) : \((x+1)>0\) et \((x-2)>0\) → \(f'(x)<0\) → \(f\) strictement décroissante.
Un capital \(C_0\) placé à taux annuel \(t\) (en décimal) vaut après \(n\) années : \[C_n = C_0(1+t)^n = C_0 e^{n\ln(1+t)}\]
Problème : En combien d'années le capital double-t-il ? \[C_n = 2C_0 \Leftrightarrow (1+t)^n = 2 \Leftrightarrow n = \frac{\ln 2}{\ln(1+t)}\]
Pour \(t=5\%\) : \(n = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} = \frac{0{,}693}{0{,}0488} \approx 14{,}2\) années → règle des 70 : \(70/r\%\) années environ.
\(N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda t}\) où \(\lambda\) est la constante de désintégration.
Demi-vie \(T_{1/2}\) : temps après lequel la moitié des noyaux a désintégré : \[N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2} \Rightarrow e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\]
\[P(t) = \frac{K}{1+Ae^{-rt}}\]
où \(K\) est la capacité maximale, \(r\) le taux de croissance. Cette loi modélise des populations avec saturation.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
Relations réciproques : \[\ln(e^x) = x \quad;\quad e^{\ln x} = x \quad (x>0)\]
Propriétés du logarithme : \[\ln(ab)=\ln a+\ln b \quad;\quad \ln(a/b)=\ln a-\ln b \quad;\quad \ln(a^n)=n\ln a\]
Dérivées fondamentales : \[(\ln u)' = \frac{u'}{u} \quad;\quad (e^u)' = u'e^u\]
Croissances comparées : \[e^x \gg x^n \gg \ln x \quad (x\to+\infty)\] \[\lim_{x\to0^+}x\ln x = 0\]
Équations :
⚠️ Pièges :
Simplifier les expressions suivantes :
\(\ln(e^a)=a\) et \(e^{\ln a}=a\). On « annule » exp et ln l'un par l'autre.
1) \(\ln(e^5) = \boxed{5}\)
2) \(e^{\ln 3} = \boxed{3}\)
3) \(\ln(e^{-2}) = \boxed{-2}\)
4) \(e^{2\ln 3} = (e^{\ln3})^2 = 3^2 = \boxed{9}\)
5) \(\ln(e^x\cdot e^{2x}) = \ln(e^{3x}) = \boxed{3x}\)
Résoudre les équations :
\(e^A=e^B\Leftrightarrow A=B\) ; \(\ln A=\ln B\Leftrightarrow A=B\) (avec \(A,B>0\)) ; \(e^x=k\Leftrightarrow x=\ln k\).
1) \(2x-3=x+1 \Rightarrow \boxed{x=4}\)
2) condition \(2x-1>0\) ; \(2x-1=x+3\Rightarrow x=4\), et \(7>0\) ✓ → \(\boxed{x=4}\)
3) \(\boxed{x=\ln5\approx1{,}609}\)
4) \(\boxed{x=e^{-2}\approx0{,}135}\)
Toujours vérifier les conditions d'existence pour les équations avec \(\ln\) (l'argument doit être \(>0\)).
Calculer les dérivées :
\([\ln u]'=\frac{u'}{u}\), \([e^u]'=u'e^u\), produit et quotient.
1) \(\boxed{f'(x)=\dfrac{3}{3x+1}}\)
2) \(\boxed{g'(x)=2x\,e^{x^2-2}}\)
3) \(h'(x)=2xe^x+x^2e^x = \boxed{xe^x(x+2)}\)
4) \(k'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2} = \boxed{\dfrac{1-\ln x}{x^2}}\)
Résoudre les inéquations :
exp et ln strictement croissantes (sens conservé), avec conditions d'existence pour \(\ln\).
