Animations — Terminale¶

Ces animations illustrent les grandes notions de l'analyse en Terminale. Elles permettent de développer l'intuition géométrique indispensable pour maîtriser le calcul.

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Dérivée — Tangente mobile et pente¶

Rappel fondamental : la dérivée \(f'(x_0)\) est la pente de la tangente à la courbe en \(x_0\). Cette notion est à la base de tout le calcul différentiel.

Comment lire cette animation :

1. La courbe \(f(x) = x^2\) est tracée.
2. La tangente (en rouge) se déplace continûment sur la courbe.
3. La valeur \(f'(x) = 2x\) est la pente de cette tangente — elle est affichée en temps réel.
4. La tangente est horizontale quand \(f'(x) = 0\) (minimum en \(x=0\)).
5. La tangente est de plus en plus inclinée quand \(|x|\) augmente.

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Intégrale — Sommes de Riemann¶

L'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) représente l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des \(x\). On peut l'approximer par des sommes de rectangles (sommes de Riemann) : plus les rectangles sont étroits, meilleure est l'approximation.

Comment lire cette animation :

1. Phase 1 (jaune) : 4 rectangles larges — aire totale \(3{,}75\), approximation grossière.
2. Phase 2 (vert) : 8 rectangles — aire totale \(\approx 3{,}19\), approximation meilleure.
3. Phase 3 (bleu) : 16 rectangles — aire totale \(\approx 2{,}92\), on se rapproche de l'aire exacte.
4. Résultat exact : \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\).

Ici, les rectangles dépassent de la courbe : leur aire totale est donc toujours un peu trop grande, et l'écart diminue quand leur nombre augmente.

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Calcul d'une intégrale — Pas à pas¶

En pratique, on ne compte pas des rectangles : on calcule une intégrale avec une primitive, grâce à la formule \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\).

Comment utiliser cette animation :

1. Clique sur Suivant pour avancer à ton rythme, étape par étape.
2. À la dernière étape, l'aire se remplit de \(a\) jusqu'à \(b\) : le nombre affiché est \(F(x)-F(a)\), et il arrive exactement sur la valeur de l'intégrale.
3. Clique sur Exemple suivant pour voir la même méthode avec une autre fonction.

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Équation différentielle — La solution suit les pentes¶

Une équation différentielle comme \(y'=0{,}5y\) donne la pente de la courbe en chaque point. Si l'on connaît le point de départ \(y(0)\), il n'y a plus qu'une seule courbe possible : celle qui suit ces pentes.

Comment utiliser cette animation :

1. Les petits segments gris montrent la pente en chaque point. Par exemple, pour \(y'=0{,}5y\), si \(y=4\) alors \(y'=2\).
2. Le point de départ est la condition initiale \(y(0)\).
3. La courbe se trace en suivant les pentes. Le segment rouge montre la pente au point où l'on se trouve, et les valeurs s'affichent en haut.
4. La formule apparaît : c'est la même courbe, et \(C\) se déduit de \(y(0)\).
5. Un autre point de départ donne une autre courbe, donc une autre valeur de \(C\).

Les deux exemples :

• \(y'=0{,}5y\) : les solutions sont \(y=Ce^{0{,}5x}\). Elles s'éloignent de plus en plus de l'axe des abscisses.
• \(y'=-y+3\) : les solutions sont \(y=3+Ce^{-x}\). Elles se rapprochent toutes de \(y=3\), l'équilibre : c'est ce qui se passe quand un café refroidit jusqu'à la température de la pièce.

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Limite — Convergence vers une valeur¶

La notion de limite est au cœur de l'analyse. L'animation montre \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\) qui n'est pas définie en \(x=1\), mais dont la limite vaut \(2\) quand \(x \to 1\).

Comment lire cette animation :

1. La courbe représente \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1} = x+1\) (simplifié, sauf en \(x=1\)).
2. Le cercle vide en \((1,2)\) indique que \(f(1)\) n'est pas définie (forme \(\frac{0}{0}\)).
3. Le point rouge s'approche de \(x=1\) depuis la gauche.
4. On observe que \(f(x)\) tend vers \(2\) même si \(f(1)\) n'existe pas.

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Cercle trigonométrique — Rappel et approfondissement¶

En Terminale, les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont essentielles (probabilités, intégrales, équations différentielles). Le cercle trigonométrique reste l'outil de référence.

Comment lire cette animation :

1. Le point \(M(\cos\theta, \sin\theta)\) tourne en sens trigonométrique (anti-horaire).
2. La projection horizontale (en vert) = \(\cos(\theta)\) — varie entre \(-1\) et \(1\).
3. La projection verticale (en rouge) = \(\sin(\theta)\) — varie entre \(-1\) et \(1\).