Une suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est une fonction de \(\mathbb{N}\) vers \(\mathbb{R}\). Elle peut être définie :
Limites :
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| Récurrence | \(u_{n+1}=u_n+r\) | \(u_{n+1}=qu_n\) |
| Formule | \(u_n=u_0+nr\) | \(u_n=u_0\cdot q^n\) |
| Somme | \(S_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\) | \(S_n=u_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\) (\(q\neq1\)) |
| Limite | \(+\infty\) si \(r>0\), \(-\infty\) si \(r<0\) | \(0\) si \(|q|<1\), \(+\infty\) si \(q>1\) |
Un point fixe de \(f\) est un réel \(\ell\) tel que \(f(\ell)=\ell\).
Propriété : Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et si \(f\) est continue, alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\) (i.e. \(\ell=f(\ell)\)).
Méthode graphique (diagramme en escalier) :
Théorème du point fixe attractif : Si \(f\) est de classe \(C^1\) et si \(|f'(\ell)|<1\) (où \(\ell\) est un point fixe), alors toute suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) assez proche de \(\ell\) converge vers \(\ell\).
Si \(|f'(\ell)|>1\) : le point fixe est répulsif (la suite s'en éloigne).
Stratégie :
Une suite \((u_n)\) vérifiant \(u_{n+1}=au_n+b\) (avec \(a\neq0,1\) et \(b\neq0\)) est une suite arithmético-géométrique.
Résolution :
Limite :
Exemple : \(u_{n+1}=0{,}8u_n+20\), \(u_0=0\).
Point fixe : \(\ell=20/(1-0{,}8)=100\). \(v_n=u_n-100\), \(v_0=-100\). \(v_n=-100\times(0{,}8)^n\). \(u_n=100-100\times(0{,}8)^n=100(1-(0{,}8)^n)\). \(\lim_{n\to+\infty}u_n=100\).
Pour démontrer qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geqslant n_0\), il suffit de prouver :
On conclut alors que \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geqslant n_0\).
Montrons que \(2^n \geqslant n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Dans l'hérédité, on suppose \(P(n)\) vraie pour un \(n\) fixé (c'est l'hypothèse de récurrence) et on démontre \(P(n + 1)\).
Théorème : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Méthode pour montrer la monotonicité :
Méthode pour montrer la borne :
Si \(u_n\leq v_n\) pour tout \(n\) et si \(\lim v_n=0\), alors \(\lim u_n=0\) (si \(u_n\geq0\)).
Soit \(u_0=6\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) (on a \(u_1 = \sqrt{8} \approx 2{,}83\), \(u_2 \approx 2{,}22\)…).
Étape 1 : Points fixes : \(\ell=\sqrt{\ell+2} \Rightarrow \ell^2-\ell-2=0 \Rightarrow (\ell-2)(\ell+1)=0 \Rightarrow \ell=2\) (en prenant \(\ell>0\)).
Étape 2 : Montrons que \(u_n\geq2\) pour tout \(n\) (par récurrence).
Étape 3 : Montrons que \((u_n)\) est décroissante. \(u_{n+1}-u_n = \sqrt{u_n+2}-u_n\). Pour \(u_n\geq2\) : \(\sqrt{u_n+2}\leq u_n \Leftrightarrow u_n+2\leq u_n^2 \Leftrightarrow u_n^2-u_n-2\geq0 \Leftrightarrow (u_n-2)(u_n+1)\geq0\), vrai car \(u_n\geq2>-1\) ✓
Étape 4 : \((u_n)\) décroissante et minorée par 2 → converge vers \(\ell=2\).
Si l'on partait de \(u_0 = 2\), la suite serait constante : \(\sqrt{2 + 2} = 2\).
Contenu facultatif, non exigible.
(post-bac) : les suites définies par une relation \(u_{n+2} = pu_{n+1} + qu_n\) (comme la suite de Fibonacci) et les suites de Cauchy.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
Arithmético-géométrique \(u_{n+1}=au_n+b\) :
Récurrence : initialisation + hérédité ⇒ propriété vraie pour tout \(n \geqslant n_0\)
Convergence :
Diagramme en escalier : outil graphique pour visualiser la convergence
⚠️ Pièges :
Soit \(u_n = 3n^2-2n+1\). Calculer \(u_0, u_1, u_5\) et étudier les variations.
calculer des termes, étudier \(u_{n+1}-u_n\).
