Terminale · Examen blanc

Bac blanc — Sujet 2

Durée : 4 heures — Coefficient : 16 Calculatrice autorisée Total : 20 points

EXERCICE 1 (5 pts) — Logarithme et Étude Complète de Fonction

Soit $f(x) = x \ln x - x + 1$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ (on rappelle $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$). (0,5 pt)

2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. (0,5 pt)

3. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. (1 pt)

4. Dresser le tableau de variations complet de $f$. (0,5 pt)

5. Montrer que $f(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$. (0,5 pt)

6. En déduire que $\ln x \geq 1 - \dfrac{1}{x}$ pour tout $x > 0$. (0,5 pt)

7. Calculer $f''(x)$ et étudier la convexité de $f$. (0,5 pt)

8. Calculer $\displaystyle I = \int_1^e f(x)\,\mathrm{d}x$. (0,5 pt)

9. Interpréter géométriquement la valeur de $I$. (0,5 pt)

EXERCICE 2 (5 pts) — Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale

Une entreprise fabrique deux types de moteurs : le type A ($60\%$ de la production) et le type B ($40\%$). Le taux de défauts est de $2\%$ pour le type A et $5\%$ pour le type B.

Partie A

1. Calculer la probabilité qu'un moteur pris au hasard soit défectueux. (0,75 pt)

2. Sachant qu'un moteur est défectueux, calculer la probabilité qu'il soit de type A. (0,75 pt)

Partie B

On contrôle un lot de $20$ moteurs de type A. Soit $X$ le nombre de moteurs défectueux dans ce lot.

3. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres. (0,5 pt)

4. Calculer $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$ (arrondir à $10^{-4}$). (0,75 pt)

5. Calculer $P(X \geq 2)$. (0,5 pt)

6. Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$. (0,5 pt)

Partie C

On souhaite que, pour $n$ moteurs de type A, $P(\text{aucun défectueux}) \geq 0{,}5$.

7. Déterminer la valeur maximale de $n$. (0,5 pt)

EXERCICE 3 (5 pts) — Intégrales et Primitives

Partie A — Calcul d'intégrales

1. Calculer les intégrales suivantes :

1.a. $\displaystyle\int_1^4 \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$ (0,75 pt)
1.b. $\displaystyle\int_0^{\pi/2} x \sin x\,\mathrm{d}x$ (intégration par parties) (0,75 pt)
1.c. $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}\,\mathrm{d}x$ (on reconnaîtra la forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x) = x^2 + 1$) (0,5 pt)

Partie B — Application physique

Un mobile se déplace sur un axe avec une accélération $a(t) = 3t - 6$ (en m/s²) pour $t \in [0\,;\,4]$. La vitesse initiale est $v(0) = 2$ m/s.

2.a. Calculer $v(t)$ (primitive de $a$). (0,5 pt)

2.b. Sur quel intervalle le mobile a-t-il une vitesse négative ? (0,5 pt)

2.c. Calculer le déplacement algébrique sur $[0\,;\,4]$. (0,5 pt)

Partie C — Équation différentielle

3. Résoudre l'équation différentielle $y' = 3y + e^{3x}$ en cherchant une solution particulière de la forme $y_P = a x e^{3x}$. (0,5 pt)

EXERCICE 4 (5 pts) — Combinatoire et Dénombrement

Partie A — Calculs combinatoires

1. Un comité de $4$ personnes est choisi parmi $7$ femmes et $5$ hommes.

1.a. Combien de comités comportent au moins $3$ femmes ? (1 pt)
1.b. Combien de comités comportent exactement $2$ femmes et $2$ hommes ? (0,5 pt)

2. Quel est le coefficient de $x^3$ dans le développement de $(2 - x)^8$ ? (0,75 pt)

Partie B — Tirage et probabilités

Dans une urne se trouvent $4$ boules rouges numérotées $1$ à $4$, et $5$ boules bleues numérotées $1$ à $5$.

3. On tire $2$ boules sans remise.

3.a. Calculer le nombre total de tirages possibles. (0,25 pt)
3.b. Calculer la probabilité que les deux boules soient de la même couleur. (0,75 pt)
3.c. Calculer la probabilité que les deux boules portent le même numéro. (0,5 pt)

4. On tire $3$ boules sans remise.

4.a. Calculer la probabilité d'avoir exactement $2$ boules rouges. (0,5 pt)
4.b. Calculer la probabilité d'avoir au moins $1$ boule rouge. (0,5 pt)

BARÈME INDICATIF

Exercice	Points
Exercice 1	5
Exercice 2	5
Exercice 3	5
Exercice 4	5
Total	20

Corrigé Exercice 1

Méthode

étude complète d'une fonction avec $\ln$ — limites (dont la croissance comparée $x\ln x \to 0$), dérivée, tableau de variations. Le minimum nul en $x=1$ permet de prouver $f \geq 0$, d'où l'on déduit une inégalité classique ($\ln x \geq 1 - \frac1x$). On termine par la convexité ($f''$) et une intégrale (IPP).