1) \(3x-1>x+5 \Rightarrow 2x>6 \Rightarrow \boxed{x>3}\)
2) condition \(2x-3>0\) (\(x>\frac32\)) ; \(2x-3\leq x+1 \Rightarrow x\leq4\) \[\boxed{\tfrac32 < x \leq 4}\]
Déterminer le domaine de définition :
argument de \(\ln\) strictement positif, radicande positif.
1) \(x-3>0 \Rightarrow \boxed{]3;+\infty[}\)
2) \(x^2-4>0 \Rightarrow \boxed{]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[}\)
3) \(\sqrt{\ln x}\) : \(\ln x\geq0 \Rightarrow x\geq1 \Rightarrow \boxed{[1;+\infty[}\)
4) \(\frac1x>0 \Rightarrow \boxed{]0;+\infty[}\)
Il faut \(x>0\) (pour \(\ln x\)) et \(\ln x\geq0\) (pour la racine) → \(x\geq1\).
Calculer les limites :
\(e^x\gg x^n\gg\ln x\).
1) \(\boxed{\lim_{x\to0^+}x^3\ln x = 0}\)
2) \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^{10}} = +\infty}\)
3) poser \(t=-x\) : \(xe^x=-\frac{t}{e^t}\to\boxed{0}\)
Calcule :
a) \(\ln(e^3)\) \(\quad\)
b) \(e^{\ln 5}\) \(\quad\)
c) \(\ln 1\) \(\quad\)
d) \(\ln\dfrac{1}{e}\)
a) \(\mathbf{3}\) ; b) \(\mathbf{5}\) ; c) \(\mathbf{0}\) ; d) \(\mathbf{-1}\).
Simplifie :
a) \(\ln 8 + \ln 2 - \ln 4\) (en fonction de \(\ln 2\)) \(\quad\)
b) \(\ln\sqrt{e}\)
a) \(\ln\dfrac{8 \times 2}{4} = \ln 4 = \mathbf{2\ln 2}\). b) \(\ln e^{1/2} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\).
Résous (valeur exacte, puis approchée) :
a) \(e^x = 7\) \(\quad\)
b) \(\ln x = 2\)
a) \(x = \ln 7 \approx \mathbf{1{,}946}\). b) \(x = e^2 \approx \mathbf{7{,}389}\).
Résous \(\ln(2x - 1) = 0\).
Domaine : \(2x - 1 > 0\), soit \(x > \dfrac{1}{2}\). \(\ln(2x - 1) = \ln 1 \iff 2x - 1 = 1 \iff x = \mathbf{1}\) (qui convient).
Détermine le plus petit entier \(n\) tel que \(2^n \geqslant 1\,000\).
\(\ln\) est croissante : \(n \ln 2 \geqslant \ln 1\,000\), \(n \geqslant \dfrac{\ln 1\,000}{\ln 2} \approx 9{,}97\). Donc \(\mathbf{n = 10}\) (\(2^{10} = 1\,024\)).
Étude complète de \(f(x) = \ln(x^2+1)\) :
domaine, parité, variations.
1) \(x^2+1>0\) → \(D_f=\mathbb R\) ; \(f(-x)=f(x)\) → \(\boxed{\text{paire}}\).
2) \(\lim_{x\to\pm\infty}\ln(x^2+1)=+\infty\) → pas d'asymptote horizontale.
3) \(f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) → signe de \(x\) → minimum \(f(0)=\ln1=0\).
4) \(f(0)=0\), \(f(1)=f(-1)=\ln2\approx0{,}69\).
Résoudre l'équation \(e^x + e^{-x} = 5\) en posant \(u=e^x\) et en résolvant une équation du second degré en \(u\).
se ramener à un trinôme.
Étape 1 — Poser \(u=e^x>0\) \[u+\dfrac1u=5 \Rightarrow u^2-5u+1=0 \Rightarrow \Delta=21 \Rightarrow u=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}\]
Étape 2 — Revenir à \(x\) (les deux \(u\) sont \(>0\)) \[\boxed{x = \ln\!\left(\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}\right)}\]
Comme le produit des racines vaut \(1\) (\(\frac ca\)), on a \(x_2=-x_1\) : les solutions sont opposées (cohérent : \(e^x+e^{-x}\) est paire).