Étape 1 — Termes : \(u_0=1\), \(u_1=2\), \(u_5=75-10+1=66\).
Étape 2 — Variations \[u_{n+1}-u_n = 3(2n+1)-2 = 6n+1 > 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{strictement croissante}}\]
Étape 3 — Limite : terme dominant \(3n^2\) → \(\boxed{\lim u_n=+\infty}\).
Soit \(u_{n+1}=0{,}5u_n+3\), \(u_0=10\). Trouver le point fixe et calculer \(u_n\).
\(u_{n+1}=au_n+b\) : point fixe puis suite auxiliaire géométrique.
Étape 1 — Point fixe : \(\ell=\dfrac{3}{1-0{,}5}=6\).
Étape 2 — Suite auxiliaire : \(v_n=u_n-6\), géométrique de raison \(0{,}5\), \(v_0=4\). \[\boxed{u_n = 6+4\times(0{,}5)^n}, \qquad \lim u_n = 6\]
Calculer la somme : \(\sum_{k=0}^{10}(2k+1)\) (suite arithmétique de terme général \(2k+1\)).
. \[\sum_{k=0}^{10}(2k+1) = 2\times\frac{10\times11}{2}+11 = 110+11 = \boxed{121}\]
C'est la somme des \(11\) premiers impairs \(=11^2=121\) (résultat classique).
Calculer la somme : \(\sum_{k=0}^9 3\times2^k\) (suite géométrique).
\(u_0\frac{q^N-1}{q-1}\). \[\sum_{k=0}^9 3\times2^k = 3\times\frac{2^{10}-1}{2-1} = 3\times1023 = \boxed{3069}\]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^n \geqslant n + 1\).
on note \(P(n)\) : « \(2^n \geqslant n + 1\) ».
Initialisation : \(2^0 = 1\) et \(0 + 1 = 1\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n \geqslant 0\) tel que \(2^n \geqslant n + 1\). Alors \[2^{n+1} = 2 \times 2^n \geqslant 2(n + 1) = 2n + 2 \geqslant n + 2\] (car \(n \geqslant 0\)). Donc \(P(n + 1)\) est vraie.
Conclusion : \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\). \(\square\)
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1\), \(u_0=4\).
+ convergence.
Étape 1 — Point fixe : \(\ell=\dfrac{1}{1-1/2}=2\).
Étape 2 — Auxiliaire : \(v_n=u_n-2\), raison \(\frac12\), \(v_0=2\) → \(u_n=2+2(1/2)^n\). \[|q|=\tfrac12<1 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\lim u_n=2}\]
Détermine \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n + 1}{n + 3}\).
\(\dfrac{n(2 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} \to \mathbf{2}\).
Détermine la limite de :
a) \(0{,}5^n\) \(\quad\)
b) \(1{,}2^n\) \(\quad\)
c) \((-0{,}8)^n\)
🎯 \(q^n \to 0\) si \(-1 < q < 1\) ; \(q^n \to +\infty\) si \(q > 1\).
a) \(\mathbf{0}\) ; b) \(\mathbf{+\infty}\) ; c) \(\mathbf{0}\).
Démontre par récurrence que, pour tout \(n \geqslant 1\), \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2\).
Initialisation : \(n = 1\) : \(1 = 1^2\) ✓
Hérédité : si \(1 + \dots + (2n - 1) = n^2\), alors \(1 + \dots + (2n - 1) + (2n + 1) = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2\) ✓
Conclusion : la propriété est vraie pour tout \(n \geqslant 1\). \(\square\)
Soit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = 0{,}5u_n + 1{,}5\). Démontre par récurrence que \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3\) pour tout \(n\).