Question 1 — Limite en $0^+$

$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \text{ (admis)},\quad \lim_{x \to 0^+}(-x + 1) = 1$

Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 1 = \mathbf{1}$.

Question 2 — Limite en $+\infty$

Pour $x$ grand, $\ln x - 1 > 0$ et $\ln x - 1 \to +\infty$. Donc $f(x) = x(\ln x - 1) + 1 \to +\infty$.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \mathbf{+\infty}$

Question 3 — Dérivée et signe

$f'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$

Signe : $f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1$ ; $f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ ; $f'(1) = 0$.

Question 4 — Tableau de variations

$x$	$0^+$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$1$	↘	$0$	↗	$+\infty$

avec $f(1) = 1 \times 0 - 1 + 1 = 0$.

Question 5 — $f(x) \geq 0$

Le minimum de $f$ est $f(1) = 0$. Donc pour tout $x > 0$ : $f(x) \geq 0$ ✓.

Question 6 — Inégalité $\ln x \geq 1 - \dfrac{1}{x}$

À partir de $f(x) \geq 0$ : $x \ln x - x + 1 \geq 0$, donc $x \ln x \geq x - 1$.

En divisant par $x > 0$ (sens d'inégalité conservé) : $\ln x \geq \dfrac{x - 1}{x} = 1 - \dfrac{1}{x} \quad \square$

Question 7 — Convexité

$f''(x) = (f'(x))' = (\ln x)' = \dfrac{1}{x}$

Pour $x > 0$, $f''(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ → $f$ est strictement convexe sur $]0\,;\,+\infty[$. Pas de point d'inflexion.

Question 8 — Calcul de $I$

On décompose : $I = \int_1^e x \ln x\,\mathrm{d}x + \int_1^e (-x + 1)\,\mathrm{d}x$.

Pour $\displaystyle\int_1^e x \ln x\,\mathrm{d}x$ — IPP avec $u = \ln x$, $v' = x$, donc $u' = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{x^2}{2}$ :

$\int_1^e x \ln x\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2 \ln x}{2}\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2} \int_1^e x\,\mathrm{d}x$ $= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{e^2 - 1}{2} = \dfrac{e^2 + 1}{4}$

Pour $\displaystyle\int_1^e (-x + 1)\,\mathrm{d}x$ : $\int_1^e (-x + 1)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{x^2}{2} + x\right]_1^e = -\dfrac{e^2}{2} + e + \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{e^2}{2} + e - \dfrac{1}{2}$

Somme : $I = \dfrac{e^2 + 1}{4} - \dfrac{e^2}{2} + e - \dfrac{1}{2} = \dfrac{e^2 + 1 - 2e^2}{4} + e - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 - e^2}{4} + e - \dfrac{1}{2}$ $\mathbf{I = e - \dfrac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}718 - 2{,}097 \approx 0{,}621}$

🔍 Vérification : $\dfrac{e^2+1}{4} = \dfrac{7{,}389 + 1}{4} = \dfrac{8{,}389}{4} \approx 2{,}097$ (ne pas oublier le $+1$ au numérateur). Cohérent avec $f$ croissante de $f(1)=0$ à $f(e)=1$ sur $[1\,;\,e]$ : l'aire $\approx 0{,}62$ est bien comprise entre $0$ et $1 \times (e-1) \approx 1{,}72$.

Question 9 — Interprétation géométrique

Comme $f(x) \geq 0$ sur $]0\,;\,+\infty[$, l'intégrale $I$ représente l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = e$.

Corrigé Exercice 2

Méthode

on construit un arbre pondéré ; la probabilité totale donne $P(D)$, et la formule de Bayes « renverse » le conditionnement pour obtenir $P(A\mid D)$. En partie B, le contrôle de $n$ moteurs indépendants suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$.

Partie A

Question 1 — Probabilité d'être défectueux (formule des probabilités totales)

Notons $A$ = "moteur de type A", $B$ = "moteur de type B", $D$ = "défectueux".

$P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}4$, $P(D|A) = 0{,}02$, $P(D|B) = 0{,}05$.

$P(D) = P(A) P(D|A) + P(B) P(D|B) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05$ $= 0{,}012 + 0{,}020 = \mathbf{0{,}032}$

Question 2 — Probabilité conditionnelle (formule de Bayes)

$P(A|D) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{P(A) \times P(D|A)}{P(D)} = \dfrac{0{,}012}{0{,}032} = \mathbf{\dfrac{3}{8} = 0{,}375}$

Donc $37{,}5\%$ des moteurs défectueux proviennent du type A.