Étude complète de \(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0;+\infty[\) :
via l'étude de \(f(x)=x-\ln x\).
1) Limites : \(\lim_{0^+}=+\infty\), \(\lim_{+\infty}=+\infty\).
2) Variations : \(f'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}\) → minimum en \(x=1\), \(f(1)=1\).
3) Conclusion \[f(x)\geq1 \Rightarrow x-\ln x\geq1 \Rightarrow \boxed{\ln x\leq x-1}\]
Un capital de 10 000€ est placé à intérêts composés.
\(C_n=C_0(1+t)^n\) ; le temps de multiplication par \(k\) utilise le logarithme.
1) \(C_{10}=10\,000(1{,}03)^{10}\approx\boxed{13\,439\text{ €}}\), \(C_{20}=10\,000(1{,}03)^{20}\approx\boxed{18\,061\text{ €}}\)
2) Triplement à 4 % \[(1{,}04)^n=3 \Rightarrow n=\dfrac{\ln3}{\ln1{,}04}\approx\boxed{28\text{ ans}}\]
3) Doublement en 8 ans \[(1+t)^8=2 \Rightarrow \ln(1+t)=\dfrac{\ln2}{8} \Rightarrow t=e^{0{,}0866}-1\approx\boxed{9{,}05\%}\]
Résoudre : \((\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0\) en posant \(u=\ln x\).
. \[u^2-3u+2=0 \Rightarrow (u-1)(u-2)=0 \Rightarrow u=1 \text{ ou } u=2\] \[\ln x=1\Rightarrow x=e \ ; \quad \ln x=2\Rightarrow x=e^2 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x\in\{e\,;\,e^2\}}\]
Étude de \(f(x) = xe^{-x}\) (déjà faite en 1ère, ici plus complète) :
+ discussion d'équation paramétrée.
1) Limites : \(\lim_{+\infty}=0\), \(\lim_{-\infty}=-\infty\).
2) Variations : \(f'(x)=e^{-x}(1-x)\) → max \(f(1)=\frac1e\).
3) Inflexion : \(f''(x)=e^{-x}(x-2)\) → inflexion en \(x=2\), \(f(2)=2e^{-2}\).
4) Nombre de solutions de \(xe^{-x}=k\)
| \(k\) | solutions |
|---|---|
| \(k<0\) | \(1\) |
| \(k=0\) | \(1\) (\(x=0\)) |
| \(0<k<\frac1e\) | \(\mathbf2\) |
| \(k=\frac1e\) | \(1\) (\(x=1\)) |
| \(k>\frac1e\) | \(0\) |
La discussion se lit directement sur le tableau de variations : \(k\) est le nombre d'intersections de \(y=k\) avec la courbe.
On considère \(f(x) = \ln x - \frac{x-1}{x+1}\).
dériver soigneusement, puis déduire variations et signe. (\(\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}\).)
1) Dérivée
Comme \(\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'=\dfrac{2}{(x+1)^2}\) : \[f'(x) = \dfrac1x - \dfrac{2}{(x+1)^2} = \dfrac{(x+1)^2-2x}{x(x+1)^2} = \boxed{\dfrac{x^2+1}{x(x+1)^2}}\]
⚠️ Le calcul correct donne \(\dfrac{x^2+1}{x(x+1)^2}\), et non \(\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\) comme annoncé dans l'énoncé (cette dernière formule correspondrait à \(f(x)=\ln x-2\frac{x-1}{x+1}\) — coquille probable du coefficient). Dans les deux cas, le numérateur est positif sur \(]0;+\infty[\), donc la conclusion ne change pas.
2) Variations : sur \(]0;+\infty[\), \(x^2+1>0\), \(x>0\), \((x+1)^2>0\) → \(f'(x)>0\) → \(f\) strictement croissante.