Initialisation : \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1{,}5\) : \(0 \leqslant 0 \leqslant 1{,}5 \leqslant 3\) ✓
Hérédité : si \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3\), on multiplie par \(0{,}5\) et on ajoute \(1{,}5\) (fonction croissante) : \(1{,}5 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 3\), donc a fortiori \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 3\) ✓
Conclusion : vraie pour tout \(n\). \(\square\)
Avec la suite de l'exercice 10, on pose \(v_n = u_n - 3\).
a) Montre que \((v_n)\) est géométrique.
b) Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\) et donne sa limite.
a) \(v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = 0{,}5u_n - 1{,}5 = 0{,}5(u_n - 3) = 0{,}5v_n\) : géométrique de raison \(0{,}5\), \(v_0 = -3\).
b) \(v_n = -3 \times 0{,}5^n\), donc \(\mathbf{u_n = 3 - 3 \times 0{,}5^n}\), et \(u_n \to \mathbf{3}\).
Soit \(u_{n+1}=u_n^2\), \(u_0=0{,}5\).
conjecture + récurrence.
Étape 1 — Termes : \(u_1=0{,}25\), \(u_2=0{,}0625\), \(u_3\approx0{,}0039\).
Étape 2 — Formule (\(u_n=(1/2)^{2^n}\), récurrence) \[u_{n+1}=u_n^2=\left((1/2)^{2^n}\right)^2=(1/2)^{2^{n+1}} \ \checkmark\]
Étape 3 — Limite : \(2^n\to+\infty\) → \(\boxed{\lim u_n=0}\).
Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\frac{u_n+2}{u_n+1}\).
convergeant vers \(\sqrt2\).
Étape 1 — Point fixe : \(\ell=\dfrac{\ell+2}{\ell+1}\Rightarrow\ell^2=2\Rightarrow\ell=\sqrt2\).
Étape 2 — Termes : \(u_1=\dfrac32\), \(u_2=\dfrac75\), \(u_3=\dfrac{17}{12}\).
Étape 3 — Conjecture : \(1{,}5\,;\,1{,}4\,;\,1{,}417\,;\dots\to\boxed{\sqrt2\approx1{,}414}\)
Ces fractions \(\frac32,\frac75,\frac{17}{12}\) sont les réduites de \(\sqrt2\) — une suite classique d'approximations rationnelles.
Montrer par récurrence que si \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n}\) et \(u_0=1\), alors \(0<u_n<3\) pour tout \(n\) et que la suite est croissante.
.
Étape 1 — Borne : \(u_0=1<3\) ; si \(u_n<3\), \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n}<\sqrt9=3\) ✓
Étape 2 — Croissance : \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n}>\sqrt{3u_{n-1}}=u_n\) (croissance de \(\sqrt{}\)) ✓
Étape 3 — Limite : croissante majorée → converge vers \(\ell=\sqrt{3\ell}\Rightarrow\boxed{\ell=3}\).
On définit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\).
1) \(u_1 = \dfrac{1}{2}\), \(u_2 = \dfrac{1/2}{3/2} = \dfrac{1}{3}\), \(u_3 = \dfrac{1/3}{4/3} = \dfrac{1}{4}\). Conjecture : \(u_n = \dfrac{1}{n + 1}\).
2) Initialisation : \(u_0 = 1 = \dfrac{1}{0 + 1}\) ✓ Hérédité : si \(u_n = \dfrac{1}{n + 1}\), alors \(u_{n+1} = \dfrac{\frac{1}{n+1}}{1 + \frac{1}{n+1}} = \dfrac{\frac{1}{n+1}}{\frac{n+2}{n+1}} = \dfrac{1}{n + 2}\) ✓ Donc \(u_n = \dfrac{1}{n + 1}\) pour tout \(n\).
3) \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n + 1} = \boxed{0}\).
Soit \(v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}\) le quotient de termes consécutifs de la suite de Fibonacci.
.
Étape 1 — Termes : \(1, 2, 1{,}5, 1{,}667, 1{,}6, 1{,}625, 1{,}615, 1{,}619, 1{,}618,\dots\) (oscillation amortie).
Étape 2 — Équation de la limite \[v_{n+1} = \frac{F_{n+1}+F_n}{F_{n+1}} = 1+\frac{1}{v_n} \quad\Rightarrow\quad \ell = 1+\frac1\ell\]
Étape 3 — Résoudre \[\ell^2-\ell-1=0 \Rightarrow \boxed{\ell=\dfrac{1+\sqrt5}{2}=\varphi}\]
Soit \(u_n=\frac{n^2+1}{n+1}\). Étudier la monotonie et la convergence (ou divergence).
pour étudier monotonie et limite.