Piège

Ne pas confondre $P(A\mid D)$ (« sachant défectueux, est-ce un A ? » $= 0{,}375$) avec $P(D\mid A)$ (« sachant A, est-il défectueux ? » $= 0{,}02$). Le conditionnement n'est pas symétrique.

Partie B

Question 3 — Justification de la loi binomiale

$20$ moteurs testés indépendamment (épreuves de Bernoulli identiques)
Pour chaque moteur de type A : probabilité d'être défectueux $p = 0{,}02$, "succès" = défectueux

$X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}02)$

Question 4 — Probabilités élémentaires

$P(X = 0) = \binom{20}{0}(0{,}02)^0(0{,}98)^{20} = (0{,}98)^{20} \approx \mathbf{0{,}6676}$ $P(X = 1) = \binom{20}{1}(0{,}02)^1(0{,}98)^{19} = 20 \times 0{,}02 \times 0{,}6812 \approx \mathbf{0{,}2725}$

Question 5 — Probabilité d'au moins 2 défectueux

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0{,}6676 - 0{,}2725 = \mathbf{0{,}0599}$

Soit environ $6\%$ de chance d'avoir au moins 2 moteurs défectueux dans un lot de 20.

Question 6 — Espérance et écart-type

$E(X) = np = 20 \times 0{,}02 = \mathbf{0{,}4}$ $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \times 0{,}02 \times 0{,}98} = \sqrt{0{,}392} \approx \mathbf{0{,}626}$

Partie C

Question 7 — Valeur maximale de $n$

Pour $n$ moteurs de type A : $X_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}02)$, et $P(X_n = 0) = (0{,}98)^n$.

On veut $(0{,}98)^n \geq 0{,}5$, donc en prenant $\ln$ (avec $\ln(0{,}98) < 0$, l'inégalité s'inverse) : $n \ln(0{,}98) \geq \ln(0{,}5) \Leftrightarrow n \leq \dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)} \approx \dfrac{-0{,}6931}{-0{,}02020} \approx 34{,}31$

$\boxed{n_{\max} = 34}$

Corrigé Exercice 3

Méthode

trois techniques d'intégration à reconnaître — primitive directe après simplification (1.a), intégration par parties (1.b), reconnaissance d'une forme $\dfrac{u'}{u^2}$, dont une primitive est $-\dfrac{1}{u}$ (1.c). En partie B, la vitesse est une primitive de l'accélération (constante fixée par la condition initiale) ; en partie C, équation différentielle avec solution particulière imposée.

Partie A

Question 1.a — Intégrale (primitive directe)

$\dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} = \dfrac{x}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + x^{-1/2}$

Primitives : $\dfrac{2}{3}x^{3/2}$ et $2 x^{1/2}$. Donc : $\int_1^4 \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{2 x^{3/2}}{3} + 2\sqrt{x}\right]_1^4 = \left(\dfrac{2 \times 8}{3} + 4\right) - \left(\dfrac{2}{3} + 2\right) = \dfrac{14}{3} + 2 = \mathbf{\dfrac{20}{3}}$

Question 1.b — Intégrale par IPP

On pose $u = x$, $v' = \sin x$, donc $u' = 1$, $v = -\cos x$ : $\int_0^{\pi/2} x \sin x\,\mathrm{d}x = [-x \cos x]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x$ $= \left(-\dfrac{\pi}{2} \times 0 - 0\right) + [\sin x]_0^{\pi/2} = 0 + (1 - 0) = \mathbf{1}$

Question 1.c — Forme $\dfrac{u'}{u^2}$

Avec $u(x) = x^2 + 1$, on a $u'(x) = 2x$ : la fonction intégrée est $\dfrac{u'}{u^2}$, dont une primitive est $-\dfrac{1}{u}$.

$\int_0^1 \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{1}{x^2 + 1}\right]_0^1 = -\dfrac{1}{2} + 1 = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$

🔍 Vérification : la dérivée de $-\dfrac{1}{x^2 + 1}$ est $\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ ✓

Partie B

Question 2.a — Vitesse $v(t)$

$v(t) = \int a(t)\,\mathrm{d}t = \int (3t - 6)\,\mathrm{d}t = \dfrac{3 t^2}{2} - 6t + C$

Condition $v(0) = 2$ → $C = 2$. Donc $\mathbf{v(t) = \dfrac{3 t^2}{2} - 6t + 2}$.

Question 2.b — Intervalle de vitesse négative

$v(t) < 0 \Leftrightarrow \dfrac{3 t^2}{2} - 6t + 2 < 0 \Leftrightarrow 3 t^2 - 12 t + 4 < 0$ (× 2).