3) Signe de \(f\) : \(f(1)=\ln1-\frac{0}{2}=0\). Comme \(f\) croît et s'annule en \(1\) : \[\boxed{f(x)<0 \text{ sur } ]0;1[, \quad f(x)>0 \text{ sur } ]1;+\infty[}\]
Radioactivité : Un échantillon de Carbone 14 (\(T_{1/2} = 5730\) ans) a une activité initiale de \(A_0\).
\(\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}\), puis résolution exponentielle.
1) Constante \[\lambda = \dfrac{\ln2}{5730} \approx 1{,}21\times10^{-4} \text{ an}^{-1}\]
2) Activité à 10 % \[e^{-\lambda t}=0{,}1 \Rightarrow t=\dfrac{\ln10}{\lambda}=\dfrac{\ln10}{\ln2}\times5730 \approx \boxed{19\,000 \text{ ans}}\]
3) Activité à 25 % (\(=\frac14\) = 2 demi-vies) \[e^{-\lambda t}=\tfrac14 \Rightarrow t=\dfrac{2\ln2}{\lambda}=2\,T_{1/2}=\boxed{11\,460 \text{ ans}}\]
Passer de \(100\%\) à \(25\%\), c'est diviser deux fois par \(2\) → exactement deux demi-vies, sans calcul.
Dérive :
a) \(\ln(3x + 1)\) sur \(\left]-\dfrac{1}{3} ; +\infty\right[\) \(\quad\)
b) \(x \ln x\) sur \(]0 ; +\infty[\)
a) \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) : \(\mathbf{\dfrac{3}{3x + 1}}\). b) \(\ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \mathbf{\ln x + 1}\).
Étudie \(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0 ; +\infty[\) et déduis-en que \(\ln x < x\).
\(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}\) : \(f\) décroît sur \(]0 ; 1]\) et croît sur \([1 ; +\infty[\). Son minimum est \(f(1) = 1 > 0\). Donc \(x - \ln x > 0\), soit \(\ln x < x\). \(\square\)
Résous \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\).
\(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2) = 0\), \(X = 1\) ou \(X = 2\). \(\mathcal{S} = \mathbf{\{0 ; \ln 2\}}\).
Détermine :
a) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}\) \(\quad\)
b) \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x\)
a) \(\mathbf{0}\) ; b) \(\mathbf{0}\) (croissances comparées).
Le nombre de noyaux radioactifs est \(N(t) = N_0 e^{-0{,}03t}\) (\(t\) en années). Calcule la demi-vie, c'est-à-dire le temps au bout duquel \(N(t) = \dfrac{N_0}{2}\).
\(e^{-0{,}03t} = \dfrac{1}{2} \iff -0{,}03t = -\ln 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}03} \approx \mathbf{23{,}1}\) ans.
Montrer que pour tout \(x>0\) : \(\ln x \leq x-1\), puis que \(1-\frac{1}{x}\leq\ln x\leq x-1\).
\(1-\frac1x\leq\ln x\leq x-1\).
Étape 1 — Borne droite : \(g(x)=x-1-\ln x\), \(g'(x)=\frac{x-1}{x}\), min \(g(1)=0\) → \(\ln x\leq x-1\).
Étape 2 — Borne gauche : appliquer le résultat à \(\frac1x\) \[\ln\tfrac1x \leq \tfrac1x-1 \Rightarrow -\ln x \leq \tfrac1x-1 \Rightarrow \boxed{1-\tfrac1x \leq \ln x \leq x-1}\]
On admet que \(\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\).
\(\left(1+\frac1n\right)^n\to e\).
1) \((1{,}01)^{100}\approx2{,}705\), proche de \(e\approx2{,}718\).
2) \(\left(1+\frac xn\right)^n=e^{n\ln(1+x/n)}\), et \(n\ln(1+\frac xn)\to x\) (car \(\frac{\ln(1+u)}{u}\to1\)) → limite \(\boxed{e^x}\).