Étape 1 — Forme réduite \[u_n = \frac{n^2+1}{n+1} = n-1+\frac{2}{n+1}\]
Étape 2 — Croissance : \(u_{n+1}-u_n=1-\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}>0\) (pour \(n\geq1\)).
Étape 3 — Limite : \(\boxed{\lim u_n=+\infty}\) (divergence, terme dominant \(n\)).
Un emprunt de 10 000€ à 5% annuel est remboursé par mensualités constantes de \(m\)€. La dette \(D_n\) après \(n\) mois satisfait \(D_{n+1}=1{,}05^{1/12}D_n-m\).
= suite arithmético-géométrique.
1) Nature : \(D_{n+1}=q\,D_n-m\) avec \(q=1{,}05^{1/12}\approx1{,}00407\) → arithmético-géométrique.
2) Mensualité : point fixe \(\ell=\dfrac{m}{q-1}\), \(D_n=\ell+(D_0-\ell)q^n\). La condition \(D_{60}=0\) donne : \[m = \frac{D_0\,q^{60}(q-1)}{q^{60}-1}\] Avec \(D_0=10\,000\) et \(q^{60}=1{,}05^5\approx1{,}2763\) : \[\boxed{m \approx 188 \text{ €/mois}}\]
Sur 60 mois, on rembourse \(\approx60\times188=11\,280\) € pour un emprunt de \(10\,000\) € → \(\approx1\,280\) € d'intérêts.
Étude de la suite \(u_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\).
.
Étape 1 — Termes : \(u_1=2\), \(u_2=2{,}25\), \(u_5\approx2{,}488\), \(u_{10}\approx2{,}594\).
Étape 2 — Croissance et majoration : admises (via le logarithme).
Étape 3 — Conclusion : croissante et majorée par \(3\) → converge vers \(\boxed{e\approx2{,}718}\).
Détermine la limite de \(S_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^n}\).
\(S_n = \dfrac{1 - 0{,}5^{n+1}}{1 - 0{,}5} = 2(1 - 0{,}5^{n+1}) \to \mathbf{2}\).
Avec \(u_n = 3 - 3 \times 0{,}5^n\), détermine le plus petit \(n\) tel que \(u_n > 2{,}99\).
\(3 \times 0{,}5^n < 0{,}01 \iff 0{,}5^n < \dfrac{1}{300} \iff n > \dfrac{\ln 300}{\ln 2} \approx 8{,}23\). Donc \(\mathbf{n = 9}\).
En divisant par \(\ln 0{,}5 < 0\), le sens de l'inégalité change.
Détermine \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n + (-1)^n}{n}\).
\(\dfrac{n - 1}{n} \leqslant \dfrac{n + (-1)^n}{n} \leqslant \dfrac{n + 1}{n}\) ; les deux bornes tendent vers \(1\). Limite : \(\mathbf{1}\).
Détermine \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 10n)\).
Forme « \(\infty - \infty\) » : \(n^2 - 10n = n(n - 10) \to \mathbf{+\infty}\).
Démontre par récurrence que \(2^n \geqslant n + 1\) pour tout entier \(n \geqslant 0\).
Initialisation : \(2^0 = 1 \geqslant 1\) ✓
Hérédité : si \(2^n \geqslant n + 1\), alors \(2^{n+1} = 2 \times 2^n \geqslant 2n + 2 \geqslant n + 2\) ✓ (car \(n \geqslant 0\)).
Conclusion : \(2^n \geqslant n + 1\) pour tout \(n \geqslant 0\). \(\square\)
Soit \(f(x)=\frac{x}{2}+1\). Montrer que \(|f(x)-f(y)|\leq\frac{1}{2}|x-y|\) (contraction). En déduire que toute suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers le point fixe \(\ell=2\).
une contraction de rapport \(k<1\) fait converger toute suite récurrente.