Discriminant : $\Delta = 144 - 48 = 96$. Racines : $t = \dfrac{12 \pm \sqrt{96}}{6} = 2 \pm \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.

$t_1 = 2 - \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}367$ et $t_2 = 2 + \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \approx 3{,}633$.

→ $v(t) < 0$ sur $\mathbf{]\,t_1\,;\,t_2\,[ \approx ]\,0{,}37\,;\,3{,}63\,[}$.

Question 2.c — Déplacement algébrique sur $[0\,;\,4]$

$\int_0^4 v(t)\,\mathrm{d}t = \left[\dfrac{t^3}{2} - 3t^2 + 2t\right]_0^4 = \dfrac{64}{2} - 48 + 8 - 0 = 32 - 48 + 8 = \mathbf{-8 \text{ m}}$

Le mobile finit à $8$ m en arrière de sa position initiale.

Partie C

Question 3 — Résolution de l'équation différentielle

▸ Équation homogène

$y' = 3y \Rightarrow y_h = C e^{3x}$, $C \in \mathbb{R}$.

▸ Solution particulière

On cherche $y_P = a x e^{3x}$. Alors : $y_P' = a e^{3x} + 3 a x e^{3x}$

Dans l'équation $y_P' - 3 y_P = e^{3x}$ : $a e^{3x} + 3 a x e^{3x} - 3 a x e^{3x} = a e^{3x}$

Donc $a = 1$, soit $y_P = x e^{3x}$.

▸ Solution générale

$\boxed{y(x) = (x + C)\,e^{3x}}$

Corrigé Exercice 4

Méthode

dénombrement par combinaisons $\binom{n}{k}$ (choix non ordonnés) ; « au moins 3 » se décompose en cas disjoints qu'on additionne ; coefficient du binôme de Newton ; en partie B, probabilités de tirages sans remise = (cas favorables) / $\binom{9}{k}$, et « au moins un » se calcule par le complémentaire.

Partie A

Question 1.a — Comités avec au moins 3 femmes

"Au moins 3 femmes parmi 4" = "3 femmes" OU "4 femmes" :

$N_{\geq 3F} = \binom{7}{3}\binom{5}{1} + \binom{7}{4}\binom{5}{0} = 35 \times 5 + 35 \times 1 = \mathbf{210}$

Question 1.b — Comités avec 2F et 2H

$\binom{7}{2}\binom{5}{2} = 21 \times 10 = \mathbf{210}$

Question 2 — Coefficient de $x^3$ dans $(2 - x)^8$

Formule du binôme : $(2 - x)^8 = \displaystyle\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} 2^{8-k} (-x)^k = \displaystyle\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} 2^{8-k} (-1)^k x^k$.

Pour $k = 3$ : $\binom{8}{3} \times 2^5 \times (-1)^3 = 56 \times 32 \times (-1) = \mathbf{-1\,792}$.

Partie B

Question 3.a — Nombre de tirages de 2 boules

L'urne contient $9$ boules. Nombre de tirages non ordonnés : $\binom{9}{2} = \mathbf{36}$.

Question 3.b — Probabilité de même couleur

Cas favorables = 2 rouges OU 2 bleues :

$N(\text{RR}) = \binom{4}{2} = 6 \,;\, N(\text{BB}) = \binom{5}{2} = 10$ $P(\text{même couleur}) = \dfrac{6 + 10}{36} = \dfrac{16}{36} = \mathbf{\dfrac{4}{9}}$

Question 3.c — Probabilité de même numéro

Numéros communs aux deux couleurs : $1, 2, 3, 4$ (les numéros 1 à 4 existent en rouge ET en bleu). Pour chaque numéro $k$ entre 1 et 4, il y a un seul tirage avec une rouge $k$ et une bleue $k$ : $4$ cas favorables.

$P(\text{même numéro}) = \dfrac{4}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{9}}$

Question 4.a — Exactement 2 rouges sur 3 tirées

Total : $\binom{9}{3} = 84$.

Cas favorables : choisir $2$ rouges parmi $4$ ET $1$ bleue parmi $5$ : $\binom{4}{2}\binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30$ $P(\text{2 rouges}) = \dfrac{30}{84} = \mathbf{\dfrac{5}{14}} \approx 35{,}7\%$

Question 4.b — Au moins 1 rouge

Complémentaire : "aucune rouge" = "3 bleues".

$P(\text{aucune R}) = \dfrac{\binom{5}{3}}{\binom{9}{3}} = \dfrac{10}{84} = \dfrac{5}{42}$ $P(\text{au moins 1 R}) = 1 - \dfrac{5}{42} = \mathbf{\dfrac{37}{42}} \approx 88{,}1\%$

\(x\)	\(0^+\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(1\)	↘	\(0\)	↗	\(+\infty\)