3) Le taux continu \(r\) est la limite du taux discret quand la période de capitalisation tend vers \(0\) : \(e^r=1+t_{\text{discret}}\).
Montrer que l'équation \(\ln x = \frac{1}{x}\) admet une unique solution et l'encadrer à \(0{,}1\) près.
Étape 1 — Réécrire : \(\ln x=\frac1x \Leftrightarrow h(x):=\ln x-\frac1x=0\).
Étape 2 — Monotonie : \(h'(x)=\frac1x+\frac1{x^2}=\frac{x+1}{x^2}>0\) → strictement croissante → au plus une solution.
Étape 3 — Encadrement
| \(x\) | \(1\) | \(1{,}7\) | \(1{,}8\) |
|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | \(-1\) | \(\approx-0{,}06\) | \(\approx+0{,}03\) |
\[\boxed{\text{unique solution dans } ]1{,}7\,;\,1{,}8[}\]
On définit \(\text{sh}(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\) et \(\text{ch}(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\).
\(\text{sh}\) et \(\text{ch}\).
1) Identité \[\text{ch}^2-\text{sh}^2 = \dfrac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{4} = \dfrac44 = \boxed{1}\]
2) Dérivées \[\text{sh}' = \text{ch}, \qquad \text{ch}' = \text{sh}\]
3) Minimum de ch : \(\text{ch}''=\text{ch}>0\) → convexe → minimum \(\text{ch}(0)=\boxed{1}\).
4) Limite \[\dfrac{\text{sh}(x)}{e^x} = \dfrac{1-e^{-2x}}{2} \to \boxed{\dfrac12}\]
Démontrer que \(\ln(1+x)\leq x\) pour tout \(x>-1\) en étudiant \(g(x)=x-\ln(1+x)\).
via \(g(x)=x-\ln(1+x)\).
Étape 1 — Dérivée (\(D=]-1;+\infty[\)) : \(g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\).
Étape 2 — Minimum : \(g'\) s'annule en \(0\), \(g\) décroît puis croît → minimum \(g(0)=0\).
Étape 3 — Conclusion \[g(x)\geq0 \Rightarrow \boxed{\ln(1+x)\leq x \quad \forall x>-1} \quad \blacksquare\]
La population \(P(t)\) d'une ville suit le modèle : \(P(t) = \frac{100\,000}{1+9e^{-0{,}3t}}\) (en habitants, \(t\) en années depuis 2000).
\(P(t)=\frac{K}{1+Ae^{-rt}}\) : valeur initiale, saturation, demi-saturation, inflexion.
1) Population initiale \[P(0) = \dfrac{100\,000}{1+9} = \boxed{10\,000 \text{ hab. (en 2000)}}\]
2) Saturation \[\lim_{t\to+\infty}P(t) = \boxed{100\,000 \text{ hab. (capacité maximale)}}\]
3) Demi-saturation (\(P=50\,000\)) \[1+9e^{-0{,}3t}=2 \Rightarrow e^{-0{,}3t}=\tfrac19 \Rightarrow t=\dfrac{\ln9}{0{,}3}\approx\boxed{7{,}3 \text{ ans (vers 2007)}}\]
4) Croissance maximale
La dérivée \(P'\) est maximale au point d'inflexion, atteint exactement à la demi-saturation \(P=\frac K2\) : \[\boxed{t\approx7{,}3 \text{ ans}}\]
5) Atteinte de 90 000 hab. \[1+9e^{-0{,}3t}=\tfrac{10}{9} \Rightarrow e^{-0{,}3t}=\tfrac{1}{81} \Rightarrow t=\dfrac{\ln81}{0{,}3}\approx14{,}6 \text{ ans} \Rightarrow \boxed{\text{vers 2015}}\]
La phase de croissance la plus rapide se situe au milieu (à \(K/2\)), exactement entre le départ lent et le plateau final.