Étape 1 — Contraction \[|f(x)-f(y)| = \frac{|x-y|}{2} \leq \frac12|x-y| \quad (k=\tfrac12<1)\]
Étape 2 — Convergence (\(\ell=2\) point fixe) \[|u_n-\ell| \leq \left(\tfrac12\right)^n|u_0-\ell| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{u_n\to2}\]
Soit \(I_n=\int_0^1 x^n(1-x)\,dx\).
.
1) \(I_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\).
2) \(x^n(1-x)\geq0\) sur \([0;1]\) → \(I_n>0\).
3) Rapport et limite \[\frac{I_{n+1}}{I_n} = \frac{n+1}{n+3} < 1 \ (\text{décroissante}), \qquad \boxed{I_n\to0}\]
On définit \(a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\) (moyenne arithmétique) et \(b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\) (moyenne géométrique), avec \(0<a_0<b_0\).
convergeant vers une limite commune.
Étape 1 — 1) Monotonie \[a_{n+1}-a_n = \frac{b_n-a_n}{2}>0 \ (\nearrow), \qquad b_{n+1}^2=a_nb_n<b_n^2 \Rightarrow b_{n+1}<b_n \ (\searrow)\]
Étape 2 — 2) Ordre (inégalité arithmético-géométrique \(\sqrt{AB}\leq\frac{A+B}2\)) \[b_{n+1}-a_{n+1} = \sqrt{a_nb_n}-\frac{a_n+b_n}{2} \leq 0 \Rightarrow a_{n+1}\leq b_{n+1}\]
Étape 3 — 3/4) Convergence commune : \(b_n-a_n\leq\dfrac{b_0-a_0}{2^n}\to0\), et \((a_n)\nearrow\), \((b_n)\searrow\) adjacentes : \[\boxed{(a_n) \text{ et } (b_n) \text{ convergent vers la même limite (AGM)}}\]
Soit \(u_n = \frac{n!}{n^n}\).
via le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
1) Rapport \[\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\]
2) Limite du rapport \[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}\approx0{,}368 < 1\]
3) Conclusion : pour \(n\) grand, le rapport est \(<1\) et borné loin de \(1\) → \(\boxed{u_n\to0}\).
\(n^n\) croît bien plus vite que \(n!\) — cohérent avec la formule de Stirling \(n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n\).
Montrer que si une suite \((u_n)\) converge, sa limite est unique.
(Supposer \(u_n\to\ell\) et \(u_n\to L\) avec \(\ell\neq L\), aboutir à une contradiction.)
avec \(\varepsilon=\frac{|L-\ell|}{2}\).
Étape 1 — Hypothèse : supposons \(u_n\to\ell\) et \(u_n\to L\) avec \(L\neq\ell\).
Étape 2 — Contradiction : pour \(n\) assez grand, \(|u_n-\ell|<\varepsilon\) et \(|u_n-L|<\varepsilon\), donc \[|L-\ell| \leq |u_n-L|+|u_n-\ell| < 2\varepsilon = |L-\ell|\]
Étape 3 — Conclusion : \(|L-\ell|<|L-\ell|\) est absurde → \(\boxed{L=\ell}\). \(\blacksquare\)
On définit \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 2\).
1) \(v_{n+1} = u_{n+1} - 20 = 0{,}9u_n - 18 = 0{,}9(u_n - 20) = 0{,}9\,v_n\) : géométrique de raison \(0{,}9\), avec \(v_0 = -15\).
2) \(v_n = -15 \times 0{,}9^n\), donc \(\boxed{u_n = 20 - 15 \times 0{,}9^n}\). Comme \(0 < 0{,}9 < 1\), \(0{,}9^n \to 0\) et \(\lim u_n = \boxed{20}\).
3) \(u_n > 19{,}9 \iff 15 \times 0{,}9^n < 0{,}1 \iff 0{,}9^n < \dfrac{1}{150} \iff n\ln 0{,}9 < -\ln 150 \iff n > \dfrac{\ln 150}{-\ln 0{,}9} \approx 47{,}56\) (on divise par \(\ln 0{,}9 < 0\)). Le plus petit entier est \(\boxed{n = 48}\).
4)
def seuil():
u, n = 5, 0
while u <= 19.9:
u = 0.9 * u + 2
n = n + 1
return n # renvoie 48